2025-2026 人教版九年级上学期数学期末模拟试题（2）及答案

这是一份2025-2026 人教版九年级上学期数学期末模拟试题（2）及答案，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，各边都扩大3倍，则锐角的正切函数值（ ）
A．不变B．扩大3倍C．缩小3倍D．不能确定
2．在△ABC中，若|sinA-|+(1-tanB)2=0，则∠C的度数是( )
A．45°B．60°C．75°D．105°
3．如图，是的直径，直线与相切于点A，交于点C，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．下列关于二次函数的图象的性质描述，其中正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．图象顶点为
C．图象可由函数的图象平移得到
D．图象与轴交点为
5．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的长度是（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在一块长，宽的矩形苗圃基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为( )
A．B．
C．D．
8．若二次函数y＝2x2－ax－a＋1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．0B．1C．－1D．2
9．二次函数图象上部分点的坐标满足如表：
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②拋物线的对称轴为直线；
③是关于的一元二次方程的一个根；
④若点，都在抛物线上，且，则的取值范围是．
其中正确的结论有（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①④
10．如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．设，是方程的两实数根，则 ．
12．根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ．
13．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ．
14．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为
15．如图：在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数图象上，若，，则k的值为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)． (2)
17．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为（分）．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
(3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为；
(2)求四边形的面积．
19．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
20．宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为.
（1）求坐垫到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到，参考数据：，，）
21．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
22．已知二次函数，其中．
(1)若二次函数的图象经过，求二次函数表达式；
(2)若该二次函数图象开口向上，当时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标；
(3)在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求的取值范围．
23．如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明．
(1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
(2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长；
(3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____
0
1
3
5
7
0
7
参考答案
1．A
【分析】本题考查了正切值．锐角三角函数值仅与角的大小有关，与边的长度无关，当各边扩大相同倍数时，扩大后的三角形与原来的三角形相似，故角不变，因此正切值不变，即可作答．
【详解】解：∵在中，各边都扩大3倍，
∴扩大后的三角形与原来的三角形相似，
即角不变，
因此正切值不变，
故选：A
2．C
【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的值，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】∵|sinA−|+(1−tanB)2=0，
∴sinA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C．
【点睛】（1）非负数的性质：几个非负数的和等0，这几个非负数都为0；（2）三角形内角和等于180°.
3．B
【分析】由切线的性质知，所以，由圆周角定理推出．
【详解】∵直线与相切于点A
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形性质、圆周角定理，观察图形由角的位置关系得出角之间的数量关系是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的顶点为，开口向下，通过平移的性质和求出与轴的交点坐标，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵二次函数的，
∴开口向下，顶点为，
故B选项不符合题意；
则二次函数的开口向下，对称轴为直线
当时，随的增大而减小，
故A选项不符合题意；
函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
故C选项符合题意；
令时，则，
∴图象与轴交点为，
故D选项不符合题意；
故选：C
5．B
【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．原来树的长度是的长．已知了的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长．
【详解】解：∵中，，；
；
．
故选：B．
6．B
【分析】过D作EF⊥，交于E，交于F，可得DE=1，DF=2．再证明，可得DE=CF=1，然后根据勾股定理可得，再由锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：过D作EF⊥，交于E，交于F，
∵，
∴EF与都垂直，
∴DE=1，DF=2．
∵四边形ABCD是正方形，


又
∴∠α=∠CDF，


∴DE=CF=1，
∴在中，

故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，平行线间的距离，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
8．A
【分析】根据对称轴为y轴列式，求得a值即可．
【详解】解：∵二次函数y=2x2+bx+1的对称轴为y轴，
∴
解得：a=0．
故选A．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴的公式．
9．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据表格数据，利用二次函数的对称性求出对称轴，判断开口方向；利用对称性求方程根；根据开口方向和对称轴分析函数值大小与自变量取值范围的关系．
【详解】解：∵当和时，，
∴ 抛物线的对称轴为直线 ，故结论②错误．
由表格数据可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，又因当时，，可知抛物线开口向上，
∴结论①正确．
∵ 对称轴为直线，
∴ 和关于对称轴对称，
又 ∵ 当时，，
∴ 当 时，，即 ，
∴ ，
故 是方程 的一个根，结论③正确．
∵ 抛物线开口向上，且当和时，，
∴ 当 时， 或 ，
故结论④错误．
综上所述，正确结论为①③．
故选：A．
10．B
【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题．
【详解】解：作于，于，
平分，，，
，，
又，
，即，
四边形为的内接四边形，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
正方形的边长为，
，
，
，
，
作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．
由切线长定理可知：，
，
，
，
，
即内切圆半径为，
在中，．
的内心与外心之间的距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．0
【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的解和根与系数的关系是解题的关键．
利用一元二次方程的解和根与系数的关系．由 是方程的根，得 ；由根与系数的关系，得 ．代入计算即可．
【详解】解：因为 是方程 的根，
所以 ，即 ．
又因为 是方程的两个实数根，由根与系数的关系，得 ．
所以 ．
故答案为 0．
12．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上，
∴，
解得，，
即，，
∴，
∴矩形框架的周长为
故答案为：．
14．/13厘米
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故答案为．
15．1
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定等知识．作轴于点C，作轴于点D．根据反比例函数几何意义得到，．证明，得到，即可得到，从而求出．
【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点D．

∵点A在函数的图象上，点B在函数图象上，
∴，．
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把特殊角的三角函数值化简，再运算乘方以及乘法，最后运算减法，即可作答．
（2）先把特殊角的三角函数值化简以及运算算术平方根，再化简绝对值，最后运算加减法，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)补全图形见解析
(2)成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前
(3)
【分析】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可；
（2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可；
（3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形如下：
；
（2）解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10．
∴排在第，位的数据为，
∴甲社团的成绩的中位数为（分）；
∵乙社团排在第，位的数据为，，
∴乙社团的成绩的中位数为（分）；
∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前；
（3）解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，
∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质推出，再证，即可证明是的切线；
（2）利用三角函数解，设的半径长为r，则，再用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
由（1）知，
，
，
设的半径长为r，则，
在中，，
，
解得，
即的半径长为．
【点睛】本题考查解直角三角形，切线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，解题的关键掌握切线的判定定理，通过添加辅助线构造直角三角形．
19．（1）99.5（2）3.9
【分析】（1）作于点，由可得答案；
（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
【详解】（1）如图1，过点E作于点，
由题意知、，
∴，
则单车车座到地面的高度为；
（2）如图2所示，过点作于点，
由题意知，
则，
∴.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
20．(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元
(2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键；
（1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得，
解得：
答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元
（2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得，
解得：
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴当取得最大值时，取得最小值，
∴时，（盏），
即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少，
答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少．
21．(1)
(2)，
(3)当时，；当时，
【分析】（1）把点代入二次函数解析式中，求得m的值，即可求得二次函数表达式；
（2）由可求得抛物线的对称轴与顶点坐标，当时，函数在取得最大值，从而可求得m的值，进而得到M的坐标；在顶点取得最小值，即可求得其坐标；
（3）分两种情况讨论，利用二次函数图象的增减性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入中，得：，
解得：，
故二次函数表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
当时，
∵，
∴当时，函数值随自变量的增大而增加，当时，函数值随自变量的增大而减小，
∴图象最低点N为抛物线的顶点，即在顶点取得最小值，最小值为；
∵，
∴函数在左端点的函数值大于函数在右端点的函数值，
∴函数在取得最大值；
当时，，
由题意得：，
则，
∴， ；
（3）解：抛物线的对称轴为直线；
①当时，抛物线开口向上，
当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大；
∵当时，总有，
∴，
∴；
②当时，抛物线开口向下，
当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小；
∵当时，总有，
∴，
∴；
综上，当时，；当时，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，分类讨论思想；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
22．(1)依然成立，理由见解析
(2)
(3)8
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论；
（2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可；
（3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：依然成立，理由如下：
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
由勾股定理得；
（3）解：如图，连接，
∵都是等腰直角三角形，，
∴由勾股定理得，
∵为中点，
∴，
∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，
当点在直线上时，有最大值和最小值，
∴由图可知，的最大值为，最小值为，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线定理，二次根式的运算，线段最值问题等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
B
B
C
A
A
B