辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期12月第二次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期12月第二次月考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列条件中使成立的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ）

A．B．C．D．
4．定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，曲线和恰有一个交点，则（ ）
A．1B．-1C．D．0
8．函数的图象关于对称，则的最大值为（ ）
A．16B．C．D．36
二、多选题
9．已知，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数B．4是的一个周期
C．D．
三、填空题
12．幂函数没有零点，则函数恒过定点
13．已知函数，则不等式的解集为
14．已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则
四、解答题
15．（1）计算：
（2）计算：；
（3）设正实数满足，求的值
16．已知函数
(1)若，求的值域；
(2)若，函数的最小值为，求的值．
17．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；
(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）
18．已知函数的反函数为
(1)求的解析式，并判断单调性（无需证明）；
(2)当时使得关于不等式有解，求的取值范围：
(3)若关于的不等式有2个整数解，求的取值范围．
19．已知
(1)证明：为定值；
(2)函数在上只有一个零点，求的取值范围；
(3)证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由．
1．A
由函数定义域求出集合，由函数值域求出集合，由并集的定义求得结果.
【详解】∵，∴，即，
∵指数函数，即，
∴.
故选：A.
2．A
逐一分析各选项条件和能否互相推出即可求解.
【详解】对于A，因为是上的增函数，所以，故A正确；
对于B，不能推出，如，故B错误；
对于C，不能推出，如，故C错误；
对于D，不能推出，如，故D错误.
故选：A.
3．D
根据函数图象得到对应的函数的定义域为和当时，，再一一判断各个选项即可.
【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为，
对于A选项：的定义域为，所以A选项错误；
对于B选项：的定义域为，所以B选项错误；
又知当时，，
对于C选项，的定义域为，
当时，，所以C选项错误；
对于D选项，的定义域为，
当时，，所以D选项符合题意.
故选：D.
4．B
令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案.
【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是，
令，
则，即为偶函数，
所以也是偶函数，即，
所以，即是偶函数，
对于函数无法判断函数的奇偶性.
故选：B
5．A
根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可.
【详解】因为，，，
又，
因为在上单调递增，且，
所以，即，
综上可得.
故选：A
6．B
根据给定条件，利用对数函数单调性及复合函数单调性，结合真数恒大于0列式求解.
【详解】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
7．C
将转化为，构造函数，利用偶函数的对称性即可确定方程只有一个根时的值.
【详解】由可得，
整理得，
设，则函数的定义域为，
所以，则在上为偶函数，
若方程只有一个根，根据偶函数的对称性可得.
故选：C.
8．D
根据函数的对称性利用特殊值列方程组求解析式，验证对称性即可确定解析式，根据对多项式乘法运算性质，结合二次函数的图像性质，从而得函数的最大值.
【详解】由函数的图象关于直线对称可知，
，即，解得：，
则，
所以对称性成立，
，
令，
所以，
根据二次函数的性质可得，故当，即时函数的最大值为36.
故选：D．
9．ABD
利用不等式性质判断A；利用基本不等式判断BCD.
【详解】对于A，因为，所以，所以，
所以，故A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，，
当且仅当时取等号，故C不正确；
对于D，，
当且仅当时取等号，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
根据题意，转化为与函数和的图象，作出函数及和的图象，结合图象得到点关于原点对称，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由函数的零点为，函数的零点为，
所以函数与函数的图象交点的横坐标为，
函数与函数的图象交点的横坐标为，
作出函数，以及和的图象，如图所示，
点的横坐标为，点的横坐标为，
因为函数和的图象关于直线对称，且点关于对称，
又因为点关于上，所以点关于原点对称，
对于A，由图象可得，所以，所以A正确；
对于B，，且，所以，所以B正确；
对于C，由函数，可得，
且，当时，，
根据零点的存在性定理，可得，所以，
又由，所以，所以C不正确；
对于D，由，则，
所以，即，所以，所以D正确.
故选：ABD.
11．BCD
利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项.
【详解】由，用代入，得，
又，两式相加得，
由是偶函数，得，代入上式，得，
可得，所以，即，
因为，则，
所以，所以为偶函数，A选项错误；
由，得，
又，两式相减得，
所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确；
由，可得，所以，
由可得，所以，
由，，可得，
由，，可得.
所以，C选项正确；
由上面推导可知，
因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1，
同理可得偶数的平方除以4的余数为，
所以，D选项正确.
故选：BCD.
12．
根据幂函数系数为求出的值，代入判断函数恒过的定点.
【详解】因为是幂函数，所以系数，
即，化简得，解得或，
当时，指数，幂函数为，
定义域为，函数值恒不为，没有零点，符合题意，
当时，指数，幂函数为，有零点，不符合题意，故，
则函数，令，即，
此时，所以恒过定点.
故答案为：
13．
借助指数函数、对数函数单调性探讨函数在上单调性，再构造函数，并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】依题意，，
则函数定义域为R，
函数在上单调递减，
函数在上单调递增，
则函数在上单调递减，
而函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，
令，
，
函数是R上的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减，
于是函数在R上单调递减，
不等式，
即，因此，解得，
所以所求不等式的解集为.
故答案为：
14．31
根据给定条件，取可得，再利用赋值法计算即得．
【详解】由函数满足，
取，则，
因此，
，，
所以．
故答案为：31．
15．（1）100；（2）．（3）
（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解；
（3）设，求得和，结合立方和公式，即可求解.
【详解】（1）由
；
（2）由
.
（3）设，可得，则，所以，
又由，可得，
所以.
16．(1)；
(2)或.
（1）将整理成，代入，利用换元法设，，利用对数函数和二次函数的图像求值域；
（2）将整理成，设，利用对数函数和二次函数的图像求值域，分别讨论二次函数的对称轴在区间的左中右这三种情况求解.
【详解】（1），
时，设，
当时，取最小值；
当时，取最大值2；
因此函数的值域为．
（2），
设，，，
①当，即，函数的最小值为，满足题意；
②当，即，
函数的最小值为，由已知，
解得（舍去）或（舍去）；
③当，即，函数的最小值为，
由已知，故，
综上所述：的值为或.
17．(1)
(2)0.3小时后，5.2小时
（1）当时，设，再将代入即可求出的值，当时，将点的坐标代入函数表达式即可求出的值，则可写出答案；
（2）分段求出时，对应的的取值范围，即可写出答案.
【详解】（1）当时，由图象可设，
将点的坐标代入函数表达式，解得，
即当时，，
当时，将点的坐标代入函数，
得，解得，所以，
故.
（2）当时，，
令，即，解得，即，
又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，
当时，，
令，即，解得，
又，∴，
综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.
18．(1)，在上单调递增.
(2)
(3)
（1）根据反函数的求法可求出答案，利用复合函数的单调性可判断单调性；
（2）证明为奇函数，将不等式化为，由题意可知，求最大值即可求出答案；
（3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式化为，结合一元二次不等式解的情况分类讨论，即可求出答案.
【详解】（1）由得，可化为，
故，在上单调递增.
（2）定义域为，，
，所以函数是奇函数，
可化为，
即，
因为在上单调递增，所以，
当时若关于不等式有解，
则，
令，因此有，
在单调递增，所以当时，取得最大值，
即的最大值为,
故.
（3）根据函数的单调性和奇偶性，原不等式可化为，即，即，
①当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意；
②当时，不等式解集为，此时不等式有无数个整数解，不满足题意；
③当时，不等式解集为，不满足题意；
④当时，不等式解集为，此时，不等式无整数解，故不满足题意；
⑤当时，不等式解集为，若不等式有2个整数解，则，解得.
综上所述，的取值范围为.
19．(1)证明见解析；
(2)或；
(3)证明见解析，，理由见解析.
（1）根据指数幂的运算直接证明即可；
（2），，方法一：进而将问题转化为的零点个数问题，再结合二次函数零点分布分类讨论求解即可；方法二：分离参数，转化为函数图象交点个数问题，再研究性质，数形结合求解；
（3）方法一：由题知，且为增函数，进而根据，得有唯一的正零点，,，,再作差法比较得，最后根据比较大小即可，方法二：同方法一得有唯一的正零点，,，进而比较与的大小即可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即为定值；
（2），设，由得，
设，则在有且只有一个零点，
①时，不满足题意.
②解得，
③解得无解，
④时，即，此时，满足题意，
⑤时，，
检验，当时，，满足题意．
当时，，不满足题意．
综上所述：的取值范围为或.
方法二：，设，
设，令.
由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增
函数在单调递增，上单调递减.
当时，，
故的图象如图所示，
由图象可知的取值范围为或．
（3）方法一：依题意可得，
因为在上均单调递增，所以在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，可得．
方法二：依题意，
因为在上均单调递增，所以在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，即，
所以,
因为，，
所以，即，