湖北省荆州中学2026届高三上学期12月月考数学试卷含解析

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9.BCD 10. ABD 11. ABD
12. π4 13.20 14. 2π ; 334
1. 解: fx=sin3x+φ−π6 为偶函数,则 φ−π6=π2+kπk∈Z,φ=2π3+kπk∈Z , 取 k=−1 ,则 φ=−π3 .
故选: D .
2. 解: 设抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F ,由抛物线的定义可知,
AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p ,因为线段 AB 中点的横坐标为 p ,所以 x1+x2=2p
又 AB=12 ,所以 2p+p=12 ,可得 p=4 .
故选: C .
3. 解: x−12x7 的展开式的通项为 Tr+1=C7rx7−r−12rx−12r=C7r−12rx7−32r,r=0,1,⋯,7 , 令 7−32r=1 ,解得 r=4 ,所以 x 的系数为 C74−124=3516 .
故选: C .
4. 解: 如图所示,过正方体的对角线的轴截面,

则 AC=2a,CC1=a,O1P=2,O1M=2 ,由 AC//A1C1 ,可得 △POC∽△PO1M , 可得: 2−a2=222a ,解得 a=1 .
故选: C .
5. 解: a−cb+c=sinBsinA+sinC ,由正弦定理可得 a−cb+c=ba+c ,
可得 c2+b2−a2=−bc ,
由余弦定理得 csA=c2+b2−a22bc=−bc2bc=−12 ,由 0z ;
②比较 z 与 x : 将 y=x2+z22x 代入 x20 ,可得 2x30,z>0 ,故 x−zx .
答案: A .
9. 解: 由 z=3−5i1+i1−i1+i=8−2i2=4−i ,则 z=4+i,,z=17,A 错, B 对;
又 z 对应点为 4,−1 在第四象限， C 对；
由 ω=1 ,即复数 ω 对应点在圆心为原点,半径为 1 的圆上,所以 ω−z 的最大值为 17+1,D 对.
故选 BCD .
10. 解: 由题意可知, fx 图象的对称中心为 0,0 ,对称轴为 x=1 ,
所以 fx 也关于直线 x=−1 对称,且 f2−x=fx ,故 A、D 正确;
因为 fx=f2−x=−f−x ,故 fx+2=f−x=−fx ,
所以 fx+4=−fx+2=fx ,所以 fx 的周期为 4,则 g2023=f2024=f0=0 ,
故 B 正确;
但只能说 4 是 fx 的周期,不能确实是其最小正周期,故 C 错误;
故选 ABD .
11. 解: 对于 A ,因为 an=n−22n−15 ,则 12an−1=2n−1511 ,
当 n≥2 时, 12an−1−12an−1−1=211 (常数),所以数列 12an−1 为等差数列,故 A 正确;
对于 B,an=12+114n−30 ,当 n≤7 时, 114n−30 为负, an12 ,所以存在 n 使 an+1>an ,故 B 正确;
对于 C ,易知 20 ,得 n≤6 或 n≥8 ,
结合二次函数知识,得当 n=6 或 n=8 时,分母取到最小值为 3,
此时 an−an+1 取最大值 113 ,故 D 正确.
故选: ABD .
12. 解: 因为 OA=1,2,OB=3,1 ,所以 OA⋅OB=1×3+2×1=5,OA=5,OB=10 , 则 cs∠AOB=OA⋅OBOAOB=55×10=22 ，故 ∠AOB=π4 .
故答案为: π4 .
13. 解: 当甲和乙站前排,丙站后排时,不同站法有 A22A33=12 (种);
当甲和乙站后排,丙站后排时,不同站法有 A22A22A22=8 (种),
所以不同的站法共有 12+8=20 (种).
14. 解: 空一: ∵y=sinx 的最小正周期为 2π,y=12sin2x 的最小正周期为 π ,
∴ 可推测 fx=sinx+12sin2x 的最小正周期为 2π ,
fx+2π=sinx+2π+12sin2x+4π=sinx+12sin2x=fx,
经验证, fx=sinx+12sin2x 的最小正周期为 2π ;
空二: 由函数 fx=sinx+12sin2x=sinx+sinxcsx ,
得 f′x=csx+cs2x−sin2x=2cs2x+csx−1=csx+12csx−1 ,
令 f′x=0 ,解得 csx=12 或 csx=−1 ,
在函数 fx 的一个周期 0,2π 内,当 x∈0,π3 时, 120 ，
即为 xex−lnx+a−x≥0 恒成立,即 a≥x+lnx−xex 恒成立,
令 hx=x+lnx−xex ,则 h′x=1+1x−x+1ex=x+11x−ex ,
可知函数 mx=1x−ex 在 0,+∞ 上单调递减,且 m12=2−e>0,m1=1−ex0 时, mx