安徽省2025_2026学年高二数学上学期10月调研考试试题含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高二数学上学期10月调研考试试题含解析，共17页。试卷主要包含了 已知直线与平行，则的最小值为， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图所示的几何体是一个平行六面体，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用平行六面体的性质得出和的关系，进而得出向量关系，再根据向量加法计算求解．
【详解】六面体是平行六面体，
，
，
．
故选：C．
2. 已知为直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由直线的方向向量求出直线l的斜率，再由直线l的倾斜角与斜率关系即可求解.
【详解】依题意可知直线l的斜率，
设直线l的倾斜角为，则，则，
所以直线l的倾斜角为.
故选：C
3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为（ ）
A. 4B. 5
C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数的定义计算即可.
【详解】 数据，，…，的平均数为.
故选：D
4. 已知正方体的棱长为1，若，，，则（ ）
A. 0B. 1
C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的定义和运算律求值.
【详解】由题意知，，两两互相垂直，故，
又，所以.
故选：B
5. 甲、乙两人投篮的命中率分别为和，且他们投篮互不影响，若两人分别投篮一次，则至少有一人投中的概率为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率公式计算.
【详解】至少有一人投中的概率为.
故选：D
6. 已知E，F分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解.
【详解】因为，
，
所以，即，，
所以.
故选：D.
7. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，首先根据求出，然后求出平面的一个法向量，最后根据线面角的向量公式即可求解.
【详解】取的中点，则，以为坐标原点，，的方向分别为轴正方向，
与平行的竖直向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
设（），则，，，，
所以，，所以，得.
则，设平面的一个法向量为，
则有，取，则，
设直线与平面所成的角为，则.
故选：B
8. 已知直线与平行，则的最小值为（ ）
A B.
C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行得到，且，消元得到，求出最小值，检验后得到答案.
【详解】因为两条直线平行，两直线平行的充要条件是，即且.
所以，
即当，，时取得最小值，为，
此时直线与平行，满足要求.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，：，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与过同一个定点
C. 若，则与关于y轴对称D. 若与交于点M，则为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，直接根据两直线垂直的充要条件即可判断；对B，变形直线方程即可得到其所过定点，对C，代入观察两直线形式即可判断；对D，法一：直接联立求解即可，法二：利用几何意义，找到交点轨迹即可判断.
【详解】对于A，两条直线的一般式系数满足，所以，故A正确；
对于B，：，则过定点，过定点，故B错误；
对于C，若，则：，：，所以与关于y轴对称，故C正确；
对于D，法一：联立方程组得，解得，
所以，为定值，
法二：综合选项A、B的结论可知且过定点，过定点，
则其交点的轨迹为以为直径的圆，且去掉点，则其直径长为4，则，故D正确.
故选：ACD
10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，，则（ ）
A. B.
C. D. △ABC的面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】先由题设条件依次求出，即可判断AB；再由正弦定理结合题设条件以及射影定理依次求出即可判断C，再由正弦定理面积公式即可求解判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，由A可知，所以，
又，所以，故B错误；
对于C，由正弦定理可得，整理得，
又因为，所以，，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD
11. 对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，是非零向量，且为零向量，则一定有
C. 若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是
D. 若，是非零向量，且，则，的夹角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空间向量新定义，结合空间向量共线、垂直的坐标表示，及特殊向量夹角计算逐个判断即可.
【详解】对于A，根据定义，，，
，即，故A正确；
对于B，，都是非零向量，不妨设，若，由得，
由得，所以，
所以，故B正确；
对于C，，
同理有，因为，不共线，
由选项B知不是零向量，则可以是平面的法向量，故C正确；
对于D，设，的夹角为，
，若，则，或，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算法则和模的公式计算即可得解.
【详解】由题，所以.
故答案为：2
13. 已知点A，B都在直线上，且点A，B的横坐标之差为2，点，则△ABC的面积为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】利用点到直线的距离求高，再结合三角形的面积公式求三角形面积.
【详解】点C到直线AB的距离，
又，
故.
故答案为：5
14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系A：（）中的两条直线，若，则，之间的距离为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】改写直线方程的形式，根据点到直线的距离公式，得到直线到点的距离为定值，再结合，可得，之间的距离.
【详解】方程可改写为，
无论取何值，该直线系中的直线到点的距离，为定值，
因为，所以，之间的距离为4.
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点，，直线l经过点.
（1）若l与直线AB垂直，求l的方程；
（2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解；
（2）依次求出和，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解.
【小问1详解】
由题，
因为l与直线AB垂直，所以，
所以l的方程为.
【小问2详解】
依题意，，
若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是，
设直线倾斜角为，则，
故倾斜角的取值范围是.
16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等.
（1）求直线的方程；
（2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标可得答案；
（2）求出点关于直线的对称点，利用两点间直线段最短可求最小值.
【小问1详解】
因为点在轴的负半轴上，所以设直线的方程为，
将点的坐标代入，得，解得，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
设点关于直线对称点为，
则，故只需求出即可.
由（1）知直线的方程为，其斜率为，
则，解得，即.
所以，
所以的最小值为10.

17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且.
（1）证明：；
（2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AD的中点O，利用线面垂直的判定性质推理得证.
（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解.
【小问1详解】
取AD的中点O，连接PO，BO，BD，
由底面是菱形，，得是正三角形，且，
又为正三角形，即，而平面，
因此平面，又平面，所以.
【小问2详解】
由平面底面，平面底面，，平面，
得底面，则直线OB，AD，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，
，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，
可得，，，
，
设平面的法向量为，则，
令，解得,得到，
而平面的一个法向量为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D.
（1）求与l平行且距离为2的直线的方程；
（2）若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t值；
（3）若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值.
【答案】（1）或
（2）或
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据直线平行，设出所求直线的方程，然后根据平行线间的距离公式，即可求解；
（2）根据图形，△OCD与△AOB有两种相似情况，分别求解即可；
（3）分三种情况利用向量表示直线垂直，以及线段相等列方程组，分别求解即得
【小问1详解】
设与l平行直线方程为，
由平行线间的距离公式可得，解得或，
即所求的直线方程为或.
【小问2详解】
由l：，令得；令得
∴
由条件知CD与x轴垂直，所以，要使两个三角形相似，只需再确定另一组相等的角即可.
①若，则,
∴直线OC的方程为：，
由，解得，所以，此时.
②若，则
∴直线OC的方程为：，
由，解得，所以，此时.
综上，或.
【小问3详解】
由题知，，点坐标为，则，,.
若为等腰直角三角形，且为直角，则，解得；若为等腰直角三角形，且为直角，则，
即，解得或（舍去）
若为等腰直角三角形，且为直角，则，
即，解得
综上，若满足△MCD为等腰直角三角形，则或或.
19. 如图，已知正方体的棱长为1，过直线的平面分别与棱，交于点E，F（点E，F均与所在棱的端点不重合）.
（1）若，求直线EF与所成角的余弦值；
（2）求的余弦值的最大值；
（3）设平面与平面，平面，平面的夹角分别为，，，证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先由面面平行的性质得到截面是平行四边形，接着建立适当空间直角坐标系根据计算即可求解；
（2）设，，向量法计算结合基本不等式得，再由基本不等式即可分析求解；
（3）先由向量法求出平面的法向量为，平面、平面、平面的法向量分别可取、、，再由面面角的向量法公式依次计算、、即可分析求证.
【小问1详解】
由正方体结构性质可知平面平面，平面平面，平面平面，
所以，同理可得，所以截面是平行四边形，
所以EF与的交点为正方体的中心.
以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.
则，，，，
则，，
所以，
即直线EF与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
设，，则且，
则，，故由（1）得，，
故，
又，所以，所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
【小问3详解】
设平面的法向量为，由（2）得，，
则，不妨令，得.
又平面，平面，平面法向量分别可取，，，
于是，
，
，
于是，
即.