北京市西城区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 (含答案）

这是一份北京市西城区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 (含答案），共9页。试卷主要包含了 双曲线的离心率为， 已知椭圆的一个焦点与抛物线等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知直线经过两点，那么直线斜率为（ ）
A. B.
C. D.
2. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的一个焦点与抛物线（）的焦点重合，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则值为（ ）
A B. C. D.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
6. 正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
8. 已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
10. 在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（ ）
A. 椭圆的一部分B. 线段
C. 圆的一部分D. 抛物线的一部分
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知直线与垂直，那么_____.
12. 已知，则_____.
13. 某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为_____cm.
14. 已知曲线与轴交点为，与抛物线交于、两点，则_____，的面积为_____.
15. 已知是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为，给出下列四个结论：
①；
②设点，则直线的斜率的最大值为；
③，；
④的面积小于.
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜.
（1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？
（2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值.
17. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离.
18. 已知圆经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆方程；
（2）若圆与直线交于两点，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值.
19. 已知椭圆的左顶点为，右顶点为，点在椭圆上（与点、不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点.
（1）求椭圆的短轴长和离心率；
（2）若线段的中点为，求点坐标.
20. 如图，在四棱锥中，，，，，，为的中点，为中点.
（1）求证：；
（2）设平面与平面的交线为，
（ⅰ）求二面角的余弦值；
（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值.
21. 已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线 分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. C
2. C
3. C
4. A
5. D
6. D
7. C
8. A
9. D
10. D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. .
12.
13. .
14. ①. ②.
15. ②③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. （1）
（2）
17. （1）
（2）
18. （1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
19. （1），
（2）或
20. (1)因为平面，因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，又平面，所以.
(2)（ⅰ）取的中点，连接，
因为，，，，
所以四边形为矩形，
所以.
又因为平面，
可得两两垂直，
所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系.
则，，，，.
因为分别为中点，
所以，，
所以，，，
是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
，即，
令，则，，于是，
所以，
因二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
（ⅱ）设平面，
因为平面与平面的交线为，平面，
所以交线即为直线.
设，则.
因为，
所以，
所以. ①
因为在直线上，
所以. ②
由①②解得，
所以，
所以.
因为，
设直线与直线所成角为，
所以.
所以直线与直线所成角的余弦值为.
21. （1）
（2）存在，