吉林省长春市汽开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份吉林省长春市汽开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2sin45°的值为( )
A. 2B. 1C. 32D. 22
2.将二次函数y=x2−6x+2化成y=a(x−h)2+k的形式为( )
A. y=(x−3)2+2B. y=(x−3)2−7C. y=(x+3)2−7D. y=(x−6)2+2
3.若点A在二次函数y=(x−5)2−4图象的对称轴上，则点A的坐标可能是( )
A. (−5,0)B. (5,0)C. (0,4)D. (0,−4)
4.某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室.已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元.设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x，根据题意可列方程为( )
A. 10000(1+x)2=14400B. 10000(1+2x)=14400
C. 10000(1+x)⋅2=14400D. 10000(1+x2)=14400
5.已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳(AC=BD)可测量零件的内孔直径AB.若OA：OC=OB：OD=2，且量得CD=5cm，则零件的厚度x为( )
A. 2cm
B. 1.5cm
C. 1cm
D. 0.5cm
7.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子AB的长为10米，梯子与地面形成的夹角为∠BAC=41°，则墙的高度BC为( )
A. 10cs41°米
B. 10sin41°米
C. 10cs41∘米
D. 10sin41∘米
8.如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面.具体操作如下：作⊙O的任意一条直径FC，以点F为圆心、OF长为半径作圆，与⊙O相交于点E、A；以点C为圆心、OC长为半径作圆，与⊙O相交于点D、B；连结EF、FA、BC、CD，得到两个扇形，并裁剪下来.若⊙O的半径为10cm，则剩余纸板(图中阴影部分图形)的面积为( )
A. 200π3cm2B. 100π3cm2C. 50π3cm2D. 20π3cm2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.关于x的方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是______ 。
10.抛物线y=3(x−2)2+9的顶点坐标为______ ．
11.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上.若线段AB=2cm，则线段BC= ______ cm．
12.如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连结OM、ON.若∠N=36°，则∠MON的大小为______ 度.
13.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=4，则弧BQ的长为______ ．
14.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线.如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是(0,1).身高1.60米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶.若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，则m的取值范围为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.解方程：x2−4x+1=0．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽(卡片分别记为A1，A2，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”(卡片记为B)，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率．
17.(本小题6分)
已知二次函数y=ax2+bx−2(a≠0)的图象经过点(−1,−4)、(1,6)，求这个二次函数的表达式．
18.(本小题7分)
在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍.如图，无人机在空中A处的飞行高度为AC，地面观测点B处观测无人机在空中A处的仰角α=18°，已知BC=70米，求此时无人机的飞行高度AC.(结果精确到0.1米)
【参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325】
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE/​/AC．
(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C．
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B．
20.(本小题7分)
如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)延长ED交BA的延长线于点F.若∠F=30°，AB=8，则BE的长为______ ．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(0,52)，顶点为C．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
(2)求顶点C的坐标．
(3)当y≥52时，直接写出x的取值范围．
22.(本小题9分)
【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：
点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置，使线段AP最长．
【问题解决】以下是小华的方法：
如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．
理由如下：在⊙O上取点P′(异于点P)，连结AP′、OP′．
接下来只需证明AP>AP′．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，AO的长为m，则线段AP长度的最大值为______ ，线段AP长度的最小值为______ .(用含r、m的代数式表示)
【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，点D在半圆O上，AD=6，点C在BD上运动，连结AC，H是AC上一点，且∠DHC=90°，连结BH.在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为______ ．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=10，点D为边AC的中点，动点P从点A出发，沿折线AB−BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒 5个单位长度的速度运动，在点P运动过程中，连结PD，将△APD沿PD翻折得到△A′PD.设点P的运动时间为t秒(0(2)用含t的代数式表示线段BP的长．
(3)当△A′PD与△ABC相似时，求t的值．
(4)当四边形APA′D为中心对称图形时，直接写出t的值．
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+nx+n经过点A(4,−6).点P是该抛物线上一点，其横坐标为m.以AP为对角线作矩形ABPC，AB⊥y轴．
(1)求抛物线所对应的函数表达式．
(2)当抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为______ ．
(3)设抛物线在矩形ABPC内部的图象(包括边界)的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h时，求h与m之间的函数关系式．
(4)设这条抛物线的顶点为D，△APD的面积为S.当S=6时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：2sin45°=2× 22= 2．
故选：A．
根据特殊角的正弦值解决此题．
本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的正弦值是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：y=x2−6x+2
=x2−6x+9−9+2
=(x−3)2−7，
故选：B．
利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：二次函数y=(x−5)2−4图象的对称轴为x=5，
∵点A在二次函数y=(x−5)2−4图象的对称轴上，
∴点A的横坐标为5，
故选：B．
根据函数解析式可确定对称轴为x=5，点A在对称轴上，因此A的横坐标为5，进而可得答案．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是正确确定抛物线的对称轴．
4.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
10000(1+x)2=14400．
故选：A．
根据题意和题目中的数据，可以列出方程10000(1+x)2=14400，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
5.【答案】D
【解析】解：∵点A是⊙O外一点，
∴OA>6，
∴OA的长可能为8．
故选：D．
根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d6.【答案】C
【解析】解：∵OA：OC=OB：OD=2，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=2，
∴AB：5=2，
∴AB=10(cm)，
∵外径为12cm，
∴10+2x=12，
∴x=1(cm)．
故选：C．
求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．
7.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=10米，∠BAC=41°，
∵sin∠BAC=BCAB，
∴BC=AB⋅sin∠BAC=10sin41°(米)，
故选：B．
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接EB，AD，
∵EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积=S扇形EDO+S扇形ABO，
∵OE=OD=AO=OB=OF=OC=10cm，
∴△EDO、△AOB是正三角形，
∴阴影部分的面积=60π×102360×2=100π3(cm2).
故选：B．
连接EB，AD，将图中阴影部分面积拼补为扇形EDO与扇形AOB面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积=60π×102360×2，即可求解．
本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
9.【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=(−2)2−4×1×k=0，
解得：k=1．
故答案为：1．
根据根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
10.【答案】(2,9)
【解析】解：∵抛物线y=3(x−2)2+9，
∴该抛物线的顶点坐标为(2,9)，
故答案为：(2,9)．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以写出顶点坐标．
11.【答案】6
【解析】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ABBC=ADDE，
即2BC=26，
∴BC=6cm．
故答案为：6．
过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得ABBC=ADDE，代入计算即可解答．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
12.【答案】54
【解析】解：∵MN是⊙O的切线，M是切点，
∴OM⊥MN，
∴∠OMN=90°，
∵∠N=36°，
∴∠MON=90°−36°=54°．
故答案为：54．
根据切线的性质得到∠OMN=90°，然后利用互余计算出∠MON的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
13.【答案】π
【解析】解：连接OQ，
∵∠P=45°，
∴∠QOB=2∠P=90°，
∵AB=4，
∴OB=2，
∴弧BQ的长=90×2π180=π．
故答案为：π．
连接OQ，根据圆周角定理可得出∠QOB=2∠P=90°，根据弧长公式即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，掌握弧长公式是解答此题的关键．
14.【答案】1.5【解析】解：由题意，设解析式为y=a(x−2)2+k，
又由小丽的坐标(1,1.6)，且过(0,1)，
∴a=−15，k=95．
∴解析式为y=−15(x−2)2+95．
又令y=1.75时，
∴x=2.5或x=1.5．
∴1.5依据题意，设解析式为y=a(x−2)2+k，再由小丽的坐标(1,1.6)，且过(0,1)，求出a，k，最后令y=1.75时，求出x，进而表示出m的范围．
本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键在于数值运算，为基础题．
15.【答案】 x2−4x+1=0，
解：x2−4x=−1，
x2−4x+4=−1+4，
(x−2)2=3，
x−2=± 3，
∴ x1=2+ 3，x2=2− 3．
【解析】本题主要考查解一元二次方程的知识，解答本题的关键是知道运用配方法解一元二次方程的方法，先把x2−4x+1=0配方成(x−2)2=3，然后再求出方程的解．
16.【答案】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中两张卡片上的图案都是“蓉宝”的只有1种，
所以两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率为19．
【解析】用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行解答即可．
本题考查列表法活树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
17.【答案】解：把(−1,−4)、(1,6)分别代入数y=ax2+bx−2得a−b−2=−4a+b−2=6，
解得a=3b=5，
所以这个二次函数解析式为y=3x2+5x−2．
【解析】把2个已知点的坐标分别代入y=ax2+bx−2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
18.【答案】解：在Rt△ACB中，BC=70米，∠ABC=α=18°，
∵tanα=ACBC，
∴AC=BC⋅tanα=70tan18°≈70×0.325≈22.8米)，
答：无人机的飞行高度AC约为22.8．
【解析】根据正切的定义求出AC．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1中，线段DE即为所求；
(2)如图2中，线段DF即为所求；
(3)如图3中，线段DG即为所求．

【解析】(1)利用网格特征作出BC的中点E，连接DE即可；
(2)利用网格特征作出线段AC的中点F，连接DF即可；
(3)利用平行线分线段成比例定理作出线段AG=2 23，连接DG即可．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】6
【解析】(1)证明：连结OD，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠EBD，
∴OD/​/BE，
∵DE⊥BE，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=8，
∴OA=OB=OD=4，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
在Rt△ODF中，
∵∠F=30°，
∴OF=2OD=8，
∴BF=OF+OB=8+4=12，
∵BE⊥EF，
∴∠E=90°，
在Rt△EFB中，
∵∠F=30°，
∴BE=12BF=6．
故答案为：6．
(1)连结OD，如图，先证明∠ODB=∠EBD得到OD//BE，再利用DE⊥BE得到DE⊥OD，然后根据切线的判定方法得到结论；
(2)根据含30度角的直角三角形三边的关系，先在Rt△ODF中计算出OF=8，则BF=12，然后在Rt△EFB中可计算出BE的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(0,52)，
∴−12−b+c=0c=52，
解得b=2c=52，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=−12x2+2x+52；
(2)∵y=−12x2+2x+52=−12(x−2)2+92，
∴顶点C的坐标为(2,92)；
(3)∵y=52时，x=0或4，
根据图象得当y≥52时，0≤x≤4．
【解析】(1)把A点和B点坐标代入y=−12x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
(2)把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
(3)根据二次函数的性质求解即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
22.【答案】m+r m−r 73−3
【解析】解：【问题解决】如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．
理由如下：在⊙O上取点P′(异于点P)，连结AP′、OP′．
在△AOP′AOP中，OA+OP′>APAP′，
∵OP=OP′，
∴OA+OP>AP′，
即AP>AP′；
【类比结论】如图，线段AO交⊙O于点P′，AO的延长线交⊙O于点P，
由【问题解决】知，此时AP长度最大为OA+OP=m+r，
当点P在P′位置时，AP长度最小为OA−OP′=m−r，
∴线段AP长度的最大值为m+r，线段AP长度的最小值为m−r，
故答案为：m+r；m−r；
【拓展延伸】解：如图②，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵∠DHC=90°，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴MH=MD=12AD=3，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD= AB2−AD2= 102−62=8，
∴BM= BD2+MD2= 82+32= 73，
∴BH的最小值为BM−MH= 73−3，
故答案为： 73−3．
【问题解决】根据三角形三边关系求解即可；
【类比结论】结合【问题解决】求解即可；
【拓展延伸】取AD的中点M，连接BD，HM，BM.由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小．
本题是圆的综合题，考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线并能够根据点的运动情况确定H点的运动轨迹是解题的关键．．
23.【答案】解：(1)∵∠A=90°，AB=5，AC=10，
∴BC= AB2+AC2= 52+102=5 5，
∴BC的长为5 5；
(2)当0当5∴BP=5−t(0(3)∵△ A′PD是将△ APD沿PD翻折得到，
∴当△ A′PD与△ ABC相似时，△ APD与△ ABC相似；
当P在AB上时，如图：

∵AB=5，AC=10，
∴APAD=ABAC=510=12，即AP5=12，
解得AP=52，
∴t=AP1=52；
当P在BC上时，如图：

此时∠ADP=∠BAC=90°，PDAD=ABAC=12；
∴PD//AB，
∵D为AC中点，
∴P为BC中点，
∴BP=12BC=5 52，
∴t=AB1+BP 5=51+5 52 5=152；
综上所述，t的值为52或152；
(4)∵四边形APA′D为中心对称图形，
∴四边形APA′D是平行四边形，
∵AP=A′P，
∴四边形APA′D为菱形；
当P与B重合时，如图：

此时AP=AB=5=A′P=AD=A′D，且∠BAC=90°，
∴四边形APA′D为正方形，是中心对称图形，满足条件，
此时t=AB1=5；
当P在BC上，四边形APA′D为菱形时，过A作AH⊥BC于H，如图：

∵AP=AD=5=AB，AH⊥BC，
∴BH=PH，
∵2S△ABC=AB⋅AC=BC⋅AH，
∴AH=AB⋅ACBC=5×105 5=2 5，
∴BH= AB2−AH2= 52−(2 5)2= 5；
∴PH= 5，
∴BP=2 5，
∴t=AB1+BP 5=5+2=7；
综上所述，t的值为5或7．
【解析】(1)由勾股定理可得BC的长为5 5；
(2)分两种情况：当0(3)当△A′PD与△ABC相似时，△APD与△ABC相似；分两种情况：当P在AB上时，APAD=ABAC=510=12，即AP5=12，可得得AP=52，t=AP1=52；当P在BC上时，可求出BP=12BC=5 52，故t=AB1+BP 5=51+5 52 5=152；
(4)由四边形APA′D为中心对称图形，可知四边形APA′D为菱形；分两种情况：当P与B重合时，t=AB1=5；当P在BC上，四边形APA′D为菱形时，过A作AH⊥BC于H，由面积法求出AH=AB⋅ACBC=5×105 5=2 5，可得BH= AB2−AH2= 52−(2 5)2= 5；故BP=2 5，从而t=AB1+BP 5=5+2=7．
本题考查相似三角形综合应用，涉及三角形中位线定理及应用，菱形，正方形的性质及应用，勾股定理及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24.【答案】m>−2且m≠4
【解析】解：(1)∵抛物线y=−x2+nx+n经过点A(4,−6)，
∴−16+4n+n=−6，
解得n=2，
∴该抛物线对应的函数表达式y=−x2+2x+2；
(2)如下图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点A′(−2,−6)，
当点P在点A′的右侧时，抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，
即m>−2且m≠4，
故答案为：m>−2且m≠4．
(3)当m<−2或m>4时，
则h=−6−(−m2+2m+2)=m2−2m−8．
当−2则h=−m2+2m+2−(−6)=−m2+2m+8，
即h=m2−2m−8(m<−2或m>4)−m2+2m+8(−2(4)如上图，过点D作DH//y轴交AP于点H，
设点P(m,−m2+2m+2)，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y=−(m+2)(x−4)−6，
则点H(1,3m)，
则S=12×DH×|xA−xP|=12×|3−3m|×|4−m|=6，
解得：m=0或m=5．
(1)由待定系数法即可求解；
(2)当点P在点A′的右侧时，抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，即可求解；
(3)当m<−2或m>4时，则h=−6−(−m2+2m+2)=m2−2m−8.当−2(4)由12×DH×|xA−xP|=12×|3−3m|×|4−m|=6，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键．