2026江西省部分校高二上学期期中联考试题数学含解析

这是一份2026江西省部分校高二上学期期中联考试题数学含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．D．
2．若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ）
A．B．C．D．10
3．过两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ）
A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
6．若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．2
7．某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ）
A．8mB．7mC．7.5mD．6.5m
8．如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知抛物线上一点到的焦点的距离为5，则（ ）
A．B．的坐标为
C．D．在上存在点，使得为正三角形
10．已知圆与圆外离，则m的取值可能是（ ）
A．-3B．1C．4D．6
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为0
B．的最大值为
C．若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为
D．若存在点，使得，的斜率分别为，，则的离心率可能为
三、填空题
12．两条平行直线，之间的距离为 .
13．已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为 ．
14．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，射线分别与抛物线交于异于的点，且，直线垂直于，垂足为，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．（1）分别求直线在轴、轴上的截距；
（2）求过点，且与直线垂直的直线方程．
16．已知圆.
(1)求m的取值范围.
(2)已知直线与圆交于两点，且.
①求；
②求过点的圆的切线方程.
17．已知抛物线的焦点为，斜率为4的直线与抛物线交于点，与轴交于点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若，求．
18．已知椭圆的右顶点为，离心率为.
(1)求的方程.
(2)设直线与相交于，两点，关于轴的对称点为.
（i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线的斜率.
（ii）试问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
19．已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点．
(1)若点在上，求的渐近线方程．
(2)当四点共线时，，点．
（i）求的方程；
（ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上．
1．A
根据条件，直接求出，即可求解.
【详解】由题知，所以，
所以焦距为，
故选：A.
2．A
由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案.
【详解】由双曲线，得.
由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.
故选：A
3．C
先由斜率公式求出斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.
【详解】，则，
由于，则，
故选：C.
4．C
将抛物线方程转化为标准形式，再求解即可.
【详解】将抛物线方程转化为标准形式,
因此其准线方程为.
故选：C.
5．D
设，，结合向量坐标运算可用，表示，，结合点在圆上，代入计算即得.
【详解】设，，则（*），，
由，，
则，即有，
将其代入（*），，化简得，
即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.
故选：D.
6．D
根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率.
【详解】由题可知，解得.
所以双曲线.
若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在.
设，则，整理得.
因为线段的中点为，所以.
所以.
直线的斜率为2.
故选：D.
7．B
以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可.
【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以，
如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，
设圆心，半径为，所以圆：，
，，，
所以，解得，，
所以圆：，
将代入，因为，解得，
所以.
故选：B.
8．B
由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解.
【详解】设球的半径为，
球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长，
因为，所以.
故选：B
9．BC
由抛物线的定义，结合题意先求得，判断选项A；由抛物线的方程求得焦点的坐标，判断选项B；将代入抛物线方程，求得，判断选项C；假设在上存在点，使得为正三角形，求出点的坐标，求得的长度，判断选项D.
【详解】抛物线的焦点为，准线为.
对于AB，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以，解得.
所以，所以选项A错误，选项B正确；
对于C，因为，所以抛物线.
因为点在抛物线上，所以，所以，所以选项C正确；
对于D，由C知，假设在上存在点，使得为正三角形，则.
设，则，所以，所以.
因为点异于点，所以点.
此时，，不等于，所以不是正三角形.
所以假设错误，在上不存在点，使得为正三角形，所以选项D错误.
故选：BC.
10．BC
分别求出两圆的圆心和半径，根据两圆外离可知圆心距大于两半径之和，解出m的取值范围，即可得到结果.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，
半径（其中，即），
圆与圆的圆心距为，
若圆与圆外离，则，即，解得：，
故满足题目要求的为BC选项，
故选：BC.
11．ABD
设，，对A和B，利用数量积的坐标运算及，直接求出和，再利用的取值范围，即可求解；对C和D，根据条件得，结合的取值范围，得，即可判断出C和D的正误.
【详解】由题知，设，
对于A，因为，
则，又，
则，
又，所以，故A正确，
对于B，因为，
则，又，
则，
又，所以，故B正确，
若，的斜率分别为，，又，且，
则，整理得到，由，得到，
所以选项C错误，选项D正确，
故选：ABD.
12．/
将直线方程化成的系数对应相等，然后由平行直线之间的距离可得.
【详解】将直线的方程化为直线，
由平行直线之间的距离公式得.
故答案为：
13．
利用椭圆的定义得到和的关系，再结合椭圆的性质即可求出.
【详解】椭圆C的两焦点为，P为椭圆C上的动点，的周长为10，，即，
又Q为椭圆C上的动点，到焦点距离的最大值为， 的最大值为.
故答案为：.
14．
设抛物线上异于的点，其中，根据条件可得，结合两直线垂直计算得到点的横坐标，分类讨论，进而计算得到的取值范围.
【详解】设抛物线上异于的点，其中，
由，得，
直线的斜率，其方程，
化简得，
焦点，直线垂直于，故直线的斜率为，
方程为，
联立，解得，
则
当，，故，从而
因此，当时，.当时，..
当，此时垂直与轴，点在轴上且是的中点，由，
得，解得故，所以的横坐标为，
综上，的取值范围为，
故答案为：
15．（1）在轴、轴上的截距分别为10，；（2）.
（1）求得直线的截距式方程，可得在轴、轴上的截距，或根据直线方程，求得直线与轴、轴的交点，从而得到在轴、轴上的截距；
（2）由与直线垂直，设所求直线的一般式方程，代入点，求出参数，得所求直线方程.或根据与直线垂直求得所求直线的斜率，写出所求直线的点斜式方程，变形得其一般式方程.
【详解】（1）（方法一）由，得，
所以直线在轴、轴上的截距分别为10，．
（方法二）令，得；令，得.
所以直线在轴、轴上的截距分别为10，．
（2）（方法一）依题意设所求直线方程为，
将点的坐标代入得，解得，
所以所求直线的方程为．
（方法二）因为直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为2，
所以所求直线的方程为，即．
16．(1)
(2)①；②或.
（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案.
（2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案.
【详解】（1）（方法一）由题意得，则，
得，所以的取值范围为.
（方法二）由，
得，所以的取值范围为.
（2）①由题意得到的距离，
则圆的半径为，
得.
②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为.
当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即.
由，得，
所以所求的切线方程为，即.
综上，过点的圆的切线方程为或.
17．(1)
(2)
（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得关于的一元二次方程，根据韦达定理，.由抛物线的定义，将，转化为，从而得到.
（2）由，得，结合（1）求得点的坐标，根据两点间距离公式求得.
【详解】（1）设直线的方程为．
由消去，整理得．
因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得．
．
因为，所以，解得，
所以直线的方程为．
（2）设直线的方程为，则.
因为，所以，所以．
因为由（1）知，所以．
由，解得，所以，即．
所以．
18．(1)；
(2)（i）；（ii）过定点，坐标为.
（1）根据题意列出关于的方程组，计算可得；
（2）（i）联立直线和椭圆方程，用坐标表示出直线的斜率，利用韦达定理代入化简即可；（ii）利用韦达定理表示出直线的斜率，进而表示出直线的方程，令，结合韦达定理化简可得定点.
【详解】（1）由题知，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设，则，
联立消去整理得，
则，，
所以，
若，则，
因为的横坐标大于的横坐标，所以，
所以，
所以.
（ii）过定点，证明如下：
由上可知，
所以直线的方程为，
令，得
，
所以直线过定点.

19．(1)
(2)（i）;（ii）动点在定直线上.
【详解】（1）因为点在上，所以．
又 ,所以,
故的渐近线方程为.
（2）（i）直线的方程为．
由,得．
因为,所以,
所以,
解得,
故的方程为.
（ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为.
由得,
则.
设,则.
直线,直线,
由,得
,
解得,题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
C
D
D
B
B
BC
BC
题号
11









答案
ABD