黑龙江省哈尔滨市第九中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在等差数列中，，则（ ）
A．5B．6C．10D．15
2．如果直线的一个方向向量是，则其倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．2B．4C．16D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ）
A．B．1C．D．
6．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（ ）项
A．6B．7C．8D．9
7．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
8．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）（参考数据：）
A．3937万元B．3837万元C．3737万元D．3637万元
二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．
C．使的n的最大值为25D．
10．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C的方程为
B．若，则的面积为24
C．若点处的切线交轴于，则轴
D．当n过点时，光由所经过的路程为13
11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．若点在圆外，则实数k的取值范围为 .
13．已知数列满足：，，则 ．
14．如图，曲线（）上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，…，，…设正三角形的边长为，（记为），.数列的通项公式 .
四、解答题
15．已知等比数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足 （），求前项和．
16．在几何体中，底面为平行四边形，平面，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且，，求平面与平面夹角的余弦值.
17．平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值．
18．正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和.
(1)证明是等差数列，并求出的通项公式；
(2)若数列前项和，求数列的通项公式；
(3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值.
19．已知椭圆：（）.定义第（，）次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
(1)若，，，，求，；
(2)若，，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，、是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标；
(3)若，是在第一象限与不重合的一动点，求证：，并用含，的式子表示.
1．C
利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由等差中项的性质可得，解得，
所以.
故选：C
2．A
根据方向向量得到斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的一个方向向量是，故斜率为，
设直线的倾斜角为，则，故.
故选：A.
3．C
根据等比数列的定义即可求解．
【详解】当时，则，
而，，故舍去；
当时，，
，
可得，.
故选：C.
4．C
求出点，再根据直角三角形中，结合双曲线的定义可得的关系，即可得答案；
【详解】，，
，
，
双曲线的渐近线方程为，
故选：C.
5．B
本题考查椭圆的定义和性质，以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于利用椭圆的定义求出的周长，再结合三角形面积公式建立等式求解点的纵坐标.
【详解】由题知，，
所以.
设的内切圆半径为，因为（根据面积相等列出方程），
所以，得.
故选：B
6．B
设数列的最大项为,由求解.
【详解】设数列的最大项为，
则，即，
化简得，解得，
所以，又，所以，
即数列的最大项是第项.
故选：B
7．D
先由得到，利用累加法求出，则.
【详解】因为，所以即；
所以
即；
所以，而也符号该式，故
故选：D
8．A
设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为，进而可得，根据配凑法、分组求和法求得正确答案.
【详解】设该公司在2024年，2025年，...，2033年的销售额（单位：万元）分别为.
依题意可得，则，
所以数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，
则，即，
则，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为3937万元.
故选：A.
9．ABD
【详解】设等差数列的公差为，则，
又，所以，解得，
则，故AB正确；
令即，解得或（舍去），
所以不等式的解集为，
又，所以的最大值为26，故C错误；
令，
则恒为负，，恒为正，
所以
.故D正确.
故选；ABD
10．ACD
对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，又，解出即可判断，对于B，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断，对于C，由平分，由角平分线定理，得，又，解出，即可判断，对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断.
【详解】对于A，由题意可知，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，又，解得，所以C的方程为故A正确；
对于B，由，得，
在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，，
即，所以，则，故B错误；
对于C，由题意可知，平分，由角平分线定理，得，
又，解得，，，
即轴，故C正确；
对于D，由题意可知，，当过点时，
由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
根据等比数列的性质依次分析选项即可．
【详解】由题意知，
A：由正项数列，且得，由得，
所以，又，所以，故A错误；
B：由，，
即，故B正确；
C：
，故C正确；
D：因为是各项为正数的等比数列，，
有
所以，
所以，故D错误．
故选：BC．
12．
由点与圆位置关系结合圆的定义即可列不等式组求解.
【详解】因为点在圆（即）外，
所以.
所以实数k的取值范围为.
故答案为：
13．
由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果.
【详解】由题意得：，，，，
所以数列是周期为4的周期数列，
所以.
故答案为：2.
14．/
由是边长为的正三角形，得的坐标，代入中求出的值， 由每一个三角形都为正三角形，从而得，将点的坐标代入中得，再由求出，从而可求得.
【详解】由条件可得为正三角形，且边长为，则，
由在曲线上，代入（）中，得且，则，
根据题意得点，代入（）并整理，得.
当，时，，
即，，则，
当时，，则或（舍），
∴，故，
∴数列是首项、公差均为的等差数列，则.
故答案为：.
15．(1)
(2)2728
（1）利用基本量代换列方程组求出首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求和.
【详解】（1）因为,①
,②
由①②解得，，
所以.
（2）由题知
所以


.
16．(1)证明见解析；
(2).
（1）由线面垂直的性质得，再由线面、面面垂直的判定证明结论；
（2）构建合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，，
所以平面，平面，所以平面平面；
（2）因为，结合（1）可知底面为正方形，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，令，，
设平面的一个法向量为，则，令，，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)
（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式.
（2）设直线，，根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值.
【详解】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1．
所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，
所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，
所以，所以曲线的方程为：.
（2）如图：

设直线，，
代入抛物线得：，得，
整理得：.
由韦达定理：.
所以.
用代替，可得.
所以.
设，则，当且仅当时取等号.
则. .
18．(1)证明见解析，
(2)
(3)最大值为3，最小值为
（1）根据与的关系作差化简得出，再结合等差数列的定义和通项公式可求解；
（2）利用计算；
（3）利用裂项相消计算，再结合其增减性可得.
【详解】（1）因，则当时，，
两式作差得，即，
因，则，
当时，，又解得，则满足上式，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
其通项公式为；
（2）由（1）得，
当时，，
因，满足上式，所以其通项公式为；
（3），
则
，
当为奇数时，，为递减数列，
又，则；
当为偶数时，，为递增数列，
又，则；
则的最大值为，最小值为.
19．(1)，；
(2)，，；
(3)证明见解析，.
（1）利用点斜式求出直线的方程，直线的方程代入代入椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，解出的值，将的值代入直线的方程，求出的坐标，由与关于轴对称，得到的坐标，即可得到，.
（2）由题中条件可得的值，利用是等腰三角形.按照和这两种情况讨论求解.
（3）设斜率，利用点斜式求出过点的直线的方程即；直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，设，利用韦达定理求出，解出，代入直线的方程，得到，从而得到点的坐标，继而得到点的坐标，根据与的坐标关系，由坐标得到的坐标，利用两点间的距离公式得到，由点斜式得到直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，求出，将点在椭圆，解出，将其代入得解.
【详解】（1）当，时，椭圆：，
因为，，所以直线为，
即，代入椭圆方程：，
得，即，或；
当时，，所以，
因为与关于轴对称，所以，所以，.
（2）若，，则椭圆：，
焦点为，，
则，因为是等腰三角形.
当时，点在椭圆的上顶点，故；
当时，
设，，则 ①，
因为在椭圆上，所以 ②，
由①、②得到，解得，（舍去），
所以.所以；
当时，根据椭圆的对称性得到；
综上得，点的坐标为，，.
（3）证明：设斜率，
过点的直线的方程为，
即；联立方程
得到
设，由韦达定理，
所以，代入，得到，
所以，所以，
根据与的坐标关系，由坐标得到
，所以；
由两点间的距离公式得到
所以由点斜式得到直线的方程为：，
即，点到直线的距离为，
所以，
因为点在椭圆上，所以，
所以，将其代入得到.
所以的面积为定值.所以，.