山西大学附属中学校2025-2026学年高一上学期12月（总第三次）月考数学试卷含答案（word版）

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1. C. 2. D． 3. D. 4. B 5. D. 6. D． 7. D. 8. D
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. .
10. BCD
11. ACD．
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. .
13. （或）
14. ①. 6 ②. 或
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）原式.
（2）原式.
（3）由可得，即，解得，故.
16. (1)当时，可得，
由，得，可得，解得，
因此，当时，不等式的解集为；
(2)因为，即，，
当，则，可得，可得，
而，则，解得，因此，实数的取值范围是；
17. (1)当时，，
对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为，
因为内层函数的减区间为，增区间为，
外层函数为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为，
故.
(2)令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增，则内层函数在上为增函数，且，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
(3)对于任意，存在，使得不等式成立，
则对任意的恒成立，
因为，
当时，，故当时，即当时，函数取最小值，
即，
所以，对任意的恒成立，
由可得，
当时，不等式成立，
当时，
参变量分离得，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，则，
即，
综上可知，实数的取值范围是.
18. （1）解：已知，则，
所以不等式可化为，令,则不等式变为，
即，解得或，当时，，当时，，
所以，不等式的解集为.
（2）证明：已知，则，,
所以为定值，
令，
则，
两式相加得，所以，
即的值为.
（3）解：已知满足，即，
已知满足，即，
令,则原方程组可化为和，
而可化为
设，则，
所以，即，
所以.
19.
（1）证明任取，，
因为，则，
则，即，
所以在上单调递减；
（2）因为，
所以得，整理得，
所以或，解得或，
又不等式成立，所以或，
又，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以或；
（3）由于，当且仅当时，等号成立，
则，且，则为偶函数，
又在上单调递减，则在上单调递增，
方程，整理得，
因为为定义域上的单调递增函数，所以，
设，则，恒成立，
则方程化为，
设，
任取，则，
因为，所以，
故，即，所以在上单调递减，
所以，且时，
故当时，方程无解，
所以关于的方程的解为0个；
当时，方程有一解为，此时，
所以关于的方程的解为1个；
当时，方程有唯一解，且解，
又，在上单调递减，则在上单调递增，为偶函数，
所以时，方程有互为相反数的两根，
所以关于的方程的解为2个；
综上，当时，原方程无解；当时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个解.