2026东北三省一区点石联考高三上学期12月联合考试数学（A）含解析

这是一份2026东北三省一区点石联考高三上学期12月联合考试数学（A）含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题
1．椭圆的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
2．已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．-1B．C．1D．
3．记集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（ ）．
A．B．C．2D．4
5．若圆与直线相切，则圆的面积为（ ）．
A．B．C．D．
6．设正数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．-1D．
8．对于正数、，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知椭圆，则（ ）
A．椭圆的长轴长为B．当时，椭圆的焦点在轴上
C．椭圆的焦距可能为6D．椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值
10．记等差数列的公差为d，已知，，成等比数列，则（ ）．
A．B．
C．D．
11．如图，在四面体中，为的中点，则（ ）

A．平面平面
B．点到平面的距离为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．点到直线的距离为
三、填空题
12．设，则 ．
13．大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律：，其中是在经过单次训练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，A，B，是常数，已知，，，则A的最小值为 ．
14．已知数列的通项为，数列的前项积，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 ．
四、解答题
15．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若为的导函数，求的极值．
16．设的内角、、所对的边分别为、、，已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点．
(1)证明：．
(2)点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为．
（ⅰ）求线段BF的长；
（ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离．
18．已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，．
(1)求E的方程；
(2)过点A作的垂线，垂足为M．
（ⅰ）证明：直线过定点N；
（ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值．
19．设为正整数，已知首项为2的正项数列满足．
(1)若，求的值；
(2)证明：与为常数列或等比数列；
(3)记的前项积为．若时，，求的通项公式．
参考答案
1．D
【详解】椭圆方程可化为，长半轴，半焦距，
于是离心率．
故选：D．
2．C
【详解】因为向量，
则向量在向量上的投影向量为：，
故有，解得.
故选：C.
3．A
【详解】由可得，可得，
由可得，即，
得，解得，
于是，，故．
故选：A．
4．C
【详解】．
故选：C．
5．D
【详解】由题意可知圆的方程为，
其圆心为，半径为，
故圆心到直线的距离，显然，
所以，解得，于是圆的面积．
故选：D．
6．B
【详解】因为，
当且仅当时，即当，时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B．
7．D
【详解】函数.
令，则，则.
故选：D.
8．B
【详解】由可得，
即，
构造函数，
因为函数、、在上为增函数，
故函数在上为增函数，
由可得，所以，即．
故选：B．
9．BD
【详解】对于A，若，解得，
即时，方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，长轴长为，故A错误；
对于B，当时，椭圆方程为表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
由A知，由可知方程表示焦点在轴上的椭圆，
此时，所以，
由，解得，不符合，故舍去，
若，可得，椭圆方程为表示焦点在轴上的椭圆，
，所以，
由，解得，不符合，故舍去，
故不存在焦距为6的椭圆，故C错误；
由，
故椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值，故D正确.
故选：BD.
10．ABD
【详解】对于A，由等比数列性质可知，于是，故A正确；
对于B，，显然，于是，而，故，
于是，故，故B正确；
对于C，时，，故C错误；
对于D，
，故D正确．
故选：ABD
11．AC
【详解】设的中点为O，连接.因，所以.
又因，所以O为直角三角的外心，且，
所以，，得.
因，， ，平面，
所以平面，平面，所以平面平面，故A正确；
故以所在直线为轴，以过B点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：

则，，.
设平面的法向量，，
由，得，令，，.
与同方向的单位法向量，
所以在单位法向量上的投影向量的模，
得点到平面的距离为，故B错误；
再由，直线与平面所成角的正弦值为
，所以C正确；
再由，取与同向的单位向量，
所以点到直线的距离为，故D错误；
故选：AC.
12．
【详解】由题意可知，
则．
故答案为：．
13．2
【详解】由条件可知，得到，
设，则，
由其有解可得，解得，
当时，，，，有解．
于是A的最小值为2．
故答案为：2．
14．22
【详解】由数列的前项积为，即，
当时，可得；
当时，可得，
其中满足上式，所以数列的通项公式为.
数列前几项：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
数列前几项：2，4，8，16，32，
将数列和中的项按从小到大排列，得到新数列，
可得数列的前几项为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，17，19，21，23，25，27，29，31，32，33，35，37，…
其中数列的项在数列中，分别为第2，4，7，12，21，…项，
当时，，，不满足；
当时，，，不满足；
当时，，，不满足；
……
当时，，，不满足；
当时，，，此时满足，符合题意，
所以使得成立的n的最小值为22．
故答案为：22．
15．(1)
(2)在处取极小值0，无极大值
【详解】（1）因为，
所以，，
故切线方程为；
（2）令
求导得，
因为时，，所以在上单调递增，
因为时，，所以在上单调递减，
故，故在处取极小值0，无极大值．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得，
又，所以，
则，所以，
由正弦定理，得．
（2）由正弦定理及，得，所以，
由（1）知，
又，即，，所以，．
因为，，
所以，，为直角三角形，则，
所以，，．
所以的面积．
17．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）因为底面ABCD，且底面ABCD，所以．
因为底面ABCD为正方形，所以，
又因为，且PA，平面PAB，所以平面PAB，
因为平面PAB，所以．
（2）如图，以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则，，，，，．
（ⅰ）设，则，．
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线AF与平面PAB所成的角为θ，则，解得，
即．
（ⅱ），，设平面AEF的法向量为，
则 取，
又，所以点M到平面AEF的距离为．
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而，
故，于是E的方程为．
（2）
（ⅰ）不妨设，，
设，联立，
有，可得，，
即，
易知，直线MB的斜率为，
故直线MB的方程可表示为，
当时，显然，
故
，
所以直线过定点．
而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点．
综上，直线MB过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）可得，所以，
则，
所以有，即是定值．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由可得，，
当时，，即，解得，
令，则．
（2）对两侧同时取以为底的对数有，
①则，即．
当时，，此时是恒为0的常数列；
当时，是以为首项，为公比的等比数列；
②也可化为．
当时，，此时是恒为0的常数列；
当时，是以为首项，为公比的等比数列．
综上，与为常数列或等比数列．
（3）由（2）可得是以为首项，为公比的等比数列，
则有；
且是以为首项，为公比的等比数列，
则有．
两式相减得，
则，
由时，，则，
即恒成立，
又当增大时，会震荡变化且绝对值增大，即会震荡变化，若使上式恒成立，需满足，所以.
当时，是以为首项，为公比的等比数列，为常数列，此时，满足条件.
将代入得