2026河北省名校联考高二上学期期中考试数学含解析

这是一份2026河北省名校联考高二上学期期中考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，若，则（ ）
A．B．C．5D．0
3．三条直线,与相交于一点，则（ ）
A．B．1C．D．
4．如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆上恰有三个点到直线l：（）的距离都为1，则l的方程为（ ）
A．B．
C．或D．不存在
6．空间两定点，，动点满足，则点P围成的几何体体积为（ ）
A．B．C．D．
7．椭圆（）的左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P的坐标满足，其中，一条光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．平面内过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）
A．B．C．D．
10．，为平面内两个定点，l为一定直线，，以下动点P的轨迹不能判定是椭圆的有（ ）
A．为大于0的常数B．直线，的斜率之积为小于0的常数
C．直线，的斜率的商为大于1的常数D．点P到l的距离为d，为小于1的正常数
11．已知点，，满足，，，则（ ）
A．的最小值为1，最大值为3B．△OAB的面积为
C．线段AB中点的轨迹长度为D．的最大值为
三、填空题
12．直线：与：之间的距离为 .
13．如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为 米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）.
14．在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为 .

四、解答题
15．△ABC的三个顶点是，，.求：
(1)边BC上的中线所在直线的一般式方程；
(2)边BC上的高线所在直线的斜截式方程.
16．四面体ABCD中，，.
(1)证明：；
(2)证明：四面体三组对棱的中点间距离相等.
17．已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过定点的直线l与椭圆C交于E，F两点，求面积的最大值.
18．如图，矩形中，，，沿对角线将折起，使点折到点位置，已知.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若的中点为，内是否存在一点，使直线与直线所成角相等.若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.
19．在平面直角坐标系中，对于椭圆E：（），我们把曲线：（）叫椭圆E的共焦共形椭圆簇.
(1)证明：曲线为有公共焦点的椭圆；
(2)对于任意的椭圆E外一点P，是否存在两个不同的k，使曲线过点P？如果存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
(3)过曲线外定点作曲线的两条切线，过两切点M，N的直线方程为，若线段MN的中点为G.证明：对于符合条件的实数k，点G始终在一条定直线上.
1．C
化为斜截式方程即可求解．
【详解】由，得，
得直线的斜率为：，
故选：C
2．B
由向量垂直得，得，再计算向量的模即可．
【详解】依题意得，，得，解得，
则，
所以，
故选：B
3．A
求出两条已知直线的交点，再代入直线求解即可.
【详解】联立,解得其交点为,
代入直线,得：
,解得.
故选：A.
4．C
根据直二面角确定坐标系原点和坐标轴，建立空间直角坐标系，然后根据边长长度求出的空间坐标，最后根据空间两点距离公式求出结果.
【详解】取的中点，连接.
因为折叠前四边形为正方形，，
所以.
因为平面与平面的夹角为直二面角，
所以平面，且.
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
因为正方形边长为4，则，所以.
所以.
故选：C.
5．B
求出直线所过定点为，但不包括，再分析得圆心到直线的距离为1得到方程，解出即可.
【详解】由圆的方程可知其圆心为，半径为2，
l：，显然表示恒过点的直线，但不包括直线，
若圆上恰有三个点到直线的距离都为1，
则圆心到直线l的距离为1，得，解得.
直线为，
故选：B.
6．C
先根据向量之间的关系列出等式并进行化简，得到球的标准方程，进而根据球的体积公式求出结果即可.
【详解】因为，
所以.
因为，所以，
化简得：.
配方得.
这是球的标准方程，球心坐标为，半径为2.
所以该几何体的体积为.
故选：C.
7．A
依题意可得圆心为左焦点与右顶点的中点，半径，再由即可得到关于、的方程，同除得到关于的方程，解得即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，则右顶点为，上顶点为，下顶点为，
因为左焦点，右顶点及上下顶点共圆，则圆心为左焦点与右顶点的中点，半径，
所以，则，即，
又，
所以，所以，解得或（舍去），
所以椭圆的离心率为.
故选：A
8．A
先求出点的轨迹方程和的范围，然后结合图象分析反射光线所在直线斜率的最小值和最大值，从而得出结果.
【详解】因为点P的坐标满足，得，
又，所以，，则，，
又，得，，，
如图所示，光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，
相当于点P关于x轴的对称点P′发出的光线与圆C有公共点，
则可求过点与圆C相切的直线斜率为，，则反射光线所在直线斜率的最小值为.
再求圆：与圆C的内公切线斜率，
因为圆与圆C的半径相同，故内公切线必过线段的中点，
可设内公切线斜率为k，则内公切线为，即
得，解得，故反射光线所在直线斜率的最大值为.
故选：A.
9．BC
分截距均为和截距均不为两种情况讨论，利用待定系数法求出直线方程.
【详解】当截距均为时，设直线方程为，则，解得，
所以所求直线方程为，即；
当截距均不为时，设直线方程为，则，解得，
所以所求直线方程为，即；
综上可得所求直线方程为或.
故选：BC
10．ABC
分别可根据椭圆定义及圆锥曲线第二定义可判断AD；建立平面直角坐标系求出动点轨迹方程可判断BC.
【详解】对于A，由为大于0的常数，设，
若，则P的轨迹是椭圆，当时，P的轨迹不是椭圆；
故此时点的轨迹不能判定是椭圆；
对于BC，以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，则定点，，动点，
由题意直线的斜率之积为小于的常数，设此常数为，
则，
所以有，
化简得，由，
方程可化为，
当时，轨迹表示椭圆；
当时，轨迹表示圆；
故B项动点的轨迹不能判定是椭圆；
若直线，的斜率的商为大于1的常数，设此常数为，
则，
化简得，，表示一条垂直于轴的直线（除去与轴的交点），
故C项动点的轨迹不能判定是椭圆；
对于D， 由，为常数，设常数为，且，
根据圆锥曲线的第二定义可知，
平面内到一个定点和一条定直线（）的距离之比为常数（）的点的轨迹是椭圆，
故D项动点的轨迹可以判定为椭圆.
故选：ABC.
11．BCD
将条件转化为向量的模和数量积，通过数量积的运算律和求模公式判断A；根据勾股定理判断三角形形状进而计算面积判断B；取线段的中点，计算，得出点的轨迹即可计算长度判断C；将题给条件转化为点到直线的距离的2倍，即可判断.
【详解】由题可知，，，
由，，可知点A、点B分别在以原点为圆心，半径为1、2的圆上，
且，，
又，则，
则，故A错误；
则，则△OAB为直角三角形，其面积为，B正确；

取线段的中点，
则,
则线段AB中点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，
所以轨迹长度为，故C正确；
可化为，
而为点A，B到直线的距离的和，
可转化为点到直线的距离的2倍，
又到直线的距离为，
则点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为，
的最大值为，故D正确.
故选：BCD
12．/0.5
根据平行线之间的距离公式即可得到答案.
【详解】：，：，
则与之间的距离为.
故答案为：.
13．或2
根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律，结合异面直线夹角的意义求解.
【详解】依题意，，而，，
由AB，CD所在直线所成角为60°，得或，
所以
，
当时，；当时，.
故答案为：或2
14．
设，点P是平面FAB内一点，则，点P是平面DBC内一点，则，点P是平面EAC内一点，则，即 ，解出即可求解.
【详解】设，
因为，，，
点P是平面FAB内一点，则，且，
点P是平面DBC内一点，则，且，
点P是平面EAC内一点，则，且，
联立，解得，所以.
故答案为: .
15．(1)
(2)
（1）先求出线段中点的坐标，然后求出中线的斜率，进而可求得中线的一般方程.
（2）先求出边BC的斜率，然后根据垂直关系求出其上的高的斜率，从而可求出高线所在直线的斜截式方程.
【详解】（1）BC的中点坐标为，即；
所以中线的斜率为，
则边BC上的中线所在直线的方程为，
即一般式方程为.
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为，
即斜截式方程为.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）方法一：因为得,转化为，同样得，最终可得到，即证.
方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点,
连接并延长交于点，只用证面，利用线面垂直的性质可得.
（2）设，表示出对棱中点连接所成的向量，利用数量积的计算性质结合（1）中的结论求解.
【详解】（1）方法一：因为得，
又，所以
即，
同理由得，
所以
即，得.
方法二：过点作面BCD，垂足为，连接并延长交于点,
连接并延长交于点，
因为面，面，∴
又∵，且，面
则面，又面，
∴，即是一条高线
同理可证也是一条高线.
又，则点是的垂心，∴
又，，平面，所以面，
又面，得
（2）不妨设分别为棱的中点.
设，
则，
，
，
则，类似的可证明其余对棱中点连线距离相等.
17．(1)
(2)1
（1）根据椭圆的定义和离心率可求得，进而可得到椭圆方程.
（2）方法一：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式（）即可求出面积的最大值；方法二：设直线方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理和三角形面积表达式()即可求出面积的最大值.
【详解】（1）由椭圆的定义可得，则，
因为，∴，则，
因此，椭圆C的标准方程为.
（2）由题意知直线l斜率显然不为0，故设为，点、，
联立可得，
，得，
由韦达定理可得，，
法一：由弦长公式可得，
又点O到直线的距离为，
因此，，
设（），，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，面积的最大值为1.
法二：
设（），
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，的最大面积为1.

18．(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
（1）根据线面垂直推导出面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果.
（3）建立空间直角坐标系，用向量的方法求出直线MN与直线BC，PC，PD所成角并使其相等.
【详解】（1）矩形沿对角线将折起后，，，
又∵，
在中，，得
又∵，，面，面
所以面
又∵面，∴
矩形中，，
又，面，面，
∴平面，
又∵面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面平面，
则可过点P作平面的垂线交BC于点O，
得面，且，，.
分别以OP、BC所在直线为z轴，y轴，以过点O且与CD平行的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，，可取；
因为平面，
所以可取平面的一个法向量为
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）可知点，，，，

可得，，，
设，（，）
则，，
若直线MN与直线BC，PC，PD所成角相等，
则
即
整理得，
解得，，此时N不在内，
故不存在符合条件的N.
19．(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）根据椭圆性质，设椭圆E：（）的焦点为，，
其中.因为，
所以在：中，
所以为焦点在x轴的椭圆，又，
所以曲线为有公共焦点的椭圆.
（2）设点，曲线过点P要满足，
整理得①
记，
若存在两个不同的k使曲线过点P，需满足①式有两个小于的不同解，
设①式有的两根为，，则，
因为点P在椭圆E外，所以，，
得
又
故和不会同时成立.
又，故不存在两个不同的k使曲线过点P，只存在一个满足条件的P.
（3）当点在坐标轴上时，明显点G始终在一条定直线上.
当点不在坐标轴上时，可设点，，
可知①，且②
①－②得，，
因为线段MN的中点为G，可设，则，
即，
又过M，N的直线方程为，所以
综上.
可知点与原点连线斜率为定值.