《整式运算与因式分解》精选典型题训练——2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习

这是一份《整式运算与因式分解》精选典型题训练——2025-2026人教版八年级上学期数学期末复习，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．观察下列两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若x+ax+b=x2−7x+12，则a,b的值可能分别是（ ）
A．−3,−4B．−3,4C．3,−4D．3，4
2．观察下列几个算式：①(a−1)(a+1)=a2−1；②(a−1)a2+a+1=a3−1；③(a−1)a3+a2+a+1=a4−1；④(a−1)a4+a3+a2+a+1=a5−1，……，结合你观察到的规律判断22024+⋯+22+2+1的计算结果的末位数字为（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．两个正方形如图摆放，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下面四个式子中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．12m2+12n2−12mnB．12m+n2−32mn
C．12m2+n2D．12m−n2+12mn
二、填空题
4．如图1所示，大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
根据这样的等积法，我们可以得出结论：a+b2=a2+2ab+b2．
请你根据等积法，利用图2写出a+b+c2的计算结果 ．
三、解答题
5．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
（1）分解因式x2−46x+520；
（2）若y=−x2+2x+1313，求y的最大值；
（2）当m，n为何值时，代数式m2−2mn−2m+2n2−4n+2030有最小值，并求出这个最小值．
6．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个）
A．a2−2ab+b2=a−b2 B．a2−b2=a+ba−b C．a2+ab=aa+b
（2）若x2−9y2=12,x+3y=4，求x−3y的值；
（3）计算：1−1221−1321−142…1−120292．
7．通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究．
（1）如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为x2+p+qx+pq，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________．
（2）根据上述规律，对以下多项式进行因式分解．
①x2+5x+6
②15a2−2a−1
8．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积：
方法1： ，
方法2： ，
根据上面两种面积表示方法，写出一个关于a，b的公式： ；
（2）已知图2的总面积为64，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为40，求ab的值；
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，如果b−a=3，ab=28，求图3阴影部分的面积．
9．基本知识：通过用两种不同方法计算图1的面积，发现：a+b2=a2+2ab+b2恒成立．基于此，请解答下列问题：
（1）直接应用：若ab=4，a+b=5，直接写出a2+b2的值为 ；
（2）类比应用：若a3−a=2，则a2+3−a2= ；
（3）拓展迁移：为落实国家劳动实践教育的政策，使同学们体验劳动的快乐，掌握劳动技能．某学校计划组织八年级的学生在学校实践园开展劳动实践活动．首先在实践园用栅栏围成一个△ABC区域，用来种植草坪（如图2），其中AC⊥AB于点A，AC与AB两边的长度和为30m，然后再以AC，AB为边分别向外扩建成正方形ACDE和正方形ABFG的用地，分别种植三角梅和月季花，向外扩建的两个正方形面积和为500m2．请根据题意求种植草坪的△ABC的面积．
10．【知识技能】
已知：a+b2=a2+b2+2ab；a−b2=a2+b2−2ab；
填空：（1）①a2+b2=a＋b2−______；②a＋b2−a−b2=______．
【数学理解】
若x满足5−xx−2=2，求5−x2+x−22的值．
解：设5−x=a，x−2=b，
则5−xx−2=ab=2，a+b=5−x+x−2=3，
∴5−x2+x−22=a2＋b2=a＋b2−2ab=32−2×2=5．
【解决问题】
（2）①若x满足7−xx−3=3，则7−x2+x−32=______；
②若x满足x+12+x−32=26，求x+1x−3的值；
③如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形，若AB=x，AD=x+1，四边形ABCD的面积为6，求正方形AEMG，的面积．
11．9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知KT板（阴影部分）的尺寸如图2所示．
（1）用含a、b的代数式表示图2的KT板模型的总面积（结果需化简）；
（2）若a+b=7，ab=252，求KT板总面积．
12．我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决以下问题．
图1是一个长为4b，宽为aa>b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形．
（1）观察图1，图2，请写出a+b2，a−b2，ab之间的等量关系：______．
（2）如图3，正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长b，点E，G分别在CD，BC边上．若a+b=13，ab=32，求图中阴影部分的面积．
13．如图1，将边长a+b的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题：
（1）用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢：
（2）根据上述结论，初步解决问题：已知a+b=6,a2+b2=20,求ab的值；
（3）解决问题：如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作等腰直角三角形，记SRt△ACD=S1,SRt△CBE=S2,若AC+BC=8,S1+S2=25,求图中阴影部分的面积．
四、阅读理解
14．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．②求x2+6x+11的最小值．
解：原式=a2+6a+9−1
=a+32−12
=a+3−1a+3+1
=a+2a+4；
解：原式=x2+6x+9+2
=x+32+2；
∵x+32≥0，
∴x+32+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）当x为何值时，多项式x2+4x−6有最小值？请求出这个最小值；
（2）若x2+5x+2=0，求2x2+11x−102+x2的值；
（3）证明：关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解．
15．阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：a2+6a+8．
解：原式=a2+6a+9−1=a+32−1=a+3−1a+3+1=a+2a+4
例2：若M=a2−2ab+2b2−2b+2,利用配方法求M的最小值．
解：a2−2ab+2b2−2b+2=a2−2ab+b2+b2−2b+1+1=a−b2+b−12+1
∵a−b2≥0,b−12≥0
∴当a=b=1时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2−16x+60；
（2）求代数式−x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2=2ab+4b+6c−13，试判断三角形的形状．
16．【阅读理解】若x满足9−xx−4=4，求9−x2+x−42的值．
解：设9−x=a，x−4=b，
则9−xx−4=ab=4，a+b=9−x+x−4=5，
∴9−x2+x−42=a2+b2=a+b2−2ab=52−2×4=17
【解决问题】
（1）若x满足5−xx−2=2，则5−x2+x−22=_____；
（2）若x满足x+12+x−32=26，求x+1x−3的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF正方形，求阴影部分的面积．
17．阅读理解：若x满足(5−x)(x−2)=2，求(5−x)2+(x−2)2的值，
解：设5−x=a，x−2=b，则(5−x)(x−2)=ab=2，a+b=(5−x)+(x−2)=3，
所以(5−x)2+(x−2)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=32−2×2=5．
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现：（1）若x满足(7−x)(x−3)=3，求(7−x)2+(x−3)2的值；
类比探究：（2）若x满足(x+1)2+(x−3)2=26，求(x+1)(x−3)的值；
拓展延伸：（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和S1+S2=22，求图中阴影部分的面积．
18．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到a+b2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】（1）①若xy=8，x+y=6，则x2+y2的值为 ；
②若x5−x=6，则x2+5−x2= ；
【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板(∠AOB=∠COD=90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD=14，SΔAOC+SΔBOD=54，求一块三角板的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
5．【答案】解：（1）x2−46x+520
=x2−46x+529−9
=x−232−32
=x−23+3x−23−3
=x−20x−26，
（2）y=−x2+2x+1313
=−(x2−2x+1−1)+1313
=−(x−1)2+1314
∵(x−1)2≥0，
∴−(x−1)2≤0，
∴−(x−1)2+1314≤1314，
当x=1时，y的最大值为1314；
（3）m2−2mn−2m+2n2−4n+2030
=m2+−2mn−2m+n2+2n+1+n2−6n+9+2020
=m2−2mn+1+n+12+n−32+2020
=m−n−12+n−32+2020，
∵m−n−12≥0，n−32≥0，
∴m−n−12+n−32+2020≥2020
即当m−n−1=0，n−3=0时，原式取最小值，为2020．
∴当m=4，n=3时，多项式m2−2mn−2m+2n2−4n+2030有最小值2020．
6．【答案】（1）B
（2）解：∵x2−9y2=x+3yx−3y=12,x+3y=4，
∴x−3y=3；
（3）解：1−1221−1321−142…1−120292
=1−121+121−131+131−141+14⋯1−120291+12029
=12×32×23×43×34×54×⋯×20282029×20302029
=12×20302029
=10152029．
7．【答案】（1）x+px+q，x2+p+qx+pq=x+px+q
（2）解：①x2+5x+6=x+2x+3，
②15a2−2a−1=3a−15a+1．
8．【答案】（1）a+b2，a2+2ab+b2，a+b2=a2+2ab+b2
（2）（2）由题意得a+b2=a2+2ab+b2=64，a2+b2=40，
∴ab=a+b2−a2+b22=64−402=12；
（3）解：（3）图3阴影部分的面积为：
a2+b2−12b2−12aa+b
=a2+b2−12b2−12a2−12ab
=12a2+b2−ab
=12b−a2+ab，
∵b−a=3，ab=28，
∴图3阴影部分的面积为12×32+28=372
9．【答案】（1）17
（2）5
（3）解：设AC=a，AB=b，
由题意得，a+b=AC+AB=30cm，a2+b2=500cm2，
由a+b2=a2+2ab+b2可得ab=12a+b2−a2+b2
∴S△ABC=12AC⋅AB
=12ab
=12×12a+b2−a2+b2
=14×900−500
=100m2．
即种植草坪的△ABC的面积为100m2．
10．【答案】（1）①2ab，②4ab；
（2）①10，
解（2）②设m=x+1，n=x−3，
∴m−n=4，m2+n2=26，
∴x+1x−3
=mn
=m2+n2−m−n22
=26−162
=5；
③由题意得xx+1=6，AE=AD+AB−2x+1，
设AB=x，AD=y=x+1，
∴x−y=x−x+1=−1，xy=xx+1=6，x+y=2x+1，
S正方形AEMG=AE2
=x+y2
=x−y2+4xy
=1+4×6
=25．
11．【答案】（1）解：由图可得：
KT板模型的总面积为：12b⋅a+12b+3b⋅32b+12b+6a−2b⋅a
=12ab+3b2+3a2−12ab
=3b2+3a2；
（2）解：∵a+b=7，ab=252，
∴a2+b2=a+b2−2ab=72−2×252=49−25=24，
∴KT板模型的总面积为3b2+3a2=3a2+b2=3×24=72．
12．【答案】（1）a+b2=a−b2+4ab
（2）解：S阴影部分=12aa−b+12b2
=12a2−ab+b2
=12a+b2−3ab
=12×132−3×32
=732．
13．【答案】（1）a2+b2；a+b2−2ab；a2+b2=a+b2−2ab
（2）解：∵a+b=6,a2+b2=20,由（1）得：a2+b2=a+b2−2ab，
∴ab=a+b2−a2+b22=62−202=8
（3）解：设AC=x,BC=y,
∵AC+BC=8,S1+S2=25，
∴x+y=8,12x2+12y2=25，
∴xy=12x+y2−x2−y2=12×82−2×25=7，
∴阴影部分的面积为12xy×2=7．
14．【答案】（1）解：∵x2+4x−6=x2+4x+4−10=x+22−10，
又∵x+22≥0，
∴x+22−10≥−10，
故当x=−2时，
多项式x2+4x−6有最小值，最小值为−10；
（2）解：由题知，
原式=2x2+5x+x−102+x2，
∵x2+5x+2=0，
∴x2+5x=−2，2+x2=−5x，
则原式=2×−2+x+2x
=x2+2x−4
=−5xx−4
=−5−4
=−9；
（3）证明：∵x2+8x+20=x2+8x+16+4=x+42+22，
而a2+b2的形式不能分解因式，
∴关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解．
15．【答案】（1）解：x2−16x+60
=x2−16x+64−4
=x−82−22
=x−8−2x−8+2
=x−10x−6．
​​​​​​
（2）解：−x2+14x+10=−x2−14x+10
=−x2−14x+72−72+10
=−x−72+49+10
=−x−72+59；
∵−x−72≤0，
∴−x−72+59≤59，
∴代数式−x2+14x+10的最大值为59，此时x=7．
（3）解：∵a2+2b2+c2=2ab+4b+6c−13，∴a2−2ab+b2+b2−4b+4+c2−6c+9=0，
即a−b2+b−22+c−32=0，
∴a−b=0，b−2=0，c−3=0，
∴a=b=2，c=3，
∴△ABC是等腰三角形．
16．【答案】（1）5
（2）解：设m=x+1,n=x−3，则m−n=x+1−x+3=4，
因为m2+n2=x+12+x−32=26
所以x+1x−3=mn=12m2+n2−m−n2=12×26−16=5；
（3）解：由题意得，正方形GFDH的边长为x−3，正方形MFRN的边长为x−1，因为长方形EMFD的面积是48，即x−3x−1=48，
设p=x−1,q=x−3，则p−q=x−1−x+3=2,pq=x−1x−3=48，
所以p+q2=p−q2+4pq=4+4×48=196，
即p+q=14，
所以阴影部分的面积为x−12−x−32=p2−q2=p+qp−q=14×2=28，
即阴影部分的面积为28．
17．【答案】（1）解：（1）设7−x=a，x−3=b，
∴a+b=7−x+x−3=4，
∵7−xx−3=3，
∴ab=3，
∴7−x2+x−32=a2+b2
=a+b2−2ab
=42−2×3
=16−6
=10，
∴7−x2+x−32的值为10；
（2）解：设x+1=a，x−3=b，
∴a−b=x+1−x−3=4，
∵x+12+x−32=26，
∴a2+b2=26，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴42=26−2ab，
∴ab=5，
∴x+1x−3=5；
（3）解：设AC=x，BC=y，
∵S1=AC2=x2，S2=BC2=y2，S1+S2=22，
∴x2+y2=22，
∵AB=AC+BC=6，
∴x+y=6，
∴x+y2=36，
∴x2+y2+2xy=36，
∴22+2xy=36，
∴2xy=36−22，
∴2xy=14，
即xy=7，
∴阴影部分的面积为：S=12AC⋅BC=12xy=12×7=72．
18．【答案】（1）①20；②13；
解：
（2）设三角板的两条直角边AO=m，BO=n，则一块三角板的面积为12mn，
∴m+n=14，12(m2+n2)=54，即m2+n2=108，
∵2mn=(m+n)2−(m2+n2)=142−108=88，
∴mn=44，
∴12mn=12×44=22，
∴一块三角板的面积是22．例如：求代数式：x2−12x+2020的最小值
解：原式=x2−12x+62−62+2020
=x−62+1984
∵x−62≥0
∴当x=6时，x−62的值最小，最小值为0
∴x−62+1984≥1984
∴当x−62=0时，x−62+1984的值最小，最小值为1984
∴代数式：x2−12x+2020的最小值是1984
例如：分解因式：x2−120x+3456
解：原式=x2−2×60x+602−602+3456
=x−602−144
=x−602−122
=x−60+12x−60−12
=x−48x−72