福建省部分高中学校2026届高考适应性练习（一模）数学试卷含解析（word版）

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1. 已知集合 A={1,3,5,7},B={a+b∣a∈A,b∈A} ，则 A∩B=
A. {1,3} B. {3,7} C. {1,3,5,7} D. ⌀
2. 若复数 z 满足 z2=3+i ,则 1+iz=
A. 2 B. 3 C. 22 D. 2
3. 设函数 fx=x2 ,xmaxa2,b2 B. a2b2>0
C. max{a,b}min{a,b}≠0 D. min{a,b}2>0
10. 设 a,b∈Z ,且 4b>5a>5 . 若随机变量 X,Y 满足 X∼Na,b2,Y∼Bb,ab ,则 (已知若随机变量 Z∼Nμ,σ2 ,则 PZa−b>PY=b
11. 已知函数 fx=Asinωx+ϕ ( A>0,ω>0,ϕf2e
D. xn=2n−2−13−1n
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知圆 x2+y2−2x+ay=0 被 y 轴分成长度比为 2:1 的两段圆弧,则 a= _____.
13. 若实数 λ 使得命题:“ ∃c∈R ，使得 ∀a,b∈R ，均有 λa2+b2−2ab+2b+c≠0 ”是假命题， 则 λ 的取值范围是_____.
14. 已知在四棱锥 P−ABCD 中， PA=PB=PC=PD ， tan∠BAD=tan∠PBC=tan∠PAD=455 ， 若 BD=105 ，则四棱锥 P−ABCD 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
15. (13 分)
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 3asinB+bcsA=c .
(1)求 tanB ；
(2)点 D 在直线 BC 上，且 AD⊥AB . 若 sin∠CAD=csA2,a=6 ，求 CD .
16. (15 分)
在统计一些敏感性问题的回答时, 往往很难得到受调查者的诚实性答复. 为了解决这一问题, 我们往往需要适当地采用一些统计学方法, 下面的例子给出了一个有效的手段.某地卫生部门派遣调查组前往当地某校问询校内学生的吸烟情况，很明显，如果直接询问这样的问题很难得到学生的诚实回答. 为此, 调查组成员想到了一个统计方法, 首先设计了如下的调查问卷形式:
而后, 准备好一个不透明盒子, 其中放入足够多质量、大小、质地相同的小球, 且其中红白两色小球各占一半, 在受调查学校高一、高二、高三三个年段采用分层随机抽样的方式抽取共 200 名学生作为样本. 让参与调查的学生轮流抽取盒子里的一个球, 如果抽到了红色球, 则需要回答问题甲；如果抽到了白色球，则需要回答问题乙. 抽球和回答问卷时不安排人员监督， 提交问卷时，只需上交其答案，而不需要透露其回答的问题内容. 依据此方法，调查过程中共拿到了 54 张填涂 “是” 的答卷.
(1)请说明此调查方式的合理性，并估计该校吸烟学生在总人数中所占的百分比；
(2)为了更精确地了解该校学生的吸烟状况，调查组经商议决定让全校共 6000 名学生参与此次问卷调查. 调查过程中共拿到了 1836 张填涂 “是” 的答卷，且其中有 720 张答卷来自女生. 已知该校男女比例为1:1, 请估计该校吸烟学生中男、女生的人数, 并据此判断能否有 99.9% 的把握认为吸烟行为和性别相关联.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,Pχ2≥xαxα ,306×2694=824364

17. (15 分)
如图,在圆锥 S−O 中, AB 为底面圆的直径,点 C 为 AB⏜ 的中点,点 D 在劣弧 AC⏜ 上,线段 BD,OC 交于点 E ,且 OE=DE .
(1)证明: SD⊥AE ；
(2)若 ∠OSD=2∠CBD ，求直线 SC 和平面 SDB 所成角的正弦值.
18. (17 分)
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 和圆 O:x2+y2=r2 ,当椭圆 E 与圆 O 恰好只有两个交点时, r=2 或 4 .
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)当 r=1 时,设直线 l:y=kx+1 与圆 O 交于 P,Q 两点,与椭圆 E 交于 A,B 两点,且点 Q 不在 y 轴上.
(i) 若 Q 为 AB 中点,求 k ;
(ii) 求 OA+OB⋅OQ 的最大值.
19. (17 分)
已知函数 fx=ax−1 . ( a>0 且 a≠1 )
(1)若 a=e ，证明: fx≥x ；
(2)若对任意实数 x ，均有 fx≥2x+sin2x .
(i) 求 a ;
(ii) 设正整数 n≥2 ,证明:
1−csln23+1−csln34+⋯+1−cslnnn+1