吉林省长春市经开区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷含详解

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这是一份吉林省长春市经开区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷含详解，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．计算所得的结果是（）
A．2B．4C．6D．8
2．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）
A．至少有一个黑球B．至少有一个白球C．至少有两个黑球D．至少有两个白球
3．一元二次方程的解为（）
A．B．，
C．D．，
4．在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地间的实际距离是（）
A．B．C．D．
5．如图，中，，，点D在延长线上，且，连接，则的值为（）
A．B．C．3D．
二、多项选择题（每小题3分，共9分）
6．下列式子中，不是最简二次根式的有（）
A．B．C．D．
7．我们规定：若一个三角形中的某一个内角是另一个内角的2倍，那么我们把这个三角形叫作“三角形”．下列各组数据中，能作为一个“三角形”三边长的一组有（）
A．1，2，3B．1，1，C．1，2，D．1，2，
8．如图，在中，，，正方形的顶点、均在边上，顶点、分别在边、上，的面积为．则下列语句中，正确的有（）
A．B．C．D．
三、填空题（每小题3分，共18分）
9．请任意写出一个能使有意义的m值：．
10．从到的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是．
11．已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为．
12．cs60°的值等于．
13．如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为．
14．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为．
四、解答题（本大题10小题，共78分）
15．已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率．
16．解一元二次方程：．
17．判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程．
18．如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，．
(1)求证：．
(2)求的长．
19．一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率．
20．有长度分别为、、、的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概率，并加以说明．
21．如图，小李在森林公园瞭望塔的点处，测算塔下方的一棵树的高度．观测到点处到地面的距离为米，树顶处的俯角为，塔底到这棵树的距离为米．求这棵树的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，）
22．如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，，点为的中点，线段过点交、于点、，．求、的长．
23．【问题探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，若，，，求的长．
【方法拓展】如图②，中，点为边上的一点，，若，，，求的长．
24．我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”．
(1)等边三角形的“半似位线”的条数为_____条．
(2)一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________．
(3)若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条．
(4)如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒．
①用含的代数式表示的长为_______．
②当为的“半似位线”时，直接写出的值．
参考答案
1．D
解：．
故选：D．
2．A
A、是必然事件，故本选项符合题意；
B、是随机事件，故本选项不符合题意；
C、是随机事件，故本选项不符合题意；
D、是随机事件，故本选项不符合题意，
故选∶A．
3．B
解：，
∴，
∴．
故选：B．
4．B
解：设两地间的实际距离是，
∴，
∴，
∴，
∴两地间的实际距离为，
故选：．
5．A
解：在中，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，则，
∴，
故选：A．
6．BCD
解：A. 为最简二次根式；
B. 被开方数含分母，故不是最简二次根式；
C. 可简化为，故不是最简二次根式；
D. 分母中含有根号，故不是最简二次根式；
故选：BCD．
7．BC
解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，该三角形为等腰直角三角形，三个角分别是的直角三角形，其中，，符合“三角形”的定义，符合题意；
C、，该三角形为直角三角形，最小的角的正弦为，则最小的角为，
则三个角分别是，其中，符合“三角形”的定义，符合题意．
D、，是直角三角形，但是不满足某一个内角是另一个内角的2倍，不符合题意；
故选：BC．
8．ABD
解：，，
，
正方形，
，，，
和是等腰直角三角形，
，
，故B选项符合题意；
∵，
，
，
，
，故A选项符合题意；
又，
，，
和是等腰直角三角形，，
∴，
，
，
，故C选项不符合题意；
，则,
，
，
即，
解得，故D选项符合题意．
9．（答案不唯一）
解：要使有意义，需满足，
解得．
因此，任意取的一个值即可，例如．
故答案为：（答案不唯一）．
10．
解：从到的自然数中，偶数包括，，，，共个，总数为个，
因此任取一个数是偶数的概率为．
故答案为：．
11．4
解：设方程的另一个根为m，
由根与系数的关系可得，
∴，
∴方程的另一个根为4，
故答案为；4．
12．##0.5
解：根据特殊角的三角函数值可知，
cs60°的值为，
故答案为．
13．
解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：．
14．
解：过点作轴，
，
，
，
；
故答案为：．
15．
解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，
共有9种等可能结果，其中乘积为3的倍数有5种：，
∴抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为．
16．无实数根
解：在一元二次方程中，，
∴，
∴方程无实数根．
17．在24和25之间，见解析
解：，
，，
，
．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，．
19．
解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：这两个月的利润平均月增长的百分率是．
20．
解：从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3， 5 ，6）、（3， 5， 9）、（3 ，6，9）、（5， 6， 9）四种等可能结果，
其中能组成三角形的有（3 ，5 ，6）、（5 ，6 ，9）两种等可能结果，
所以能组成三角形的概率
21．米
如图，作于，则四边形为矩形，
米，
在中，，
则，
米，
答：这棵树的高度约为米．
22．，
解：在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且，
∴
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，则，
如图所示，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，，
∴是线段的垂直平分线，则，
设，则，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在中，
；
∴．
23．问题探究：；方法拓展：
解：问题探究、分别为边、的中点
，
方法拓展：如图，过作，交延长线于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．(1)3条
(2)
(3)4条
(4)①；②或4或或12
（1）解：如图，在等边中，取各边中点，连接，，．
∵点分别是，的中点，
∴，，
∴，相似比为，
∴是等边三角形的“半似位线”．
同理可得，是等边三角形的“半似位线”．
∴等边三角形的“半似位线”的条数为3条．
故答案为：3．
（2）解：如图，是的“半似位线”，
∴，且相似比为，
∴，
∴，
∴一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是．
故答案为：．
（3）解：∵一个三角形的三边长之比为，
∴如图，不妨设，，（）
取各边的中点，连接，，，
∴，，
∴，且相似比为，
∴是的 “半似位线”，
同理可得，，是的 “半似位线”．
如图，若是的 “半似位线”，且，
则
∴，，
此时，点G与点A重合，
不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”．
如图，若是的 “半似位线”，且，
则
∴，
此时，点N不在边上，
不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”．
如图，若是的 “半似位线”，且，
则
∴，，
符合“半似位线”的定义，即是的 “半似位线”．
综上所述，这个三角形的“半似位线”的条数为4条．
故答案为：4．
（4）解：①当运动t秒时，，
∴．
故答案为：．
②∵在中，，，
∴．
（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，，
若为的“半似位线”时，则或，
当，则，
∴，
，
∴，解得．
当，则，
∴，
，
∴，解得．
（Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，，
若为的“半似位线”时，则或，
当，则，
∴，
，
∴，解得．
当，则，
∴，
，
∴，解得．
综上所述，a的值为或4或或12．