山东省青岛市重点高中2025-2026学年高一上学期12月调研考试 数学(含答案）

这是一份山东省青岛市重点高中2025-2026学年高一上学期12月调研考试 数学(含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
5．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（ ）.
A．B．C．D．
7．已知函数，下列命题：
①
②函数为奇函数
③若，则或，
④若（）在区间上恰有3个零点，则
其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题不正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．函数（且）的图象恒过定点
C．函数的单调递增区间为
D．函数的值域为，则k的取值范围为
10．下列说法正确的是（ ）
A．快到2026年元旦假期了，是第三象限角
B．若是第二象限角，则在第二象限
C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
D．设函数（）的图象的一个对称中心为，则的周期可能是
11．已知正数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．设是定义在上的奇函数，当时，，则 .
13．已知，，则 ．
14．定义在上的函数满足，，为奇函数，函数（）满足，若与恰有2023个交点，则下列命题：
①
②
③2为的一个周期
④
其中真命题的序号是： .
15．已知实数，满足，则的最大值为 .
16．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
17．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.
18．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
(1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式．
(2)根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．
（参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7）
19．已知，，且，．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．已知函数为奇函数．
(1)判断函数的单调性，并用定义法加以证明；
(2)若存在使不等式成立，求实数a的取值范围；
(3)设，若对，使得成立，求实数a的取值范围
21．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“G函数”．
(1)试判断，（）是否为“G函数”，简要说明理由；
(2)若是定义在区间上的“G函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论在上是否为“G函数”？并说明理由．
1．D
化简集合，根据集合交集运算即可求解.
【详解】因为或，
所以集合或，
故.
故选：D
2．A
由零点存在性定理和函数单调性即可判断.
【详解】由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数，
因为，
所以函数的零点所在区间为，
故选：A．
3．D
根据分段函数的解析式，结合指对数的运算律化简求值.
【详解】，所以
故选：D
4．D
先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点，
又由函数的图象过函数图象的定点，
可得，即，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
5．C
利用余弦函数的单调性算出，根据有理数指数幂的运算法则算出，由对数的运算法则求出，进而得出a、b、c的大小关系.
【详解】根据2、，且在上为减函数，可得，
因为，，
所以，C项符合题意．
故选：C
6．A
设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案.
【详解】设，则以点分别为圆心，
圆弧所对的每个扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是，
则，．
故选：A
7．C
计算的值，并结合三角函数的值域可判断①；利用奇函数满足的性质可判断②；解三角函数方程可判断③；求出的零点，利用第三个零点在内，第四个不在可得答案.
【详解】函数 的分析如下：
对于① ：，而 的最大值为 1，因此不等式恒成立，命题为真；
对于②：，计算 ，不是奇函数，命题为假；
对于③：由，得： ，
则 或 ，，
解得 或 ，，命题为真；
对于④：，
零点满足 ，解得 .
由 时恰有 3 个零点，得：第三个零点应小于等于，第四个零点应大于，
即，
解得 ，命题为真.
综上，真命题为①、③、④，共 3 个.
故选：C
8．C
构造函数，由题意可知函数在上单调递增，列不等式求解即可.
【详解】因为对于任意的，且，都有成立，
不等式两边同时除以，
可得，移项有，
构造函数，
则，所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
9．ACD
由全称量词命题的否定结构可判断A，由，可判断B，由显然无意义，可判断C，由的值域包含，可判断D.
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，，故A错误；
对于B，令，得，即图象恒过定点，故B正确；
对于C，由显然无意义，故C错误；
对于D，若函数的值域为，即的值域包含，
当时，值域为，包含，符合，
当时，要使的值域包含，需满足，解得，
综上：，故D错误.
故选：ACD
10．ACD
在内找到与角终边一样的角可判断A；利用角的范围判断三角函数范围可判断B；利用扇形的面积公式与周长公式可判断C；利用正切函数对称中心求法可判断D.
【详解】对于A：位于第三象限，故 A 正确；
对于B：若 是第二象限角，则 是第三象限角， 是第四象限角，
，在第三象限，故 B 错误；
对于C：设扇形半径为 ，圆心角为 ，则 且，
解得 或 ，又扇形圆心角小于 ，所以，故 C 正确；
对于D：令得 （ 为整数），
周期 ，当时， ，故 D 正确.
故选：ACD
11．ABD
把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可.
【详解】令，可得，，，
，故A正确；
，故B正确；
，，所以，得，
又，所以，得，所以，，故C不正确；
，故D正确；
故选：ABD
12．
由奇函数的定义即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，
故答案为：
13．/0.5
先将已知条件的两个等式分别平方，再相加，利用三角函数的平方关系和两角和的正弦公式化简求解.
【详解】，
整理得：
化简得：.
故答案为：.
14．②④
利用函数的对称性可证明周期性，利用赋值可求解，，，利用周期性可求值，利用中心对称性和倒序相加法可求和.
【详解】由为奇函数，可得，
令可得：，故②正确；
再把用代换得：，所以函数关于点成中心对称；
再令可得：，因为，所以，
又因为，所以，
再把用代换得：，
所以由上两式可得：，即是一个周期函数，周期为，
所以，故①错误；
因为，，则，所以2为的一个周期是错误的命题，故③错误；
因为函数（）满足，所以函数关于点成中心对称,
由于与恰有2023个交点，
所以这2023个交点一定关于点成中心对称,
则有，，且，
即，
再由倒序相加法可得：，故④正确；
故答案为：②④
15．100
设 ，，，换元，利用柯西不等式可求的最大值，即得答案.
【详解】由换底公式知：，
设 ，，，
得：，代入得：
，
即
两边取对数得：
由，得：，
由柯西不等式，得：
，
即
当且仅当 时取等，
因此，
所以
故答案为：100
16．
由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑求解即可.
【详解】由题意得最多有2个根，
所以至少有4个根，
由，可得，
由，可得.
当时，当时，有4个零点，即；
当时，有5个零点，即；
当时，有6个零点，即；
当时，，
可得，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点;
当时，令，则，
此时有2个零点；所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，
则应满足或或，
则可得的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.
(2)最小值为，相应的.
（1）化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；
（2）根据余弦函数的图象可求出结果.
【详解】（1），
函数的最小正周期.
由，，
得，，
所以的单调递减区间为，.
（2）当时，，
所以当，即时，取得最小值.
18．(1)选模型②，理由见解析，解析式为
(2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式；
（2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可．
【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得，
所以；
（2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
（ii）令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
19．(1)
(2)
（1）根据的范围及可求的值；
（2）先求，结合和角公式，求出，根据的范围可得角的大小.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以.
（2）因为，，所以，
因为，所以，且；
.
因为，所以.
20．(1)单调递增，证明见解析；
(2)；
(3).
（1）利用奇函数的性质求出，判断函数单调性，再利用单调函数的定义推理得证.
（2）由（1）的性质及已知变形不等式，分离参数并利用二次函数求出最小值即可.
（3）求出函数在R上的值域，在上的值域，将给定问题转化为两个值域的包含关系列式求解.
【详解】（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得，解得，
此时，，即为奇函数，
因此，，函数在R上单调递增，
任取，函数在R上单调递增，则，，
，因此，即，
所以函数在R上单调递增.
（2）由（1）知，奇函数在R上单调递增，
不等式，则，
依题意，存在使成立，
而，，当且仅当时取等号，因此，
所以实数a的取值范围是.
（3）由（1）知，，，函数在R上单调递增，值域为，
函数的值域为，因此函数的值域为，
函数在上单调递增，值域为，
由对，使得成立，得函数在R上的值域是在上值域的子集，
即，因此，即，解得或，
所以实数a的取值范围是.
21．(1)是，理由见解析
(2)
(3)答案见解析
（1）由可判断；
（2）由题意，得，即在有解，分离参数可得m的取值范围；
（3）若为“G函数”，则在定义域上有解，令，则，，在有解，再分类讨论即可得出结果.
【详解】（1）∵，
∴，
∴是“G函数”．
（2）∵为“G函数”，故存在，
使，
∴，
即在有解．
∵，
∴．
又∵在恒成立，
∴．
∴
（3）当为定义域上
的“G函数”时，则在定义域上有解，
可化为在定义域上有解，
令，则，，
从而在有解，即可保证为“G函数”，
令，则的图象是开口向上的抛物线，
对称轴为．则
①当即时，
解得所以
②当，即时，
解得，所以，
综上，当时，
为定义域上的“G函数”，否则不是．时间/分钟
0
1
2
3
4
5
水温/℃
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33