湖南省长沙2025年上学期九年级期末数学检测试卷附答案

这是一份湖南省长沙2025年上学期九年级期末数学检测试卷附答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．0
2．下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.000，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于4，则的值等于（ ）
A．2B．8C．D．
6．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，问人数是多少？若设人数为 人，则下列关于 的方程符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．一组数据，，，，，，的众数和中位数都是
C．为了了解全国中学生的睡眠情况，应该采用全面调查的方式
D．反比例函数在每一象限内，随的增大而减小
9．如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线（，，是常数，）与轴交于A、两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于的方程有实数解，则．
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是，，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
12．已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
13．半径为6，圆心角为的扇形的面积为 （结果保留π）．
14．如图，在中，，，则的长度为 ．
15．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为 ．
16．如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为 ．
三、解答题（共9小题，总计72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志、风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．我校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，他们在处仰望雕塑顶部，测得仰角为，再往雕塑的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：）
（1）求证：；
（2）若学生的身高忽略不计，求该雕塑的高度．（结果精确到）
20．某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了_____名学生，并补全条形统计图；
（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____；
（3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点，且平分，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积．
22．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？
23．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）判断线段、、之间的数量关系，并加以证明．
（3）若，，求的半径的长．
24．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”．
（1）请你判断下列说法是否正确（在相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）．
①函数的图象上存在“三倍点”．（ ）
②函数的图象上有且只有一个“三倍点”．（ ）
③函数的图象上有两个“三倍点”．（ ）
（2）一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点是线段的中点．求证：点是“三倍点”．
（3）若二次函数的图象在的范围内总有两个相异的“三倍点”，求的取值范围．
25．如图，在等腰中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，．
（1）_____．
（2）当时，求的值；
（3）设，，
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围；
②设的面积为，的面积为，求的最小值．
答案
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】甲
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】9
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】解：原式，
，
．
18．【答案】解：
，
当时，原式．
19．【答案】（1）证明：由题意可知，，，
，
，
；
（2）解：由题意可知，，
，
由（1）可知，，
在中，，
，
即该雕塑的高度约为．
20．【答案】（1），补全条形统计图如下，
（2）
（3）解：画出树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2．
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为．
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，∴，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，，，，，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，，
，
，
的面积为36．
22．【答案】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，由题意可得，
解得，．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元；
（2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套，由题意可得：，
解得，
又为正整数，
可以取26，27，28，29；
共有4种购买方案，
设总费用为元，则，
，
随着的增大而增大，
当时，最小，最小值为，
答：共有4种购买方案，最低费用是5780元
23．【答案】（1）证明：如图，连接、，
是的切线，
，
，是直径，
，
，
在和中，
，
，
，
在上，
是的切线．
（2）解：，理由如下：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
．
的半径的长为．
24．【答案】（1）①√②√③×
（2）设，则，联立得整理得：
则则
由是中点得，
即，易知，故点是“三倍点”．
（3）设两个三倍点得横坐标是，，联立得
整理得，则
依题意，，
解得：或
解得：
∵在的范围内总有两个相异的“三倍点”，则，
∴，即，解得：
∴．
25．【答案】（1）
（2）解：方法一：，，
，，
，
，是中点，
是中点，
，
，
，
，
又，
，
，
；
方法二：，
，
，
，
即，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①在中，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知
，
整理得：，
，
，
解得：，
，
自变量的范围是，
故；
方法二：如图，过作于，
在中
，
，
解得：，
解得：，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
解得：，
取值范围求法见方法一，
故；
②，
，
令，
，
当时，的最小值为1．