2026保定十校高二上学期期中考试数学含解析

这是一份2026保定十校高二上学期期中考试数学含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列直线中，倾斜角为的是（ ）
A．B．C．D．
2．若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ）
A．B．C．D．10
3．设空间向量，则（ ）
A．6B．9C．-6D．-9
4．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外离D．外切
5．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ）
A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆
C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆
6．若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．2B．C．1D．
7．在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为0
B．的最大值为
C．若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为
D．若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为
三、填空题
12．两条平行直线之间的距离为 .
13．若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是 ，的离心率的取值范围是 .
14．在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 .
四、解答题
15．（1）分别求直线在轴、轴上的截距；
（2）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角.
16．在四棱锥中，底面.
(1)证明：平面CDE.
(2)设.
（i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；
（ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于.
17．已知点为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线.
(1)求的标准方程.
(2)若直线与交于两点，求的最大值.
18．已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且.
(1)求的方程.
(2)设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为.
（i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率.
（ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
19．已知P，Q是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点.
(1)若点在上，求的渐近线方程.
(2)当O，P，Q，A四点共线时，，点.
（i）求的方程；
（ii）若B，P，Q三点共线，P，Q两点均不在轴上，M，N分别为的左、右顶点，直线PM与QN交于点，证明：动点在一条定直线上.
1．C
由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可.
【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
所以这四条直线中，倾斜角为的是.
故选：C
2．B
根据双曲线的定义进行求解即可.
【详解】设双曲线的实半轴长为，则，
所以到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.
故选：B.
3．B
根据向量平行，列等式求解即可.
【详解】因为，所以，解得
故选：B.
4．D
写出两圆圆心和半径，由圆心距与半径和（差）的关系即可得到两圆的位置关系.
【详解】圆，圆的圆心分别为，则.
圆，圆的半径分别为，则，则这两个圆的位置关系是外切.
故选：D.
5．C
设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆.
【详解】设，则，
所以.
因为，所以
代入，得，即，
则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆.
故选：C.
6．A
先根据双曲线的焦距求出，然后设，将其代入双曲线方程得到等式，根据中点坐标进而可求出直线的斜率.
【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得.
设，则，则，
因为点是线段的中点，
，所以，
所以.
故选：A.
7．A
先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可.
【详解】取的中点的中点，连接.
因为，所以，且.
以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，.
设平面的法向量为，则，
令，得，所以点到平面的距离为.
故选：A.
8．B
设球的半径为，则知道椭圆的短轴长，过椭圆的长轴作的垂面得到截面图，由平面几何求得椭圆的长轴长，从而解得椭圆的离心率.
【详解】设球的半径为，则椭圆的短轴长，即.
过椭圆的长轴作的垂面，得到如图所示的截面图，
其中DE是椭圆的长轴，，AD，BE是光线，
A，B是光线与球面的切点，则，
椭圆的长轴长，即.
故椭圆的离心率.

故选：B.
9．AB
根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D．
【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点，
所以，A正确，C错误.
因为，且，，
所以，B正确.
，D错误.
故选：AB．
10．BCD
先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
依题意得，即，
解得，.
故选：BCD
11．ABD
根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项
【详解】由题意知，设，则，
对于A，，
则，
当时，取最大值，所以的最大值为正确.
对于B，，
所以，当时，取最大值，
所以的最大值为，B正确；
对于C、D，设，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确.
故选：ABD
12．
利用两平行线间的距离公式求解.
【详解】
之间的距离，
即直线之间的距离为.
故答案为：.
13．
由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围.
【详解】由，得，则，所以.
因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则，
即，，所以的实轴长的取值范围为.
且，所以.
故答案为：；.
14．6
建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解.
【详解】
以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，
则，，
，，
即，，
当时，，此时为棱的中点；
当时，，此时为棱的中点，
设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN，
，点的轨迹长度为6.
故答案为：.
15．（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3）
（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可；
（2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解；
（3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补， 即可求解
【详解】解：（1）（方法一）由，得，
所以直线在轴、轴上的截距分别为.
（方法二）令，得，
令，得，
所以直线在轴、轴上的截距分别为.
（2）（方法一）依题意设所求直线方程为，
将点的坐标代入得，
解得，
所以所求直线的方程为.
（方法二）因为直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为2，
所以所求直线的方程为，
即（或）.
（3）（方法一）因为直线的倾斜角为，
所以，
又直线的斜率为，
所以，
所以直线的倾斜角为.
（方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
所以这两条直线的倾斜角互补，
所以直线的倾斜角为.
16．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可.
（2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；
（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小.
【详解】（1）证明：因为平面平面CDE，
所以平面CDE.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,
则.
设平面BCE的法向量为，则，
令，得.
（i）设直线AD与平面BCE所成角为 ，
因为，所以，
所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.
（ii）证明：设平面CDE的法向量为，
则,令，得.
设平面CDE与平面BCE的夹角为，
由，
所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 .
17．(1)
(2)
（1）设，根据题意，结合两点间距离公式，化简计算，即可得答案.
（2）根据（1）可得圆心为，半径为2，可得圆心C到直线距离d的表达式，代入弦长公式，根据k的范围，即可求得答案.
【详解】（1）设，因为，所以，
则，即.
所以的标准方程为.
（2）由（1）知，曲线为一个圆，且圆心为，半径为2，
因为圆心到直线的距离，
所以，
又，所以，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
18．(1)
(2)（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
则， \
则，又因为椭圆C的右顶点为，故，
所以，所以的方程为.
（2）设，将代入，
得，
则恒成立，
.
（i）若，则有，解得或.
依题意得，则，
因为点关于轴的对称点为，所以，
则.
（ii）当时，重合，与条件矛盾，
直线AD的方程为，
假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上，
令，得

，
所以直线AD过定点，且定点的坐标为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）解：因为点在上，所以.
又，所以.
故的渐近线方程为.
（2）（i）

解：直线OA的方程为.
由得.
因为，所以，
所以，
解得，故的方程为.
（ii）

证明：因为P，Q两点均不在轴上，所以直线PQ的斜率不为0，则可设直线PQ的方程为.
由得，
则，，
设，则.
直线，直线，
由
得 ， 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
C
A
A
B
AB
BCD
题号
11









答案
ABD