2025-2026学年江苏省苏州市相城区苏州国裕外语学校八年级（上）12月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省苏州市相城区苏州国裕外语学校八年级（上）12月月考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式变形中，是因式分解的是( )
A. a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1B. 2x2+2x=2x21+1x
C. (x+2)(x−2)=x2−4D. x4−1=x2+1(x+1)(x−1)
2.如果把5xx+y中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个分式的值( )
A. 不变B. 是原来的50倍C. 是原来的10倍D. 是原来的110
3.以下列数组为边长中，能构成直角三角形的( )
A. 1，1， 3B. 13，14，15C. 0.2,0.3,0.5D. 2， 3， 5
4.到▵ABC的三边距离相等的点是▵ABC的( )
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中线的交点
5.下列计算正确的是( )
A. 3× 4= 7B. 2+ 3= 5
C. 18− 8= 10D. 22=2
6.如图，如果“马”在点−1,0，“车”在点4,0，则“帅”所在点的坐标是( )
A. 3,0B. 1,−3C. 1,3D. 2,−3
7.在ΔABC中，AB=10，AC= 40，BC边上的高AD=6，则另一边BC的长为( )
A. 10B. 8C. 6或10D. 8或10
8.如图，∠AOB=45 ∘，OC为∠AOB内部一条射线，点D为射线OC上一点，OD为 2，点E、F分别为射线OA、OB上的动点，则△DEF周长的最小值是( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是 ．
10.若点P的坐标为1,−2，则点P关于x轴的对称点为
11.已知直角三角形的两边长为2和3，则第三边长度为 ．
12.若 12与最简二次根式12 a−1是同类二次根式，则a的值为 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(−1,0)，点C在x轴上，点A在第一象限，且AB=AC，连接AO，若∠AOC=60 ∘,AO=4，则点C的坐标为 ．
14.如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 cm
15.如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC=5，AD=10，BE=132，则AB的长是 ．
16.如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N.若S3=S4=6，则S1+S5= .(注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积)
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算、求值：
(1)2 8÷ 12× 18；
(2)a−ba+2b÷a2−b2a2+4ab+4b2−1．
18.解方程：1x−3+3=x−43−x
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
先化简1+1x2−1÷xx+1，然后从−2，−1，0，1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
20.(本小题8分)
如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠D=∠B，AD // BC．
求证：△AFD≌△CEB．
21.(本小题8分)
A、B两地相距180km，一辆公共汽车和一辆小汽车同时从A地出发驶往B地，小汽车的平均速度是公共汽车的1.5倍，小汽车比公共汽车早1h到达B地．求两车的平均速度．
22.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，∠A=60°，BC= 2，CD=3．
(1)求∠ADC的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
23.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE.求证：CG=EG．
24.(本小题8分)
如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为Aa,0，Bb,0，且a，b满足a+2+ b−4=0，点C的坐标为0,3．
(1)求a，b的值及S▵ABC；
(2)若点M在x轴上，且S▵ACM=13S▵ABC，试求点M的坐标．
25.(本小题8分)
教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如①)，可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2．
(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在▵ABC中，AD是BC边上的高，AB=13,AC=15,BC=14，求AD的值．
26.(本小题8分)
先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知平面内两个点分别为P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，其两点间距离公式为P1P2= x1−x22+y1−y22.例如：点3,2和(4,0)的距离为 3−42+2−02= 5.同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于x轴或平行于y轴时，两点间的距离公式可简化成：P1P2=|x1−x2|或P1P2=|y1−y2|．
(1)已知A、B两点在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A、B两点的距离为 ；
(2)线段AB平行于x轴，且AB=3，若点B的坐标为2,4，则点A的坐标是 ；
(3)已知▵ABC个顶点坐标为A3,4，B0,5，C−1,2，请判断此三角形的形状，并说明理由．
27.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知点A8,0，点C0,6，点B在x轴负半轴上，且AB=AC．
(1)点B的坐标为 ；
(2)如图2，在线段OA上作出一点D(用直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)使点D到AC的距离等于OD，并求出点D的坐标；
(3)如图3，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)，在点M运动的过程中，▵OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.B
6.D
7.C
8.B
9.x≥1
10.1,2
11. 13或 5
12.4
13.(5,0)
14.5
15.12
16.6
17.【小题1】
解：2 8÷ 12× 18
=2×2 2÷ 22×3 2
=4 2×2 2×3 2
=8×3 2
=24 2．
【小题2】
解：a−ba+2b÷a2−b2a2+4ab+4b2−1
=a−ba+2b×a+2b2a−ba+b−1
=a+2ba+b−1
=a+2b−a−ba+b
=ba+b．

18.解：1x−3+3=x−4−x−3
1+3x−3=−x−4
解得x=3
检验：当x=3时，分母x−3=0，
故x=3是增根，原方程无解．
答：原方程无解．

19.解：1+1x2−1÷xx+1，
=x2−1+1x2−1×x+1x，
=x2x+1x−1×x+1x，
=xx−1，
由分式有意义的条件得x≠−1，0，1，
∴x=−2，
将x=−2代入原式，得=−2−2−1=23．

20.证明：∵AD // BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵在△AFD和△CEB中
∠D=∠B∠A=∠CAF=CE,
∴△AFD≌△CEB(AAS)．

21.解：设公共汽车的平均速度为xkm/h，则小汽车的平均速度为1.5xkm/h，
由题意得，180x−1801.5x=1，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的解，符合题意，
∴1.5x=1.5×60=90，
答：公共汽车的平均速度是60km/h，小汽车的平均速度是90km/h．

22.【小题1】
连接BD
∵∠A=60°，AB=AD，∴△ABD为等边三角形
∴BD=AB=2，
∴BD2+CD2=4+9=13，BC2=13，∴BD2+CD2=13=BC2，
∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90° + 60°=150°
【小题2】
作DE⊥AB于E，则∠DEB=90°，∴BE=1，DE2= 4−1= 3，
∴S四边形ABCD= S△DBC+ S△ABD=12×2×3+12×2× 3=3+ 3

23.证明：如图，连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=90 ∘．
∵CE是AB边上的中线，
∴DE=AE=BE．
∵CD=AE，
∴DE=CD．
∵DG⊥CE于G，
∴CG=EG．

24.【小题1】
∵a+2+ b−4=0，
∴a+2=0，b−4=0，
∴a=−2，b=4，
∴点A−2,0，点B4,0．
又∵点C0,3，
∴AB=−2−4=6，CO=3，
∴S▵ABC=12AB⋅CO=12×6×3=9．
【小题2】
设点M的坐标为x,0，则AM=x−−2=x+2，
又∵S▵ACM=13S▵ABC，
∴13AM⋅OC=13×9，
∴12x+2×3=3，
∴x+2=2，
即x+2=±2，
解得：x=0或−4，
故点M的坐标为0,0或−4,0．

25.【小题1】
解：根据题意，设AE=BC=a,AD=EB=b,DE=EC=c，
根据题意，得∠DAB=∠B=90 ∘，EC⊥DE，
∴S梯形ABCD=12a+b⋅a+b=12a2+ab+12b2，S▵EBC=S▵EAD=12ab，
S▵ECD=12c2
根据题意，S梯形ABCD=S▵EBC+S▵EAD+S▵ECD，
故12a2+ab+12b2=12ab+12ab+12c2
整理，得a2+b2=c2．
【小题2】
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90 ∘，
∴AD2=AB2−BD2,AD2=AC2−CD2，
∵BC=14，
设BD=x，则CD=BC−BD=14−x，
∵AB=13,AC=15，
∴132−x2=152−14−x2
∴169−x2=225−196+28x−x2
解得x=5，
∴AD= AB2−BD2= 132−52=12．

26.【小题1】
3
【小题2】
−1,4或5,4
【小题3】
解：∵A3,4，B0,5，C−1,2，
∴AB= 3−02+4−52= 10，
AC= 3+12+4−22=2 5，
BC= 0+12+5−22= 10，
∴AB2+BC2=AC2，且AB=BC，
则▵ABC为等腰直角三角形．

27.【小题1】
−2,0
【小题2】
解：如图所示，设点D到AC的距离为DF，DO是点D到OC的距离，且DO=DF，
∴点D一定在∠ACO的角平分线上，
∴作∠ACO的角平分线，与AO的交点D即为所求，
设DO=DF=x，则AD=OA−DO=8−x，
在Rt▵CDO和Rt▵CDF中
∵CD=CDDO=DF,
∴▵CDO≌▵CDFHL，
∴CO=CF=6，
∴AF=AC−CF=4
∴8−x2=x2+42
解得x=3，
∴D3,0．
【小题3】
解：当点M在原点的左侧时，如图所示，
∵∠MOE=∠BOC+∠COE=90 ∘+∠COE是一个钝角，
故▵OME是钝角三角形，不符合题意；
如图，当点M在原点的右侧，且∠OME=90 ∘时，
∵∠AOC=90 ∘，且点E为边AC的中点，AC=10，
∴OE=EA=EC=12AC=5，
∵∠OME=90 ∘，
∴OM=MA=12OA=4，
∴M4,0，
∴BM=BO+OM=2+4=6，
∵动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，点M运动的时间为t(秒)，
∴t=BM2=3s，
故运动时间为3s，此时Rt▵OME中∠OME=90 ∘，且M4,0；
如图，当点M在原点的右侧，且∠OEM=90 ∘时，
∵∠AOC=90 ∘，且点E为边AC的中点，AC=10，
∴OE=EA=EC=12AC=5，
取OA的中点N，
∴ON=NA=12OA=4，∠ENO=∠ENA=90 ∘，
EN= EO2−ON2=3；
在Rt▵OME中，
则ME2=MO2−EO2，
在Rt▵NME中，
则ME2=MN2+EN2，
∴MO2−EO2=MN2+EN2，
设OM=x，则MN=OM−ON=x−4，
∴x2−25=x−42+9
整理，得8x=50，
解得x=254，
故此时M254,0，
∴BM=BO+OM=2+254=334，
∵动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，点M运动的时间为t(秒)，
∴t=BM2=338s，
∴运动时间为338s，且M254,0，
综上所述，运动时间为3s，且M4,0或运动时间为338s，且M254,0时，▵OME是直角三角形．