安徽省2025_2026学年高二数学上学期十月调研考试试卷含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高二数学上学期十月调研考试试卷含解析，共16页。试卷主要包含了 已知 ，且 ，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助正弦函数周期性计算即可得.
【详解】最小正周期 .
故选：C.
2. 已知 为直线 的一个方向向量，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由方向向量得斜率，再由斜率得倾斜角．
【详解】因为 为直线 的一个方向向量，所以直线 的斜率为 ，
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所以倾斜角为 ，
故选：C．
3. 若 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆焦点在 轴上列不等式计算求解.
【详解】因为 表示焦点在 轴上 椭圆，
所以 ，解得 .
故选：B.
4. 若以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的性质列式求离心率.
【详解】设椭圆的长轴长和短轴长分别为 ，焦距为 ，其中 ，
由题意知 ，所以 ，故椭圆的离心率 .
故选：C
5. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系求值.
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【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
6. 已知点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得.
【详解】因为曲线 表示圆，点 在圆 的外部，
所以 ，整理得 ，
由 可得 ，
由 可得 或 ，
故 .
故选：D.
7. 已知直线 的倾斜角为 ，且圆 上恰有 3 个点到直线 的距离为 2，则 在 轴上的截距
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】可设 的方程为 ，由题意可知圆心到直线 的距离 ，代入运算即可.
【详解】由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，
因为直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为 ，
可设 方程为 ，即 ，
若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离为 2，
则圆心到直线 的距离 ，解得 .
故选：D
8. 已知 为圆 上任意一点， ，若点 满足 ，则点 的轨迹方
程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用轨迹方程求法中的直接法，设点 的坐标，建立点 的横纵坐标满足的关系式，此关系式即为
点 的轨迹方程.
【详解】依题意，设 ，因为 ，即 ，
所以 即 又点 在圆 上，
所以 ，即 ，
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整理得 ，即为点 的轨迹方程.
故选：A
二､多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 与 过同一个定点
C. 若 ，则 与 关于 轴对称
D. 若 与 交于点 ，则 为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两直线位置关系判断 A，求出直线所过定点判断 B，根据直线方程判断 C，确定交点轨迹后判断
D．
【详解】对 A，由 知 A 正确；
对 B，由直线方程知 过定点 ，直线 过定点 ，B 错；
对 C， 时，两直线方程分别为 和 ，它们交点为 在 轴上，斜率分别
为 和 1，它们关于 轴对称，C 正确；
对 D，记 ，则 点在以 为直径的圆上， 是圆心，因此 为定值，D 正确．
故选：ACD．
10. 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，
，则（ ）
A.
B.
C.
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D. 的面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】由同角三角函数关系，求出 ，判断 A 的正误；代入已知条件，求出 ，判断 B 的正误；
根据正余弦定理，解三角形，判断 C 的正误；根据正弦定理面积公式，求出三角形面积，判断 D 的正误.
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 A 正确；
由 代入 ，得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 B 错误；
由 ，得 ，因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，代入得 ，解得 ，
由余弦定理 ，代入得 ，解得 或 （舍），所以 C 错误；
由正弦定理面积公式得 ，所以 D 正确；
故选：AD.
11. 已知点 ，圆 ，动点 满足 为坐标原点，记点 的轨
迹为曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若过点 的直线与圆 相切于点 ，且 ，则
B. 若过点 的直线与圆 相切于点 ，则 面积的最大值为
C. 若 与圆 仅有一个公共点，则
D. 若 与圆 有两个公共点，则
【答案】ABD
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【解析】
【分析】根据相切列式计算求参判断 A，应用基本不等式计算面积最值判断 B，先求出轨迹 的方程再根
据交点个数判断圆和圆的位置关系进而列式求解判断 C，D.
【详解】对于 A，由相切知 ，代入可得 ，故 A 正确；
对于 B，因为 的面积 ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 时等号成立，则 面积
的最大值为 ，故 B 正确；
设 ，因为 ，即 ，所以 ，得轨迹 的方程为
1） .
对于 C，若 与圆 仅有一个公共点，则圆 与 外切或内切，若 与圆 外切，则 ，此时无解；
若 与圆 内切，则 ，解得 或 ，故 C 错误
对于 D，若 与圆 有两个公共点，则 ，解得 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复平面内，复数 z=i(2－i),则|z|=________
【答案】
【解析】
【详解】
13. 已知椭圆 的左焦点为 和 是椭圆上关于 轴对称的两个动点，当 的周长最大时，
的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为 ，根据题意结合椭圆的定义分析可得当且仅当直线 经过点 时取等号，
进而可得面积.
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【详解】由题意可知： ，
设椭圆的右焦点为 ，则 ，
如图，
的周长为 ，
当且仅当直线 经过点 时取等号，此时 的方程为 ，
可得 ，所以 .
故答案为： .
14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方
程表示该直线系中的某一条直线.已知 是直线系 中的两
条直线，若 ，则 之间的距离为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】由平行求得两直线方程，再根据直线间距离公式求解．
【详解】设直线 方程分别为 ，
，
不妨设 ，
因为 ， ， ，所以 （舍去）或 ，
时， ，
若 ，则 ，直线 方程分别为 和 ，两直线间距离为 4，
若 ，则 ， ，满足两直线 平行，
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所以 ，
因此直线 的方程为 ，
所以 之间的距离为 ，
综上， 的距离为 4，
故答案 ：4.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知点 ，直线 经过点 .
（1）若 与直线 垂直，求 的方程；
（2）若 与线段 有交点，求 的倾斜角的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两点的斜率公式求出 ，进而得到直线 的斜率，利用斜截式方程表示出直线 ，得解；
（2）求出 ，数形结合得到直线 的斜率范围，根据斜率与倾斜角关系得解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
， ，如图，设直线 的斜率为 ，
要使得直线 与线段 有交点，则 或 ，
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所以直线 的倾斜角的范围为 .
16. 已知点 ，点 在 轴负半轴上，直线 在两坐标轴上的截距相等.
（1）求直线 的方程；
（2）已知点 和 ，点 在直线 上运动，求 的最小值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用截距式方程代入求解即可；
（2）作图，求点 关于直线 的对称点 ，当 三点共线时， 最小，计算即可求
解.
【小问 1 详解】
因为点 在 轴负半轴上，
所以直线 的横截距 ，
由题意，设直线 的方程为： ，
因为点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
即直线 的方程为 ；
【小问 2 详解】
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
如图所示， ， ，
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所以 ，
所以当 三点共线时， 最小，即最小值为 .
17. 已知椭圆 的离心率为 ，且 过点 ，点 是 上任意一点.
（1）求 的方程.
（2）设 的左、右顶点分别为 、 ，当点 与 不重合时，证明： 与 的斜率之积为定值.
（3）设 的左、右焦点分别为 、 ，是否存在点 ，使得 ?若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用离心率公式与所过点计算即可得；
（2）设 ，则有 ，再借助斜率公式计算即可得；
（3）法一：设 ，结合向量数量积公式计算可得 ，即可得解；法二：求出使得
的点 的轨迹方程后联立曲线，可得该方程组无解，即可得.
【小问 1 详解】
设 的半焦距为 ，离心率 ，所以 ，
又 过点 ，所以 ，则有 ，可得 ，从而 ，
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所以 的方程为 ；
【小问 2 详解】
由（1）可得 ，设 ，
则 ，所以 ，
故 ，
即 与 的斜率之积为定值 ；
【小问 3 详解】
方法一：由（1）可得 ，
设 ，则 ，
又 ，且 ，
所以 ，
故不存在满足 的点 .
方法二：由（1）可得 ，
满足 的点 的轨迹是以 为直径的圆 ，
联立得 ，化简得 ，故此方程组无解，
所以椭圆 与圆 没有交点，即不存在满足 的点 .
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18. 已知过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 两点.
（1）求 的最小值，并求 取最小值时 的方程；
（2）若 为锐角， 为坐标原点，求 的取值范围.
【答案】（1）4，
（2）
【解析】
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，可得该圆的圆心及半径，再借助点与圆的位置关系可得点 在
圆 内，从而可得当 与 垂直时， 取最小值，再利用垂径定理计算即可得；
（2）联立 的方程与圆的方程，结合韦达定理与向量数量积公式计算即可得.
【小问 1 详解】
将 化简可得 ，
则圆心为 ，半径 ，
因为 ，所以点 在圆 内，
则当 与 垂直时， 取最小值，
此时点 到 的距离 ，
所以 ，
因为 ，所以此时 的方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
设 ，由题可知 的方程为 ，
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联立得 ，
整理得 ，
则 ，
所以
，
因为 为锐角，所以 且 和 不同向，
即有 ，
即 ，解得 ，
又因为点 在圆 内， 和 不可能同向，
所以 的取值范围是 .
19. 已知圆 ，过直线 上一动点 作圆 的两条切线，切点分别为 .
（1）若直线 的斜率为 ，求两条切线的斜率；
（2）当 取最小值时，求四边形 的周长；
（3）证明：直线 过定点.
【答案】（1） 和 0
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（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先得 ，显然过点 且与圆 相切的切线斜率存在，故可设切
线方程为 ，结合直线与圆的相切可列方程求解；
（2）分析知， ，即要求 的最小值，则需取 ，进一步即
可求解；
（3）设 ，从而以线段 为直径的圆的方程为 ， 可以看成以线段 为
直径的圆与圆 的公共弦，两圆方程相减即可得到 的方程，进一步即可得证.
【小问 1 详解】
由已知得圆 的圆心为 ，半径为 1，
则直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 .
设切线方程为 ，即 .
圆心 到切线的距离 ，解得 或 ，
所以两条切线的斜率分别为 和 0.
【小问 2 详解】
由题意知 与 全等，所以 ，
又 ，所以 .
所以当且仅当 取最小值时， 取最小值.
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而 ，即要求 的最小值.
当取 时， 取最小值 3，此时 ，
此时四边形 的周长为 .
【小问 3 详解】
因为 ，所以 四点都在以线段 为直径的圆上.
设 ，因为 ，
所以以线段 为直径的圆的方程为 .
即 ，又圆 ，
两式作差，得直线 的方程为 .
令 ，得 ，
即直线 经过定点 .
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