湖南师范大学附属中学2025-2026学年上学期高二期末数学冲刺练习卷

这是一份湖南师范大学附属中学2025-2026学年上学期高二期末数学冲刺练习卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（基础版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l的方向向量是e=(-1, 3)，则直线l的倾斜角是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，
且BE=2EC，则EF=( )
A. 12AP-AB-16ADB. -12AP+AB+16AD
C. 12AP-AB+16ADD. -12AP+AB-16AD
3.与双曲线x25-y24=1有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为( )
A. x22+y2=1B. x25+y24=1C. x210+y2=1D. x213+y24=1
4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(-1, 32)，P4(1, 32)中恰有三个点在椭圆C上，则这三个点是( )
A. P1，P2，P3B. P1，P2，P4C. P1，P3，P4D. P2，P3，P4
5.已知大小为60​∘的二面角α-l-β棱上有两点A、B，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AC=3，BD=3，CD=7，则AB的长为( )
A. 22B. 40C. 2 10D. 22
6.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉
骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
7.数列an满足a1=2，a2=-4，且对任意正整数n，有an+2=2an+1-an+1，则an的最小值为( )
A. -16B. -17C. -18D. -19
8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=-35，AB⊥BD，则E的离心率为( )
A. 52B. 173C. 102D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=-x3+3x2，则( )
A. fx在0,1上单调递减B. fx的极大值点为2
C. fx的极大值为-2D. fx有2个零点
10. 已知两圆为C1：x2+y2=4与C2：(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)，则( )
A. 若两圆外切，则r=2
B. 若两圆有3条公切线，则r=3
C. 若两圆公共弦所在直线方程为8x-6y-13=0，则r=4
D. P为圆C1上任一点，Q为圆C2上任一点，若|PQ|的最大值为12，则r=5
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥
平面α，下面说法正确的是( )
A. 直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[ 33, 22]
B. 点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. C.点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，则MC=2- 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=3x-1，则f(1)+f'(1)= ．
13.若指数函数y=ax(a>0且a≠1)与三次函数y=x3的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
14.设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn.若数列{ 8Sn+2n}也是公差为d的等差数列，则数列{an}的通项公式an= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C的半径为3，圆心C在射线y=-2x(x≥0)上，直线x+y-1=0被圆C截得的弦长为3 2．
(Ⅰ)求圆C方程;
(Ⅱ)过点P(2,0)的直线l与圆C交于M、N两点，且△OMN的面积是6(O为坐标原点)，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
设正项数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且b1=2，4Sn=an2+2an+1，S7=7T2+a4．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an⋅bn}的前n项和．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD，AB⊥AD，PA=AB=2，AD=DC=1，E为PB上一点．
(1)若E为PB中点，求证：CE//平面PAD；
(2)若点E不与P和B重合，且二面角E-AC-P的余弦值为 63，求AE与平面ABCD所成角的正切值．
18.(本小题17分)
椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，其左焦点F1到点P(2,1)的距离是 10．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求△AOB面积S的最大值．
19.(本小题17分)
已知正项数列{an}，a1=1，a2=2，{an+12-an2}是公差为2的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}是首项为1，公比为正数的等比数列.设m为正整数，若对任意正整数k，当k≤m时，都有bk≤ak≤bk+1成立，求m的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】∵直线l的方向向量是e=(-1, 3)，∴倾斜角α的正切值为tan α= 3-1=- 3，又α∈[0,π)，则直线l的倾斜角为α=2π3，
故选：C．
2.【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且BE=2EC，
∴AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD，AF=12(AP+AD)，则EF=AF-AE=12(AP+AD)-(AB+23AD)=12AP-AB-16AD，
故选：A．
3.【答案】C
【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，双曲线x25-y24=1的焦点坐标为(3,0),(-3,0)，又短轴长为2，故2b=2，解得：b=1，则a2=9+1=10，故椭圆方程为x210+y2=1．
故答案为：C
4.【答案】D
【解析】
因为P3,P4两点关于y轴对称，所以椭圆经过P3,P4两点，
又因为1a2+1b2>1a2+34b2，所以椭圆不经过P1点，故椭圆经过P2，P3，P4点，
故答案为：D．
5.【答案】C
【解析】因为CD=CA+AB+BD，
所以CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2CA⋅BD+2AB⋅BD，
因为线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，则=60°，
又AC=3,BD=3,CD=7，
所以CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅BD
=9+|AB|2+9-2×3×3×12=49，
则|AB|=2 10．
故选C．
6.【答案】B
【解析】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，过第三眼中点且垂直中庭下边界的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(12,4)，B(-32,2)，所以kAB=4-212-(-32)=1，
利用点斜式方程可得到直线AB：y-2=x+32，整理为2x-2y+7=0，
所以原点O到直线AB距离为d=|7| 4+4=7 24≈2.5(cm)，
故答案为：B．
7.【答案】D
【解析】∵an+2-2an+1+an=1，
∴(an+2-an+1)-(an+1-an)=1，
而a2-a1=-4-2=-6，
∴数列{an+1-an}是以-6为首项，1为公差的等差数列．
∴an+1-an=-6+(n-1)×1=n-7，
∴a2-a1=1-7，
a3-a2=2-7，
···
an-an-1=(n-1 )-7，
∴an-a1=1+2+3+⋯+(n-1)-7(n-1)
=n(n-1)2-7(n-1)，n⩾2
∴an=n-14(n-1)2+2=12n2-15n+18，n⩾2
由于a1=2满足上式，
所以an=12n2-15n+18，
易得当n=7或8时an取得最小值，a7=a8=-19．
故选D．
8.【答案】B
【解析】依题意，直线CA，BD都过点F1，如图，
有AB⊥BF1，cs∠BAF1=35，
设|BF2|=m，则|BF1|=2a+m，显然有tan∠BAF1=43，AB=34BF1=342a+m,AF2=32a-14m，
因此AF1=2a+AF2=72a-14m，在Rt△ABF1，|AB|2+|BF1|2=|AF1|2，
即9162a+m2+2a+m2=72a-14m2，解得m=23a，即|BF1|=83a,BF2=23a，令双曲线半焦距为c，则在Rt△BF1F2中，|BF2|2+|BF1|2=|F1F2|2，
即23a2+83a2=2c2，解得ca= 173，所以E的离心率为 173．
故选：B
9.【答案】BD
【解析】f'x=-3x2+6x=-3xx-2，令f'x=0，有x=0或x=2，
当x∈-∞,0时，f'x0，且a≠1)与y=x3的图象，如图所示，
当00，
所以只能是函数y=ax与y=x3的图象在(0,+∞)上有2个交点，
即方程ax=x3在(0,+∞)上有2个不等实数根，
即方程lna=3lnxx在(0,+∞)上有2个不等实数根，
设f(x)=3lnxx(x>0)，则f'(x)=3(1-lnx)x2(x>0)，
所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以f(x)的最大值为f(e)=3e，所以lna0=3e，即a0=e3e，
故实数a的取值范围是(1,e3e)．
故答案为：(1,e3e)．
14.【答案】4n-74
【解析】因为数列{ 8Sn+2n}也是公差为d的等差数列，
所以 8Sn+2n= 8a1+2+(n-1)d
即 8na1+nn-12d+2n= 8a1+2+(n-1)d
即 4dn2+(8a1-4d+2)n= 8a1+2+(n-1)d
即4dn2+8a1-4d+2n=d2n2+2 8a1+2-ddn+ 8a1+2-d2
所以，有4d=d20= 8a1+2-d28a1-4d+2=2( 8a1+2-d)d,
解得a1=74,d=4，
所以，an=4n-74．
15.【解析】 (Ⅰ)设圆心C(a,-2a)(a≥0)，则圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=9
∴3 2=2 9-(a-2a-1 2)2，∴a=2或-4(舍去)
∴圆的方程为(x-2)2+(y+4)2=9
(Ⅱ)①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=2，原点到直线的距离为d=2，
令x=2代入圆方程得y=-1或-7，∴|EF|=6，
∴S△OMN=12×6×2=6满足题意.此时方程为x=2．
②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-2)，
圆心C(2,-4)到直线l的距离d=4 k2+1，
|MN|=2 9-(4 k2+1)2=2 9k2-7k2+1
原点O到直线l的距离d=|2k| k2+1，∴S△OEF=12×2 9k2-7k2+1×|2k| k2+1=6
整理，得25k2+9=0，此时k无解．
综上所述，所求的直线的方程为x=2．
16.【解析】(1)由题意知，4Sn=an2+2an+1①，可得4Sn-1=an-12+2an-1+1(n≥2)②，
两式相减得：4an=an2-an-12+2an-2an-1，整理得：an2-an-12=2(an+an-1)，
即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1)，因为an>0，所以an-an-1=2n⩾2．
令n=1可得：4S1=a12+2a1+1，解得a12-2a1+1=0，
即(a1-1)2=0，所以a1=1．
即数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an=a1+(n-1)d=2n-1．
所以S7=7(a1+a7)2=49，a4=7，所以T2=6，又因为b1=2，所以b2=4，
所以等比数列{bn}的公比为2，则bn=2n．
(2)令cn=an⋅bn，前n项和为Mn，
则有：Mn=c1+c2+c3+⋯⋯+cn-1+cn=1×21+3×22+5×23+⋯⋯+(2n-1)⋅2n，
等式两边同乘以2有：2Mn=1×22+3×23+⋯⋯+(2n-3)⋅2n+(2n-1)⋅2n+1，
两式相减得：-Mn=2+2×[22+23+⋯⋯+2n]-(2n-1)⋅2n+1=2+2×4(1-2n-1)1-2-(2n-1)⋅2n+1，
整理化简得：Mn=6+(4n-6)⋅2n．

17.【解析】(1)证明：取PA的中点F，连结DF、EF；
又∵E为PB中点，∴EF//AB，且EF=12AB，
又∵DC//AB，且DC=12AB，∴EF//DC，EF=DC，
∴四边形CDFE为平行四边形，
∴CE//DF，又∵CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，
∴CE//平面PAD；
(2)由题意，PA、AB、AD两两垂直，
分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则P(0,0,2)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，
令E(0,a,2-a)，且00,bk≤ak≤bk+1
所以qk-1≤k≤qk，其中k=1，2，3，…，m．
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有lnkk≤lnq≤lnkk-1．
设f(x)=lnxx(x>1)，则f'(x)=1-ln xx2．
令f'(x)=0，得x=e列表如下：
因为ln22=ln86