山东省实验中学2025-2026学年高一上学期第一次诊断性考试数学试卷含解析（word版）

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2025.12
注意事项：
1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举法表示出集合B，再由集合的交运算求即可.
【详解】由题设，，
∴.
故选：C
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断.
【详解】可化为，即，
因为，所以不等式的解集为
因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 若a、b是任意实数，且a > b，则下列不等式一定成立的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】当时， ， ,,再根据指数函数单调性得D成立，选D.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，且，
因此，函数的图象为选项D中的图象.
故选：D.
5. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据诱导公式对条件和所求式子化简，再根据齐次化为切直接计算可得结果.
【详解】由诱导公式得，所以.
再由诱导公式，
所以
.
故选：B.
6. 已知函数是定义在上的奇函数，且以2为周期，当时，，则的值为
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得：，代入中计算即可得到答案．
【详解】由于；
因为函数是定义在上的奇函数，且以2为周期；
所以
又因为，所以；
故答案选A
【点睛】本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题．
7. 设均为正数，且，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
8. 对于二次函数，若函数有4个零点，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，由至多有2个根，则的根至多有4个，利用二次函数的图象即可求解.
【详解】令，，由至多有2个根，则的根至多有4个，
故有4个根，所以有两个根，且和各产生2个根，
从而，结合二次函数图象可知，必有，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是第四象限角，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由是第四象限角，确定，的范围，再进一步确定，即可判断各选项.
【详解】是第四象限角，则，，
则，，
故A，C，D正确，B错误.
故选：ACD.
10. 已知，，且，则下列不等式正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意构造函数，结合函数单调性可得，再利用指数函数单调性可判断A、C；举出反例可得B；结合对数函数定义域可得D.
【详解】由，则，
令，则有，
又在上单调递增，则；
对A：由在上单调递减，故，故A正确；
对B：取，，则，，此时，故B错误；
对C：由在上单调递增，故，故C正确；
对D：由、可取负数，故、不一定有意义，故D错误.
故选：AC.
11. 已知，若关于x方程有两个不等实根，，则（ ）
A. 的取值范围是B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】令，则关于的方程有两个不等实根、，从而可得或
，则可得与有关不等式组，即可得A；由、，则，，结合的范围
可得B；结合B中所得，对平方并计算可得C、D.
【详解】令，则关于的方程有两个不等正实根、；
对A：有，即或，则，
解得，故的取值范围是，故A错误；
对B：由、，则，，
故，
由，则，故，
故，故B正确；
对C、D：，
由B知，，故，又，
故，故，，故C、D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数式，对数式运算性质化简计算即可.
【详解】原式
故答案为：
13. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】将两边平方，利用同角三角函数的平方关系和商数关系化简，可得．
【详解】将两边平方可得：
即
即，故，解得
故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数间的平方关系和商数关系，考查学生计算能力，属于中档题．
14. 设函数，若存在唯一的，使对任意都成立，则a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据分段函数的特征分，，三种情况，前两种情况可直接判断，对再分，，三种情况讨论并结合数形结合可得结果.
【详解】因为存在唯一的，使对任意都成立，所以函数有最小值且有唯一的最小值点.
当时，是一次函数.
（1）若，在单调递增，无最小值，且当时，，不符合题意；
（2）若时，当时，，当时，单调递增，，
所以函数在定义域内有最小值为0，但最小值点不唯一，故不符合题意；
（3）若时，当时，单调递减，所以.当时，，
①若时，函数在上单调递减，在单调递增，要使函数有唯一最小值点，
所以，，解得或，
所以，此时函数在处取得最小值0.如图：
②若时，函数在上单调递增，要使函数有唯一的最小值点，
所以，，解得或，
所以，此时函数处取得最小值.如图：
③若时，此时由，函数无最小值，如图：
综上所述，a的取值范围为或，即.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知一个扇形的周长是40，
（1）若扇形的面积为75，求扇形的圆心角；
（2）求扇形面积S的最大值.
【答案】（1）扇形的圆心角为或
（2）
【解析】
【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角；
（2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值.
【小问1详解】
设扇形的半径为，扇形的弧长为，
由题意可得，所以，
所以，所以，
所以，解得或.
当时，，扇形的圆心角为；
当时，，扇形的圆心角为；
综上所述：扇形的圆心角为或；
【小问2详解】
设扇形的半径为，扇形的弧长为，
由题意可得，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以扇形面积S的最大值为.
16. 记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q．
（1）若a＝－3，求集合P；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二次不等式的求解求出P，
（2）结合绝对值不等式的求解求出Q，然后结合集合之间的包含关系即可求解．
【小问1详解】
当时，原不等式可转化为，解得，
.
【小问2详解】
由可得，即解集为，
当时，，满足题意；
当时，，，；
当时，，，；
综上，a范围．
17. 2021年中国载人航天工程相继发射了第十二、第十三艘飞船，与空间站完成对接，进入太空站完成任务。在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为．
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加．求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据：，.
【答案】（1）
（2）74
【解析】
【分析】（1）代入公式中直接代入计算即可.
（2）根据题意列出不等式求解，即可得出答案.
【小问1详解】
由题意总质比，，代入公式，
即.
所以，当总质比为200时， A型火箭的最大速度为.
【小问2详解】
经过材料更新和技术改进后，A型火箭得喷流相对速度为，总质比为.
要使得速度至少增加到，则需，
化简得，
所以，
由的单调性易得，即，
因为，所以.
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
18. 已知是定义域为的奇函数．当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，设函数，求在上的最大值与最小值；
（3）设，当时，的取值范围为，求实数a，b的值.
【答案】（1）
（2）最大值5，最小值4；
（3），
【解析】
【分析】（1）当时，，由可得时的解析式，进而得到结果；
（2）设，化简得到；分别在和的情况下，由的正负得到函数单调性，进而可求解；
（3）分别在、和的情况下，根据的单调性确定最值点，结合最值求得的值.
【小问1详解】
当时，，；
为定义在上的奇函数，当时，；
综上所述：.
【小问2详解】
由题意得：；
设，
则；
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
又，
所以在上的最大值5与最小值4；
【小问3详解】
当时，，
①当时，在上单调递增，，
，即，，不合题意；
②当时，在上单调递减，，
即为方程在上的两根，
由得：，
解得：，，，则，；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，
，解得：，不合题意；
综上所述：，.
19. 函数被称为小数距离函数，它的定义是指x与距离它自己最近的整数的距离，比如：是指2.7与距离它最近的整数3之间的距离，我们可以写成.
（1）已知非负实数a，b满足，分别写出与的最小值和最大值.
（2）已知，且在区间上有2025个解，求a的所有可能取值.
（3）已知x为正实数，求的最大可能值.
【答案】（1）的最小值为0，最大值为1；的最小值为0，最大值为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对于，讨论即可；对于，讨论即可；
（2）画图得出对称性、周期性等，进而得出的性质，结合图像分析交点个数即可；
（3）结合（2）画出图像，分析得出总在图像，即，求出其交点的最大值即可.
【小问1详解】
①不妨设，则，
则，最小值为0，最大值为1；
当时，，，
单调递增，，
当时，，
，
，在单调递减，
，，
所以的最小值为0，最大值为.
【小问2详解】
，，
作出图像如图，可得为偶函数，周期为1，最大值为，
则图像如图，同样为偶函数，周期为，
在第一象限与交点如图，
若与的个周期，各有两个交点，且与个周期无交点时，
则与共有个交点，
当时，共有个交点，
当时，共有个交点，如图，
则要使且在区间上有2025个解，只能恰与有1个交点，即，.
【小问3详解】
由（2）得，周期为，
如图，总在最下方的图像，即，
当时，，
令，得，
即最大为，
当时取得.