邯郸市第一中学2025-2026学年上学期高二期末冲刺数学试卷

这是一份邯郸市第一中学2025-2026学年上学期高二期末冲刺数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为( )
A. 32 3B. 28 3C. 24 3D. 20 3
2.等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：Sn是递增数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.若函数fx=kx-lnx在区间12,+∞上单调递增，则实数k的取值范围是( )
A. (-∞,2]B. -∞,-2C. 2,+∞D. (2,+∞)
4.如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么( )
A. a=13,b=6B. a=13,b=-6C. a=3,b=-2D. a=3,b=6
5.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是ΔABC及其内部的点构成的集合．设集合T=Q∈SPQ≤5，则T表示的区域的面积为( )
A. 3π4B. πC. 2πD. 3π
6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，过右焦点F2的直线与椭圆交于A,B两点，若∠F1AF2=90 ∘，则sin∠AF1B的值为( )
A. 35B. 34C. 45D. 32
7.已知a,b∈R,ab>0，函数fx=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列，则平面上点s,t的轨迹是( )
A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线
8.已知a=1718,b= 1+cs 232,c=3sin 13，则( )
A. c>b>aB. b>a>cC. a>b>cD. a>c>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=x3-x+1，则( )
A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
10.已知抛物线y2=4x(p>0)，倾斜角为60​∘且过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点(B在第一象限)，与y轴及准线分别交于G,C，则下列结论正确的是( )
A. |AB|=163B. |BF|=2|AF|C. |CG|=|GF|D. |AF|=2|AG|
11.己知数列an各项均为正数，其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯)，下列结论正确的是( )
A. an的第2项小于3B. an为等比数列
C. an为递减数列D. an中存在小于1100的项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列an的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=
13.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
14.已知矩形ABCD，AB=2,AD=2 3，现将ΔABC沿着对角线BD翻折，二面角A-BD-C的平面角为α，若α∈[π6,2π3]，则三棱锥A-BCD体积的取值范围为 ;异面直线AB与CD所成角的余弦值的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=an-1,n为奇数,an-2,n为偶数⋅
(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求{an}的前22项和．
16.(本小题15分)
已知点P2,2，圆C:x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|=|OM|时，求l的方程及▵POM的面积．
17.(本小题15分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，▵A1BC的面积为2 2．
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，点P(3,1)在C上，且PF1⋅PF2=10．
(1)求C的方程；
(2)过双曲线C上一定点P(3,1)做两条垂直的直线与分别与双曲线交于A,D两点，求AD弦中点的轨迹方程．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=axex和g(x)=lnxax有相同的最大值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
答案和解析
1.B
【解析】设正六棱台的上下底面面积分别为S1,S2，因为正六边形是由6个全等的等边三角形组成，
所以S1=6×12×2× 3=6 3,S2=6×12×4×2 3=24 3,
所以六棱台的体积V=13h(S1+ S1S2+S2)=28 3．
故选：B．
2.B
【解析】由题，当数列为-2,-4,-8,⋯时，满足q>0，但是Sn不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若Sn是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
3.C
【解析】f'(x)=k-1x，
∵函数fx=kx-lnx在区间(12,+∞)单调递增，
∴f'(x)≥0在区间12,+∞上恒成立．∴k≥1x，
而y=1x在区间12,+∞上单调递减，∴k≥2．
故选C．
4.A
【解析】在y=ax+2上取一点(0,2)，
则由题意可得其关于直线y=x的对称点(2,0)在y=3x-b上，
所以0=6-b，得b=6，
在y=3x-6上取一点(0,-6)，
则其关于直线y=x的对称点(-6,0)在y=ax+2上，
所以0=-6a+2，得a=13，综上a=13,b=6，
故选：A
5.B
【解析】设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，
且BO=23×6× 32=2 3，故PO= 36-12=2 6．
因为当PQ=5时，故OQ=1，故S的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆面，
而三角形ABC内切圆的圆心为O，半径为2× 34×363×6= 3>1，
故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为π
故选：B
6.C
【解析】因为椭圆的离心率为 22，不妨设a= 2,b=c=1，
设AF2=m,BF2=n，则AF1=2 2-m,，BF1=2 2-n，
∵∠F1AF2=90 ∘，
∴(2 2-m)2+m2=4,(2 2-m)2+(m+n)2=(2 2-n)2
∴m= 2,n= 23，
∴sin∠AF1B=ABBF1= 2+ 232 2- 23=45
7.C
【解析】由题意得f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2，即a(s-t)2+ba(s+t)2+b=as2+b2，
对其进行整理变形：
as2+at2-2ast+bas2+at2+2ast+b=as2+b2，
as2+at2+b2-(2ast)2-as2+b2=0，
2as2+at2+2bat2-4a2s2t2=0，
-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，
所以-2as2+at2+2b=0或t=0，
其中s2ba-t22ba=1为双曲线，t=0为直线．
故选：C．
8.A
【解析】∵b=cs13，∴cb=3tan13，
因为当x∈(0,π2),sinx1，所以c>b；
又1-cs 13=2sin2161718,ab>a，
故选：A
9.AC
【解析】由题，f'x=3x2-1，令f'x>0得x> 33或x0，当n=1时，a12=9，可得a1=3；
当n≥2时，由Sn=9an可得Sn-1=9an-1，两式作差可得an=9an-9an-1，
所以，9an-1=9an-an，则9a2-a2=3，整理可得a22+3a2-9=0，
因为a2>0，解得a2=3 5-320，可得an0
∴f(x)在(-∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，f(x)max=f(1)=ae
∴g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，g(x)max=g(e)=1ae
因为f(x)=axex和g(x)=lnxax有相同的最大值，所以ae=1ae,a=1
(2)f(x)=xex,g(x)=lnxx
设G(x)=f(x)-g(x)=xex-lnxx,G'(x)=1-xex-1-lnxx2
当x∈(0,1)时，G(x)>0，x∈(e,+∞)，G(x)=xex-lnxx