福建省厦门海沧实验中学高二上学期12月月考数学试卷-A4

这是一份福建省厦门海沧实验中学高二上学期12月月考数学试卷-A4，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．（5分）若＝（﹣1，2，3），＝（1，﹣1，﹣5），则＝（ ）
A．B．C．5D．10
2．（5分）在等差数列{an}（n∈N*）中，a3＝2，公差d＝2，则首项a1＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．4
3．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣+B．+C．﹣﹣D．﹣﹣
4．（5分）已知△ABC的三个顶点分别为A（4，0），B（6，﹣7），C（4，﹣3），则BC边上的中线所在直线的方程是（ ）
A．x+y＝0B．x+y﹣4＝0C．5x+y﹣12＝0D．5x+y﹣20＝0
5．（5分）圆x2+y2﹣4x＝0上的点到直线3x﹣4y+9＝0的距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
6．（5分）椭圆C：+＝1的左焦点为F，椭圆上的点P1与P2关于坐标原点对称，则|P1F|+|P2F|的值是（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．（5分）数列{an}满足an+an+1＝3n，且a1＝1，则a100等于（ ）
A．148B．149C．152D．299
8．（5分）过抛物线y2＝2x上一动点P作圆C：（x﹣4）2+y2＝r2（r为常数且r∈N*）的两条切线，切点分别为A，B，若|AB|•|PC|的最小值是，则r＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．l1在x轴上的截距为﹣1
B．l2过点（0，﹣1）且不垂直x轴
C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2
D．若l1⊥l2，则
（多选）10．（6分）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣x
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率
D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点
（多选）11．（6分）已知四面体OABC的所有棱长都为1，D，E分别是OA，BC的中点，M，N是该四面体内切球球面上的两点，P是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ）
A．DE的长为
B．D到平面ABC的距离为
C．当线段MN最长时，的最大值为
D．直线OE与直线AB所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知直线l：y＝kx+3经过点（﹣1，2），则l的倾斜角为 ．
13．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝ ．
14．（5分）已知等边三角形ABC的边长为12，点P满足，则＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列{an}的前n项和为．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）记，求数列{bn}的前n项和．
16．（15分）已知A（1，2）、B（3，6），动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）求过点A（1，2）且与曲线C相切的直线的方程．
17．（15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为2．
（1）求p的值；
（2）直线y＝ax+2与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值．
18．（17分）如图，在四棱锥A﹣BCED中，底面BCED为直角梯形，DE∥BC，DE⊥CE，AD＝BD＝CD＝BC，．
（1）判断直线AB与CD是否垂直，并说明理由；
（2）求平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值．
19．（17分）已知M（1，），N（﹣，）是椭圆E：＝1（a＞b＞0）上的两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线x＝2上的动点，直线AP，BP分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线CD经过点F．
2024-2025学年福建省厦门市海沧实验学校高二（上）段考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．（5分）若＝（﹣1，2，3），＝（1，﹣1，﹣5），则＝（ ）
A．B．C．5D．10
【分析】求出＝，由此能求出．
【解答】解：∵＝（﹣1，2，3），＝（1，﹣1，﹣5），
∴＝＝（0，1，﹣2），
则＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）在等差数列{an}（n∈N*）中，a3＝2，公差d＝2，则首项a1＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．4
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列{an}，a3＝2，公差d＝2，
则首项a1＝a3﹣2d＝2﹣4＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．
3．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣+B．+C．﹣﹣D．﹣﹣
【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可．
【解答】解：由题意知，＝+＝+
＝﹣﹣＝﹣﹣（+）
＝﹣﹣﹣
＝﹣﹣﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量的线性表示，考查了运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）已知△ABC的三个顶点分别为A（4，0），B（6，﹣7），C（4，﹣3），则BC边上的中线所在直线的方程是（ ）
A．x+y＝0B．x+y﹣4＝0C．5x+y﹣12＝0D．5x+y﹣20＝0
【分析】由中点坐标公式可得BC边的中点坐标为D（5，﹣5），可得BC边上的中线的斜率kAD＝﹣5，由点斜式可得BC边上的中线所在直线的方程．
【解答】解：△ABC的三个顶点分别为A（4，0），B（6，﹣7），C（4，﹣3），
设BC边的中点为D，则，即D（5，﹣5），
又A（4，0），所以，
故BC边上的中线所在直线的方程为y﹣0＝﹣5（x﹣4），即5x+y﹣20＝0．
故选：D．
【点评】本题主要考查中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
5．（5分）圆x2+y2﹣4x＝0上的点到直线3x﹣4y+9＝0的距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．
【解答】解：化圆x2+y2﹣4x＝0为（x﹣2）2+y2＝4，
得圆心坐标为（2，0），半径为2．
圆心到直线3x﹣4y+9＝0的距离d＝＝3．
∴圆x2+y2﹣4x＝0上的点到直线3x﹣4y+9＝0的距离的最小值为d﹣r＝3﹣2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
6．（5分）椭圆C：+＝1的左焦点为F，椭圆上的点P1与P2关于坐标原点对称，则|P1F|+|P2F|的值是（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】令椭圆C的右焦点F′，由已知条件可得四边形P1FP2F′为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答．
【解答】解：令椭圆C的右焦点F′，依题意，线段P1P2与FF′互相平分，于是得四边形P1FP2F′为平行四边形，
因此|P2F|＝|P1F′|，而椭圆的长半轴长a＝4，
所以|P1F|+|P2F|＝|P1F|+|P1F′|＝2a＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
7．（5分）数列{an}满足an+an+1＝3n，且a1＝1，则a100等于（ ）
A．148B．149C．152D．299
【分析】根据递推公式求a2和偶数项之间的递推关系，然后由累加法可得．
【解答】解：由数列{an}满足an+an+1＝3n，且a1＝1，
可得a2＝3﹣a1＝2，
因为an+an+1＝3n，an﹣1+an＝3n﹣3（n≥2），
所以an+1﹣an﹣1＝3（n≥2），
所以a100＝（a100﹣a98）+（a98﹣a96）+⋯+（a4﹣a2）+a2＝49×3+2＝149．
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推式和累加法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
8．（5分）过抛物线y2＝2x上一动点P作圆C：（x﹣4）2+y2＝r2（r为常数且r∈N*）的两条切线，切点分别为A，B，若|AB|•|PC|的最小值是，则r＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设P（x0，y0），利用圆的切线性质，借助图形的面积把|AB|•|PC|表示为x0的函数，再求出函数的最小值即可．
【解答】解：设P（x0，y0），由P点在抛物线y2＝2x上，则，
又圆C：（x﹣4）2+y2＝r2（r为常数且r∈N*），可得圆C的圆心C（4，0），半径为r，
由PA，PB切圆C于点A，B，得PC⊥AB，PA⊥AC，PB⊥BC，
则
＝，
当且仅当x0＝3时，等号成立，
可知|AB|•|PC|的最小值为，
整理可得r4﹣7r2+12＝0，解得r2＝4或r2＝3，
且r∈N*，所以r2＝4，即r＝2．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，抛物线的性质，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．l1在x轴上的截距为﹣1
B．l2过点（0，﹣1）且不垂直x轴
C．若l1∥l2，则a＝﹣1或a＝2
D．若l1⊥l2，则
【分析】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率和定点，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可．
【解答】解：直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，直线l2：ax+2y+2＝0，
对于选项A：因为直线l1：x+（a﹣1）y+1＝0，
令y＝0，解得x＝﹣1，
所以l1在x轴上的截距为﹣1，故A正确；
对于选项B：因为直线l2：ax+2y+2＝0的斜率，
即斜率存在，直线l2不垂直x轴，
且a×0+2×（﹣1）+2＝0，即直线l2过点（0，﹣1），故B正确；
对于选项C：若a＝2，则直线l1、l2均为x+y+1＝0，
即两直线重合，不平行，故C错误；
对于选项D：若l1⊥l2，则a+2（a﹣1）＝0，解得，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣x
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率
D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点
【分析】利用给定的椭圆、双曲线方程，结合它们的相关性质逐项判断．
【解答】解：双曲线的渐近线为y＝±x，故A正确；
椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，故B错误；
由椭圆，得a＝4，，则，故C错误；
联立，解得，此方程组有4个解，
因此椭圆和双曲线有4个公共点，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．（6分）已知四面体OABC的所有棱长都为1，D，E分别是OA，BC的中点，M，N是该四面体内切球球面上的两点，P是该四面体表面上的动点，则下列选项中正确的是（ ）
A．DE的长为
B．D到平面ABC的距离为
C．当线段MN最长时，的最大值为
D．直线OE与直线AB所成角的余弦值为
【分析】根据题意，将四面体OABC补形并建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式判断A；利用空间向量法的点面距离公式判断B；利用空间向量数量积的运算律，结合内切球半径的求法判断C；利用空间向量法求异面直线所成角判断D，从而得解．
【解答】解：依题意，将四面体OABC补形为正方体，并建立空间直角坐标系，如图，
因为四面体OABC的所有棱长都为1，则正方体的棱长为，
则，
又D，E分别是OA，BC的中点，则，
对于A，，故A错误；
对于B，，，
设平面ABC的一个法向量为，则有，
令y＝1，则x＝z＝1，故，
所以D到平面ABC的距离为，故B正确；
对于C，设O1是四面体内切球的球心，其半径为r，则，
当线段MN最长时，MN为内切球的直径，O1是MN的中点，则，
所以＝，
因为该四面体的体积为，
表面积为，
所以，解得，则，
因为P是该四面体表面上的动点，当P为正四体的顶点时，最大，
其最大值为，
所以的最大值为，故C正确；
对于D，，
所以＝＝，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查利用空间向量法求解空间距离及夹角问题，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知直线l：y＝kx+3经过点（﹣1，2），则l的倾斜角为 ．
【分析】代入点坐标求得斜率即可得倾斜角．
【解答】解：直线l：y＝kx+3经过点（﹣1，2），
将点（﹣1，2）代入直线方程可得k＝1，
所以直线l的倾斜角θ满足tanθ＝1，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
13．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则＝ ．
【分析】利用等差数列前n项和公式求解．
【解答】解：Sn是等差数列{an}的前n项和，，
则＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知等边三角形ABC的边长为12，点P满足，则＝ ．
【分析】根据题意，以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴建立坐标系，利用平面向量的坐标运算求出点P坐标即可求解．
【解答】解：根据题意，以BC所在的边为x轴，垂直平分线为y轴，
建立如图所示坐标系，
所以B（﹣6，0），C（6，0），A（0，6），
设P（x，y），则，
又因为，
所以，
则有，解得，
所以，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列{an}的前n项和为．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）记，求数列{bn}的前n项和．
【分析】（1）根据作差即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得．
【解答】解：（1）因为数列的前n项和为，
当n＝1时，，
当n≥2时，，
所以，
又当n＝1时，an＝n也成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝n．
（2）由（1）可得，
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则Tn＝b1+b2+b3+⋯+bn
＝．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和，属中档题．
16．（15分）已知A（1，2）、B（3，6），动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）求过点A（1，2）且与曲线C相切的直线的方程．
【分析】（1）设P（x，y），由，得动点P的轨迹方程；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程．
【解答】解：（1）设P（x，y），由A（1，2）、B（3，6），
得，，
由，得（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1，
可得曲线C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝1；
（2）曲线C是以（2，4）为圆心，1为半径的圆，
当过点A（1，2）的直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足与圆C相切；
当过点A（1，2）的切线斜率存在时，设切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，
则，解得，可得切线方程为3x﹣4y+5＝0．
综上所述，所求切线方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
17．（15分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到其准线的距离为2．
（1）求p的值；
（2）直线y＝ax+2与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值．
【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得；
（2）利用韦达定理，结合求解可得．
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0）到其准线x＝﹣的距离为2，
可得﹣（﹣）＝2，即有p＝2．
（2）由（1）可得抛物线方程为y2＝4x，与直线y＝ax+2联立，
消去y可得a2x2+4（a﹣1）x+4＝0，
因为直线y＝ax+2与抛物线C有两个交点，
所以a≠0，Δ＝16（a﹣1）2﹣16a2＞0，解得且a≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
得，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以，
所以，解得．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18．（17分）如图，在四棱锥A﹣BCED中，底面BCED为直角梯形，DE∥BC，DE⊥CE，AD＝BD＝CD＝BC，．
（1）判断直线AB与CD是否垂直，并说明理由；
（2）求平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值．
【分析】（1）根据已知条件可设AE＝CE＝a（a＞0），计算出DE，AD的值，从而证明到DE⊥AE，再由DE⊥CE可证DE⊥平面ACE；建立空间直角坐标系，用坐标表示向量和，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证；
（2）在第一问的基础上，分别求出平面ADE与平面ACD的法向量，利用公式计算可得平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）AB和CD不垂直，理由如下：
设AE＝CE＝a（a＞0），则，
在△BCD中，BD＝CD＝BC，所以△BCD为等边三角形，所以∠BCD＝60°，
因为DE⊥CE，DE∥BC，所以BC⊥CE，从而∠DCE＝30°，
所以在直角△DEC中，，，
又因为AD＝CD，所以，所以在△DEA中，满足DE2+AE2＝AD2，
故△DEA为直角三角形，则DE⊥AE，
又因为DE⊥CE，CE∩AE＝E，所以DE⊥平面ACE；
因为，所以AC2＝AE2+CE2，所以CE⊥AE，
故以点E为坐标原点，EC，EA，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设DE＝1，则AD＝BD＝CD＝BC＝2，，，
所以E（0，0，0），，，，D（0，0，1），
所以，，
所以，
所以不成立，故AB和CD不垂直．
（2）由（1）可知CE⊥AE，CE⊥DE，AE∩DE＝E，所以CE⊥平面ADE，
故为平面ADE的一个法向量，
又，，
设平面ACD的法向量，
则，所以，即，
取，则x＝1，y＝1，
故，
设平面ADE与平面ACD的夹角为θ，
所以＝，
所以平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查线线垂直的判断，以及向量法的应用，属于中档题．
19．（17分）已知M（1，），N（﹣，）是椭圆E：＝1（a＞b＞0）上的两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线x＝2上的动点，直线AP，BP分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线CD经过点F．
【分析】（1）根据题意列方程组，求出a，b即可得解；
（2）由题可得直线AF的方程，联立椭圆的方程即可求得B的坐标，然后表示出直线AP，BP的方程，分别与椭圆的方程联立，即可求得C，D的坐标，然后利用向量共线即可得证．
【解答】解：（1）由题可得，解得：，
所以椭圆E的方程为：；
（2）证明：由（1）知，A（0，1），F（1，0），
所以直线AF的方程为：x+y﹣1＝0，
联立，
所以B（），
又P为直线x＝2上的动点，设P（2，t），
则直线AP的方程为：y＝，
直线BP的方程为：，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，化简得：（t2﹣2t+3）x2+4（t﹣1）x＝0，
可得C（），
联立，化简得：（9t2+6t+3）x2﹣（24t2+20t+4）x+16t2+16t＝0，
所以x2+＝，则，
所以D（，，
所以，，
所以，
所以，
即直线CD经过点F．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
D
B
B