浙江省余姚中学2025-2026学年高一上学期12月质检数学试卷含解析（word版）

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1. 如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ）

A. B. C. D.
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，，那么，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 设方程的根为，方程的根为，则的值为（ ）
A. 4B. 2C. 0D.
6. 已知定义域为的函数满足，且，则下列说法错误的是（ ）
A. 是周期函数B. 是偶函数
C. D.
7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
8. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期是B. 的图象关于点对称
C. 的图象过点D. 的图象的对称轴是，
10. 若函数满足：对任意，，有，则称函数具有严格次可加性，下列结论正确的是（ ）
A. ，具有严格次可加性
B. ，具有严格次可加性
C. ，具有严格次可加性
D 若函数具有严格次可加性，那么，
11. 已知定义域为的函数在区间内恰有一个零点，下列结论正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则或
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的值域是_____.
13. 国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己的房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过15天后，气球体积变为原来的，则至少经过__________天后，气球体积不超过原来的（，结果保留整数）.
14. 若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：.
（2）已知，求的值.
16. 设全集，集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
17. 近期某高中将迎来建校100周年庆祝活动，为了迎接即将到来的校友们，学校计划对原有的校友活动中心进行改造，如图所示，原校友活动中心是以为半径的扇形区域，旁边是一个矩形花园，可利用部分是扇形区域和花园周边.其中，点在上，，，米，米，米.
（1）现将花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在射线上，在射线上，且对角线过点，求矩形花园的面积的最小值；
（2）在可利用区域中，设置一块矩形作为休息室，求休息室面积的最大值.
18. 已知函数（，是实数且）是奇函数，.
（1）求的解析式；
（2）若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围；
（3）若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围.
19. 函数的凹凸性是函数的重要性质之一，下面给出函数凹凸性的定义：
定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，，有，当且仅当时等号成立.
定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数.，有
，当且仅当时等号成立.将定义1和定义2中“≤”改为“≥”，则相应地称函数为上的下凹函数.
可以证明定义1与定义2等价.试运用以上信息解答下面的问题：
（1）若，试根据定义判断在上凹凸性；
（2）已知为上的下凸函数，设，且，求的最小值；
（3）设为大于或等于1的实数，试根据定义证明：.（提示：可设）