2026广东省高三上学期12月第二次调研考试数学含解析

这是一份2026广东省高三上学期12月第二次调研考试数学含解析，共14页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，复平面内表示复数的点在直线上，则( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度比自行车快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间假设是固定不变的）.在任何情况下，他总是花时间最少的最佳方案.下表列出他到达甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的时间.则他离住地8千米的地方，需要的时间为( )
A.24分钟B.26分钟C.28分钟D.30分钟
5．已知向量a在向量b上的投影向量为，，则( )
A.B.C.D.3
6．已知是首项和公差均为m的等差数列，是首项和公比均为m的等比数列，.若的前5项和与的前4项和都等于S，则( )
A.30B.32C.42D.46
7．已知是R上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在R上的最小值是( )
A.B.C.D.
8．单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为( )
A.42B.49C.56D.64
一、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则( )
A.的平均数为
B.的方差为
C.若，则
D.若，则
10．如图，在直三棱柱中，，，点P，Q，M，N分别是，，，的中点，则( )
A.P，Q，M，N四点共面
B.线段为直三棱柱外接球的直径
C.三棱锥的体积为
D.异面直线与所成角为
11．双曲线的左、右焦点分别为，，过C上一点P作切线与x轴交于点Q，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，满足，则( )
A.B.满足条件的点P有2个
C.D.点P为外接圆圆心
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若的展开式中，的系数等于x的系数的5倍，则________.
13．已知圆与圆交于A，B两点，则公共弦长________.
14．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题: 本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的x的取值集合.
16．（15分）某地举行足球赛，共有16支球队参加赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋处下一轮，输球被淘汰），对阵图如下.现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队.已知甲、乙、丙、4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，.假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在嫁一轮每场比赛胜其他球队的概率不变.
（1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；
（2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对B、C、D组每支球队的胜率均为，乙队对B、C、D组每支球队的胜率均为.求甲队夺冠的概率.
注：A1-D2表示A小组第1名与D小组第2名对阵.
17．（15分）如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心G.
（1）证明：平面平面；
（2）已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为R的球面.S，T是棱上两点，，P是三棱台表面上一点，且.求满足条件的P点轨迹的长度.
18．（17分）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：函数有3个零点；
（3）当时，对任意的，满足，证明：.
19．（17分）已知椭圆，O为坐标原点，点M，N分别在直线与上，P是上一点，M，N，O，P四点构成平行四边形.
（1）证明是定值，并求该值；
（2）求平行四边形面积的最大值；
（3）一族直线与交于点，，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程.
参考答案及解析
1．答案：B
解析：由题得，，解得，则，故选B.
2．答案：D
解析：由，得，则；
由，得，则，
所以，故选D.
3．答案：C
解析：因为是R上的增函数，故选C.
4．答案：B
解析：由，，则，结合到甲地需要12分钟，
得公共汽车每行驶1千米需要2分钟.
所以，，即候车时间为10分钟.
若到甲地乘公共汽车，则需要时间为分钟，大于12分钟，
则到甲地为骑自行车，骑自行车每公里需要6分钟.
所以到8千米的地方，最佳方案是乘公共汽车，
需要时间为分钟.故选B.
5．答案：A
解析：.故选A.
6．答案：A
解析：由题得，，
，
所以，即，
则或，解得，所以，故选A.
7．答案：C
解析：由是奇函数，则；
由，则的图象关于对称，
即，所以.
因为在单调递增，则在单调递增，
在单调递减，从而在单调递减.
所以，故选C.
8．答案：B
解析：设，
则
，
所以，
因为，
所以
，
当7个点均匀分布在单位圆上时，
根据正、余弦函数的图象和性质有，
则，因此所求的最大值为49.故选B.
9．答案：AC
解析：根据平均数与方差的性质，易知A、C正确，B、D错误，故选AC.
10．答案：BC
解析：由于与是异面直线，则P，M，Q，N四点不可能共面，A错误；
三棱柱为正方体一半，侧面为正方体对角面，
其对角线为正方体外接球直径，则B正确；
，则C正确；
异面直线与所成角即为正方体体对角线与棱所成角，
可求得则.
故选BC.
11．答案：ACD
解析：由双曲线光学性质知为的平分线，
则，即，A正确；
设，，，
则，
所以，
得，即，
所以，所以或，
又，所以或，
所以满足条件的P点在右支上，且只有4个，B错误；
当时，；
当时，，
所以.
设，则，联立，
可得交点，，
则
，所以，C正确；
A，B中点坐标为，
所以P是线段中点，又，所以P为外接圆圆心，D正确.
故选ACD.
12．答案：7
解析：由题得，，即，
所以，解得.
13．答案：
解析：由题得，，，
两方程相减得，，则圆心到此直线距离为，
所以.
14．答案：
解析：
设，则当时，不成立；
当时，由，得，则不成立；
当时，若，则，即成立；
若，则，即，得.
综上，a的取值范围是.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）
，
由图知，过点，即，
则，由图得，，解得.
所以.
（2）由题得，，
由，得，则，
所以，
解得，
因此，使成立的x的取值集合是.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，
甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件，
由题得，，，.
设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件A，
则.
由题可得，
.
因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为.
（2）由题得，甲队进入决赛的概率为；
乙队进入决赛的概率为.
则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为；
乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为.
因此，甲队夺冠的概率为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）连接并延长交于点M，连接，
则M为BC中点，平面.
取的中点为N，连接，，则.
由题得，，，所以.
所以四边形是平行四边形，则.所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，
设，由，得，
整理得，所以P点轨迹表示球心在，
半径的球面.又P是棱台表面上的点，
所以P点轨迹是球面与棱台表面的交线.
由题得，，
则，所以.
又，，则，，.
所以球面只与棱台侧面，侧面，底面相交.
而计算得，，.
因此所求交线长度为.
18．答案：（1）；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，
则，所以，.
因此曲线在处的切线方程为.
（2）的定义域是，，
若，令，得或，且.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取得极大值，
在处取得极小值.
因为，所以，
又，所以，使得，
即在上有1个零点；
因为，所以，则，
所以，所以，
使得，即在上有1个零点；
又，所以，使得，
即在上有1个零点.
综上，当，有3个零点.
（3）在处的切线方程为，
设，下面证明：当时，.
设，则，
设，则，显然，时，，
所以递增，则，即，
所以递减，则，从而，即.
所以，，…，，
得
.
即.
19．答案：（1）证明见解析，该定值为2；
（2）4；
（3）答案见解析，
解析：（1）由题，设，，，又，
因为四边形是平行四边形，则，
所以.
即是定值，且该定值为2.
（2）设直线的倾斜角为，
则，，或.
由（1）知，在中，由余弦定理得，
，
所以，即，
当时取等号.
所以当时，.
因此平行四边形面积的最大值为
.
（3）设，，联立，
消元y整理得，
则，，
从而的中点为，
任取不同于的弦，
同理可得的中点，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得.
从而可知该直线与无关，即任意弦的中点均在直线上，
所以每条弦被定直线平分.目的地
目的地离住地的距离
最佳方案所需时间
甲地
2千米
12分钟
乙地
4千米
18分钟
丙地
6千米
22分钟