2025北京丰台区高二上学期期末考试数学含答案

这是一份2025北京丰台区高二上学期期末考试数学含答案，共10页。试卷主要包含了01等内容，欢迎下载使用。
2025.01
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．已知向量，，则
（A）（B）（C）（D）
2．直线的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
3．与直线关于x轴对称的直线方程为
（A）（B）
（C）（D）
4．已知圆与圆外切，则
（A）（B）（C）7（D）13
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
（A） （B） （C） （D）
考
生
须
知
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。
4. 本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
6．已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为
（A）（B）
（C）（D）
7．在空间直角坐标系中，，，，D是平面ABC内一点，若，则 的最小值为
（A） （B） （C）（D）3
8．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
9．在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果. 某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线上，△是边长为1的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，…，依次类推（其中点，，，，…共线，点，，，，…共线，点，，，，…共线）. 由上述圆弧组成的曲线H与直线恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为
（A）（B）（C）（D）
10．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为底面上一动点，则下列说法正确的是
（A）存在点Q，使得BQ平面
（B）在棱上存在点Q，使得平面
（C）在线段上存在点，使得直线与所成的角为
（D）存在点，使得三棱锥的体积为2
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______.
12．直线：被圆：截得的弦AB的长为 .
13．在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|= .
14．已知点，直线，动圆P过点F，且与直线l相切，则圆心P的轨迹C的方程为_______；若直线及分别与曲线C交于异于原点的M，N两点. 当直线MN过点F时， .
15．已知方程所表示的曲线为C. 给出以下四个结论：
①曲线C与y轴有两个不同交点；
②曲线C关于原点对称；
③x轴及直线为曲线C的两条渐近线；
④若曲线C与圆有公共点，则r的最小值为.
其中，所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题14分）
已知数列是等差数列，，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和的最小值，以及取得最小值时n的值.
17．（本小题14分）
已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点.
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形CAMB为菱形，求直线l的方程.
18．（本小题13分）
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为.
（Ⅰ）求直线l的斜率；
（Ⅱ）若，求的值.
19．（本小题15分）
如图，四棱锥中，底面ABCD，，平面，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，
求平面与平面夹角的余弦值．
条件①：点B到平面PAC的距离为1；
条件②：直线PC与平面PAB所成角的大小为30°.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
20．（本小题15分）
已知椭圆过点，长轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ）若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点.
21．（本小题共14分）
已知无穷数列各项均为正数，且.
（Ⅰ）请判断如下两个结论是否正确：
①；②；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）记数列的前项和为，若，证明：.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12． 13．
14．； 15． ①②③
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题14分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，
因为，，
所以,
所以，解得，
所以. …………………………6分
（Ⅱ）因为是等差数列，所以，
由（Ⅰ）可知，，
所以当时，有最小值. …………………………14分
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为圆心C是直线与轴的交点，
所以圆心C的坐标为，
又因为圆C经过，所以圆C的半径为，
所以圆C的方程为.…………………………6分
（Ⅱ）因为四边形CAMB为菱形，
所以AB垂直平分CM，
因为，所以
又因为CM的中点坐标为
所以直线AB的方程为. …………………………14分
18.（本小题13分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
C
A
A
C
A
C
D
（Ⅰ）设点A的坐标，
因为点A到抛物线准线的距离是，
所以，所以，代入抛物线方程得：
所以点，又因为点，
所以直线l的斜率.…………………………6分
（Ⅱ）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为：
由得：,
可知恒成立，
设点B的坐标，则，
，所以. …………………………13分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为底面ABCD，平面ABCD，
所以，，
因为，，平面PAB，
所以平面，
因为PB⊂平面，所以，
因为平面，平面ABCD，平面ABCD∩平面PBC=BC，
所以，
所以. …………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PA，AB，AD两两垂直，以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示坐标系.
若选条件①：
方法1：过点B作BMAC，交AC于点M，
因为PA底面ABCD，BM⊂平面ABC，
所以PA BM，
因为AC∩PA=A，
所以BM平面PAC，
又点B到平面PAC的距离为1，所以BM=1，
在Rt△ABC中，AC=2，所以.
因此，，，
又，，
所以，.
设是平面PBC的法向量，则，，即
取，则，，所以是平面PBC的一个法向量.
因为BM平面PAC，所以是平面PAC的一个法向量.
设平面ACP与平面BCP的夹角为，则
，
所以平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为.
方法2：，，设，则
可求得平面PAC的法向量为，则
，得.以下同方法1
若选条件②：
方法1：由（Ⅰ）知BC平面PAB，
因为直线PC与平面PAB所成角的大小为30°，
所以即为PC与平面PAB所成的角，即=30°.
在Rt△PAC中，AC=PA=2，所以，
在Rt△PBC中，，=30°，所以，
方法2：由条件①方法2得到，
是平面的PAB的一个法向量，
所以，得.以下同条件①. …………………………15分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为椭圆E过点（0,1），所以，
又因为长轴长为4，所以，所以，
所以.
椭圆E的方程为：，离心率. …………………………6分
（Ⅱ）由得：，
由得：或
设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标,
由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：，
令得：

，
所以直线AD过定点. …………………………15分
21.（本小题14分）
解：（Ⅰ）①，②均正确； …………………………4分
（Ⅱ）因为，均有
所以当时，有，
所以
，
所以，
当时，有，
所以
，
所以，
所以，即，
所以，
整理得. …………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当时，有，
所以，均有，
即，
所以
所以
，
即，
又因为，所以. …………………………14分