云南师范大学附属中学2026届高三上学期适应性月考(六)数学试卷含解析

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1. 已知复数 z=1+i ，其共轭复数为 z ，则 zz=
A. 2 B. 2C. 2i D. 2i
2. 已知平面向量 a=n,1,b=1,2 ,若 a 在 b 上的投影向量为 0,则 n 的值为
A. 1 B. 2C. -1 D. -2
3. 已知集合 A=x∣2x≥4,B=x∣x−12≥1 ，则 “ x∈A ” 是 “ x∈B ” 的
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知二项式 x−2xn 的展开式中,二项式系数的和为 64,则二项式系数最大的项是
A. 第 3 项 B. 第 3、4 项
C. 第 4 项 D. 第 4、5 项
5. 在 △ABC 中, sinA:sinB:sinC=3:4:5 ,且 S△ABC=24 ,则 △ABC 的最小边长为
A. 3 B. 6C. 9 D. 12
6. 已知函数 fx=x3−3ax+2x∈R ，若函数 fx 至少存在 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为
A. [1,+∞) B. 1,+∞
C. [2,+∞) D. 2,+∞
7. 已知 a>0,b>0,a+b=2ab ,下列选项错误的是
A. a>12 且 b>12 B. ab≥1
C. ba+12b>1 D. a+2b≥3
8. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 f0=−1 ,对任意 x,y∈R ,有 fxy−1=fxfy+ fy+x−2 ,则 i=120251fi+1fi+2=
A. 20252026 B. 1C. 20254054 D. 10132027
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9. 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F ，点 Px0,y0 在抛物线 C 上，则
A. 抛物线 C 的准线方程为 x=−2
B. F 的坐标为 4,0
C. 若 y0=4 ，则 PF=4
D. PF≥4
10. 已知有 25 个互不相同的样本数据, 从中去掉数值最大的 2 个数据和数值最小的数据，设剩下的 22 个数据的方差为 s12 ，平均数为 x−1 ；去掉的 3 个数据的方差平均数为 x2 ; 原样本数据的方差为 s2 ,平均数为 x ,若 x−1=x−2 ,则
A. 剩下的 22 个数据的中位数与原样本数据的中位数相同
B. 剩下的 22 个数据的 30% 分位数与原样本数据的 30% 分位数相同
C. x≠x1
D. 25s2=22s12+3s22
11. 声音由物体振动产生的声波形成，每个音可由纯音合成，纯音数学模型为函数y=Asinωx . 音的四要素与函数参数有关,如音调与频率相关,频率低声音低沉,频率高声音尖利,日常听到的是复合音,其函数为 y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯ ,结合材料及所学知识, 判断下列说法正确的是
A. 函数 fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+150sin50x 的图象不具有对称性
B. 函数 fx=sinx+12sin2x+13sin3x 在区间 −π12,π12 上单调递增
C. 若声音甲对应的函数近似为 gx=sinx+12sin2x ,则声音里比纯音 hx=13sin4x 更低沉
D. 记 f1x=sinx,f2x=sinx+12sin2x,Fx=f1x+f2x+π2 ,则 Fx≥−12−2
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12.已知离散型随机变量 X 的分布列为:
则 EX= _____.
13.若椭圆 x28+y26=1 的弦 AB 恰好被点 M1，1 平分，则 AB 所在的直线方程为_____.
14.已知四面体 ABCD 的外接球球心为 O ,半径为 4,AB=8,CD=4,∠AOC=θ∈π4,3π4 ,每给定一个 θ 的值,都把此时四面体 ABCD 体积的最大值记为 Vθ ,则Vθ的最小值为_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15.（本小题满分 13 分)
已知在数列 an 中, a1=1,a2=65 . 当 n≥2 且 n∈N∗ 时, 5an+1=6an−an−1 .
（1）求证: an+1−an 为等比数列;
（2）求数列 an 的通项公式.
16. (本小题满分 15 分)
如图，正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=42,A1B1=22 ，侧棱与面 ABCD 的夹角为 π4,E,F 分别为 AB,BC 的中点.
(1)证明: A1C// 平面 B1EF ；
(2)求二面角 C1−EF−B1 的大小.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 fx=32x2+alnx−3a+1x .
(1)若 a=0 ，证明: fx≥12+lnx 在 [1,+∞) 上恒成立；
(2)讨论函数 fx 的单调性.
18. (本小题满分 17 分)
甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动,该竞答活动会逐一给出 n 道不同的题目供参赛者回答, 每道题目的回答只有正确或错误两种情况, 各道题目回答情况不会相互影响.
(1)如果参赛者须回答 5 道问题，当连续答对 4 道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目,均有 13 的概率答对,求甲赢得挑战的概率;
(2)若乙同学对于即将给出的备道题目，均有 23 的概率答对. 记 Pn 为乙同学回答 nn∈N∗ 道题目后,没有出现连续答对至少 4 道题目这一情形的概率.
(i) 求 P4,P6 ;
(ii) 证明: P100≤P99 .
19. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率 e=102,F1,F2 分别为 C 的左、右焦点， A ， B 分别为 C 的左、右顶点.
(1)若点 A 的坐标为 −2,0 ，求此时 C 的方程；
(2)过点 F2 的直线 l 交双曲线的右支于 M,N 两点，其中 M 点在 x 轴上方， m,n 分别为 M,N 两点处的切线,分别过点 M,N 作 m,n 的垂线 s,t,P,Q 两点分别为点 F2 关于直线 s,t 的对称点.
(i) 证明: 切线 m 平分 ∠F1MF2 ;
(ii) 若直线 PM⊥MN ，且 sin∠MNQ=35 ，直线 l 与双曲线的两条渐近线分别在第一、 四象限交于 G,H 两点,点 I 为线段 GH 的中点,问: IF2AB 是否为定值?
附:双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上任一点 x0,y0 处的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1 .
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求)
【解析】
1. 已知 z=1+i ,则 z=1−i ,故 zz=1+i1−i=1−−1=2 ,故选B.
2. 由题可知 a⊥b ,故 a⋅b=0 ,即 n+2=0 ,故 n=−2 ,故选 D.
3. 令 2x≥4 ,解得 x≥2 ,因为 x−12≥1 ,故 x−1≥1 或 x−1≤−1 ,解得 x≥2 或 x≤0 ,得到 A=[2,+∞),B=−∞,0]∪[2,+∞ ,即 x∈A 可以推出 x∈B ,而 x∈B 推不出 x∈A ,得到 “ x∈A ” 是 “ x∈B ” 的充分不必要条件,故选C.
4. 因为 x−2xn 的展开式中,二项式系数的和为 64,故 2n=64 ,即 n=6 ,该二项式的展开式共 7 项，所以二项式系数最大的项为第 4 项，故选C.
5. 由 sinA:sinB:sinC=3:4:5 以及正弦定理可得 a:b:c=3:4:5 ,故 C=π2 , a=3k,b=4k,c=5k,k>0 ,又 S△ABC=12ab=12k22=24 ,解得 k=2,−2 (舍),又因为最小的边长为 a ,故 a=3k=6 ,故选B.
6. fx=x3−3ax+2 ,则 f′x=3x2−3a ,若 fx 存在至少 2 个零点,由函数单调性可知, fx 要同时存在极大值和极小值,故 a>0 ,当 a>0 时,结合 f′x 可知: fx 的极大值为 f−a ,极小值为 fa ,若 fx 要存在至少 2 个零点,则 f−a≥0,fa≤0, 即 2+2a32≥0,2−2a32≤0,解得a≥1,故选A.
7. 由 a>0,b>0,a+b=2ab 可得 12a+12b=1 ,所以 12a12 ,同理可得 12b12 ,故 A 正确; 因为 a>0,b>0 ,故 2ab=a+b≥2ab ,当且仅当 a=b=1 时,等号成立,所以 ab≥ab ,即 ab≥1,ab≥1 ,故 B 正确; 由 A 可知: a>12,b>12 ,可得 ba>12a ,不等式两边同时加上 12b ,可得 ba+12b>12a+12b ,又 12a+12b=1 ,所以 ba+12b>1 ,故 C 正确; 由 12a+12b=1 可得 a+2b=a+2b12a+12b=32+a2b+ba ≥32+2a2b⋅ba=32+2 ,当且仅当 a2b=ba 时,即 a=1+22,b=2+24 时等号成立,所以 a+2b≥32+2 ,故 D 错误,故选 D .
8. 在 fxy−1=fxfy+fy+x−2 中,令 x=0 ,得 f−1=f0⋅fy+fy−2 ,且 f0=−1 ,故 f−1=−2 ; 令 y=0 ,得 f−1=fx⋅f0+f0+x−2 ,所以 fx=x−1 . 所以 1fx+1fx+2=1xx+1=1x−1x+1 ,所以 i=120251fi+1fi+2= 1−12+12−13+⋯+12025−12026=1−12026=20252026 ,故选A.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
【解析】
9. 对于抛物线 y2=2pxp>0 ,由题中方程知 p=4 ,故准线方程为 x=−p2=−2 ,故选项 A 正确; 焦点坐标为 2,0 ,故选项 B 错误; 若 y0=4 ,则 x0=2 ,且 PF=x0+p2 ,故 PF=4 ,故选项 C 正确; 因为 PF=x0+p2=x0+2 ,点 P 在抛物线 C 上,故 x0≥0 , 故 PF≥2 ,故选项 D 错误,故选 AC .
10. 把原样本 25 个数据从小到大排列,记为: x1,x2,x3,⋯,x25 ,中位数是 x13 ; 去掉最大的 2 个和最小的 1 个数据后,剩下 22 个数据: x2,x3,⋯,x23 ,此时数据个数为偶数,中位数是 x12 和 x13 的平均数,而这组数互不相同,所以剩下的 22 个样本数据的中位数与原样本数据的中位数不同,故选项 A 错误; 25×30%=7.5 ,原样本数据的 30% 分位数是 x8 ; 22×30%=6.6 ,剩下 22 个数据的 30% 分位数是第 7 个数据,即 x8 ,故选项 B 正确; 由题可知: x=2222+3x1+322+3x2 ,因为 x1=x2 ,故 x=x1=x2 ,故选项 C 错误; s2=2222+3s12+x1−x2+322+3s22+x2−x2 ,而 x=x1=x2 ,故 25s2=22s12+3s22 ,故选项 D 正确, 故选 BD.
11. f−x=sin−x+12sin−2x+13sin−3x+14sin−4x+⋯+150sin−50x=−sinx−12sin2x −13sin3x−14sin4x−⋯−150sin50x=−fx ,故 fx 为 R 上的奇函数,图象关于原点对称,故选项 A 错误; 当 x∈−π12,π12 时, 2x∈−π6,π6,3x∈−π4,π4 ,故 y=sinx , y=12sin2x,y=13sin3x ,在 −π12,π12 上都是增函数,则 fx 在 −π12,π12 上单调递增,选项 B 正确; 因为 y=sinx 的最小正周期为 2π,y=12sin2x 的最小正周期为 π , 所以 gx 的最小正周期为 2π ,其频率 f1=1T=12πHz ,纯音 hx 的最小正周期为 2π4 , 其频率 f2=1T=2πHz ,声音甲的频率更低,故声音甲比纯音 hx 低沉,选项 C 正确; Fx=sinx+sinx+π2+12sin2x+π=sinx+csx−12sin2x ,令 sinx+csx=t , t∈−2,2 ,平方可得: 1+sin2x=t2 ,代入上式得 y=t−12t2−1=−12t2+t+12 , t∈−2,2 ,由二次函数知识, y∈−12−2,1 ,故选项 D 正确,故选 BCD.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
【解析】
12. 由分布列性质,得 0.2+0.3+a+0.3=1 ,解得 a=0.2 ,故 EX=1×0.2+2×0.3+3×0.2+ 4×0.3=2.6 .
13. 由题意,直线 AB 的斜率存在,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x1+x2=2,y1+y2=2 ,因为点 A,B 在椭圆上,所以 x128+y126=1,x228+y226=1 ,两式相减得, x12−x228=−y12−y226 ,即 x1+x2x1−x24=−y1+y2y1−y23 ,整理得 y1−y2x1−x2=−34×x1+x2y1+y2 ,即 y1−y2x1−x2=−34 ,所以直线 AB 的斜率为 −34 ,则直线 AB 的方程为 y−1=−34x−1 ,即 3x+4y−7=0 .
14. 由题可知,球心 O 为 AB 的中点,对于给定的 θ,S△ABC=AB⋅OCsinθ2=16sinθ ,记点 D 到平面 ABC 的距离为 h ,则 Vθ=13S△ABChmax ,当面 DOC⊥ 面 ABC 时, h 取最大值,故 hmax=23 ,故 Vθ=1316sinθ×23=323sinθ3 ,而 θ∈π4,3π4 ,故 Vθmin=3233×22=1663.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
(1)证明:数列 an 中， a1=1,a2=65 ，
当 n≥2 时， 5an+1=6an−an−1 ，
即 5an+1−5an=an−an−1 ,
即 an+1−an=15an−an−1 ,且 a2−a1=15 ,
所以 an+1−an 是以 a2−a1=15 为首项,以 15 为公比的等比数列. (6 分)
(2)解:由(1)知 an+1−an=15⋅15n−1=15nn∈N∗ ，
故当 n≥2 时， an−an−1=15n−1,an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1 ,
故 an=15n−1+15n−2+⋯+151+1 ,故 an=54−14⋅15n−1n≥2 ,
对于 n=1,an=54−14⋅150=1 ,所以 an=54−14⋅15n−1n∈N∗ . (13 分)
图 1
16. (本小题满分 15 分)
(1)证明:如图 1，连接 A1B ，交 B1E 于点 G ，
因为 A1B1//AB ,所以 △A1B1G 与 △BEG 相似,
且 A1B1=BE ,
故 △A1B1G≃△BEG ,故 A1G=BG ,且 BF=FC ,故 A1C//GF ,
而 GF⊂ 平面 B1FE,A1C⊄ 平面 B1EF ,故 A1C// 平面 B1EF . (7 分)
(2)解:延长 AA1,BB1,CC1,DD1 交于点 P ，则 P−ABCD 为正四棱锥，
图 2
连接 AC , BD 交于点 O ,则 AC⊥BD ,且 PO⊥ 平面 ABCD ,
故以 AC,BD,PO 所在直线为坐标轴,建立如图 2 所示空间直角坐标系,
点 H 为点 D1 在平面 ABCD 内的投影点,结合已知以及正四棱台的几何性质知 DH=D1H=2 ；
故 B12,0,2,E2,2,0,F2,−2,0,C10,−2,2 ,
n1,n2 分别为平面 B1EF 与平面 C1EF 的法向量,
则 n1⋅EF=0,n1⋅EB1=0,可取n1=1,0,0,n2⋅EF=0,n2⋅EC1=0, 可取 n2=1,0,1 ,
记 θ 为二面角 C1−EF−B1 的平面角, α 为 n1,n2 的夹角,由图可知 θ 为锐角,
故 csθ=csα=n1⋅n2n1⋅n2=22 ,故 θ=π4 . (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
(1)证明:若 a=0 ，则 fx=32x2−x ，欲证 fx≥12+lnx 在 [1,+∞) 上恒成立，
即证明: 32x2−x−12−lnx≥0 在 [1,+∞) 上恒成立,
令 gx=32x2−x−12−lnx ,
则 g′x=3x−1−1x=3x−162−1312x ,
令 hx=3x−162−1312 ,又 x≥1 ,
故 hx≥1 ,则 g′x>0 ,
故 gx 在 [1,+∞) 上单调递增,则 gx≥g1 ,即 gx≥0 ,
故 fx≥12+lnx 在 [1,+∞) 上恒成立.
(7 分)
(2)解: f′x=3x+ax−3a+1=3x2−3a+1x+ax=3x−1x−ax ,
① 若 a≤0 ，则当 x∈0,13 时， f′x0,fx 单调递增;
②若 013 ，则当 x∈0,13 时， f′x>0 ， fx 单调递增，
当 x∈13,a 时, f′x0,fx 单调递增.
综上,当 a≤0,fx 的单调递减区间为 0,13 ,单调递增区间为 13,+∞ ;
当 00,b>0,ca=102,a=2 ，且 c2=a2+b2 ，故 b=3 ， 故此时 C 的方程为 x22−y23=1 . (4 分)
(2)(i)证明:设 Mx0,y0 ，由题可知 M 点处的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1 ，
故直线 m 的斜率为 km=b2x0a2y0 ,且 kMF1=y0x0+c,kMF2=y0x0−c ,
记直线 m 与直线 MF1 的夹角为 α ,记直线 m 与直线 MF2 的夹角为 β ,直线 m 与 x 轴交于点 E ,而 α=∠MEF2−∠MF1E,β=∠MEF1−∠MF2E ,
故 tanα=tan∠MEF2−∠MF1E=km−kMF11+kmkMF1=b2a2+cx0y0a2c+c2x0=b2cy0 ,
tanβ=tan∠MEF1−∠MF2E=−km+kMF21+kmkMF2=b2cx0−a2y0c2x0−a2c=b2cy0 ,则 tanα=tanβ ,
且 α,β∈0,π2 ,故 α=β ,即切线 m 平分 ∠F1MF2 ; (10 分)
图 3
(ii) 解: IF2AB 为定值 12 ; 由 (i) 可推知 F1,M,P 三点共线,且由 (i) 的证明过程可知 N 点处也成立这一性质,即切线 n 平分 ∠F1NF2 ,故可推知 F1,N,Q 三点共线,故 △NMF1 为直角三角形,如图 3, sin∠MNQ=sin∠MNF1=35,
可令 MF1=3tt>0 ,则 NF1=5t,MN=4t ,
由双曲线的定义可得 MF1−MF2+NF1−NF2=4a ,
即 MF1+NF1−MN=4a ,即 3t+5t−4t=4a ,所以 t=a ,
所以 MF1=3a,NF1=5a,MN=4a ,
所以 MF2=MF1−2a=a ,
在直角 △F2MF1 中, tan∠MF2F1=MF1MF2=3 ,
所以直线 MF2 (即直线 l ) 的方程为 y=−3x−c ,
由 MF12+MF22=F1F22 ,得 9a2+a2=4c2 ,
所以 c2=52a2=a2+b2 ,所以 3a2=2b2 ,
所以两条渐近线的方程为 y2=32x2 ,且双曲线 C 的离心率 e=102 ,
由题可知直线 y=−3x−c ,与双曲线 C 的两条渐近线都相交,
联立 y=−3x−cy2=32x2 ,得 5x2−12cx+6c2=0 ,
设 Gx1,y1,Hx2,y2 ,则 x1+x2=12c5,x1x2=6c25 ,
故 y1+y2=−3x1+x2+6c=−6c5 ,所以 I6c5,−3c5 ,
所以 IF2=6c5−c2+−3c5−02=105c ,
所以 IF2AB=1052ac=1010×e=12 ,所以 IF2AB 为定值 12 . (17 分)X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
a
0.3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
B
A
D
A
题号
9
10
11
答案
AC
BD
BCD
题号
12
13
14
答案
2.6
3x+4y−7=0
1663