精品解析：重庆市主城七校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题+答案

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考试时间120分钟 试题总分150分 试卷页数4页
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存
2. 已知等比数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. 6D. 不确定
3. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 方程所表示的图形是（ ）
A. 一个圆B. 一个半圆C. 两个圆D. 两个半圆
5. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
6. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（ ）
A. B. C. D.
7. 数列中，，，若，则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
8. 如图：，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）

A B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错得0分.
9. 已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是等比数列
B. 可能是等差数列
C. ，，是等比数列
D. 是等比数列
10. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作准线的垂线，垂足为，，线段的中点为，则下列结论正确的是（ ）
A. 线段长度的最小值为
B. 若，，则为定值
C.
D. 若，则直线倾斜角的正弦值为
11. 如图，在棱长为6的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 存点，使平面平面
C. 设直线与平面所成角为，则最小值为
D. 平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为______.
13. 已知等差数列中，前项和为，这项中的偶数项之和为，且，则数列的通项公式______.
14. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆与两坐标轴均相切，且过点.直线过点交圆于，两点.
（1）求圆的方程；
（2）若且，求直线方程.
16. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，.
（1）求证：平面
（2）求直线与平面所成角正弦值.
17. 已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，，
（1）求和的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求.
18. 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为.
（1）当时，求证：平面；
（2）当时，
（i）求点到底面的距离；
（ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值.
19. 已知椭圆左，右焦点分别为，，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点（其中点在轴上方），的周长为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直.
①若，求三棱锥的体积；
②是否存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.