精品解析：江西省赣州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（原卷版）

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2024年7月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则的周长为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，且，共面，则
4. 已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A B. C. D.
5. 勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在三棱柱中，底面，， ，，，为上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有.当时，恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分．部分选对的得部分分．有选错的得0分.
9. 下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C. 若与不共线，且，则
D. 若且，则
10. 在中，，，，为内（含边界）任意一点，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则最大值为
11. 如图，已知正方体的棱长为，点是的中点，点是正方体内（含表面）的动点，且满足，则（ ）
A. 动点在底面内轨迹的长度是
B. 点所在平面截正方体所得截面的面积为
C. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是
D. 存在某个位置，使得直线与平面所成角为
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. __________.
13. 位于水东镇的和谐钟塔是赣州市标志性建筑，高度约为.塔顶测得地面上某两点的俯角分别为和，且，则两点间的距离为__________m.（结果保留根号）
14. 已知一个正四棱台的上下底面边长之比为，体积为，若此正四棱台的内切球存在，则这个内切球的表面积为__________.
四､解答题：本题共5小题．共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数解析式及对称中心；
（2）将的图象向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域.
16. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面，与平面所成角为，为线段上的点.
（1）若为线段的中点，证明：平面；
（2）若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥的体积.
17. 在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且.
（1）求；
（2）若，，的平分线交于点，求的长.
18. 如图，点在直径为的半圆上，垂直于半圆所在的平面，平面，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，异面直线与所成的角是，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.
（1）记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；
（2）设，其中，求的“友向量”模长的最大值；
（3）已知点满足，向量“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.