江苏省无锡市澄宜六校联盟2026届高三上学期12月学情调研数学试卷含答案（word版）

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注意事项:本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中。只有一 个选项是正确的.
1. 已知集合 A=x∈Z∣x2−1≤0,B={0,1,2} ，则 A∪B= ( )
A. {−1,0,1} B. {1} C. {0,1} D. {−1,0,1,2}
2. 已知复数 z=1−2i1+i+i ，则 z 的虚部为( )
A. 52 B. −12 C. 52i D. −12i
3. 已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点，点 Nx1,4 在 C 上，且 NF= 2OF ,则 p= ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
4. 已知向量 a,b 满足 a+b=25,a⊥a−2b ，且 b=1,1 ，则 a= ( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
5. 若 a>0>b ,且 a−b=2 ,则 1a+1−1b 的最小值为( )
A. 23 B. 43 C. 3 D. 4
6. 已知直线 l:x−2y+5=0 与圆 x2+y2=9 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,则 CD= ( )
A. 2 B. 25 C. 22 D. 5
7. 已知三棱锥 P−ABC 的底面 △ABC 的面积为 6，顶点 P 到底面三条边的距离均相等，且三个侧面的面积分别为3,4,5，则该三棱锥的体积为( )
A. 43 B. 63 C. 3 D. 23
8. 已知函数 fx 的定义域为 R ，且 fx+2+fx=0,fx+1 为奇函数， f12=1 ， 则 k=12025kfk−12= ( )
A. 2025 B. -2025 C. 4050 D. -4050
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得零分.
9. 函数 fx=sinx+π4+3sinπ4−x ,则 ( )
A. fx+2π=fx
B. fx 的最大值为 2
C. x=π12 是函数 y=fx 图象的一条对称轴
D. fx−π12 是偶函数
10. 已知曲线 Γ:x2+y2−5=2y−2 ,则()
A. 曲线 Γ 关于 y 轴对称
B. 曲线 Γ 围成图形的面积为 11π6
C. 曲线 Γ 上的点到点 3,0 的距离最大值为 2+10
D. 若点 x0,y0 是曲线 Γ 上的点,则 y07x0−21 的最大值为 1
11. 已知 an+1=2an,n为奇数,an+1,n为偶数. 记数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S3=6 ,则下列说法正确的是( )
A. a1=1 B. a19=2047
C. a2n=2n+1−2 D. S20=6108
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 fx=x2+ax+1ex ，若曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线与直线 x+2y −1=0 垂直，则实数 a= _____.
13. 平面直角坐标系 xOy 中，已知 MN 是 ⊙C:x−12+y−22=2 的一条弦，且 CM⊥ CN,P 是 MN 的中点. 当弦 MN 在圆 C 上运动时,直线 l:x−3y−5=0 上存在两点 A , B ，使得 ∠APB≥π2 恒成立，则线段 AB 长度的最小值是_____.
14. 已知定义在 R 上的偶函数 fx 与奇函数 gx 满足 fx−gx=2x . 若 ∀x∈0, 1]， f2x+bgx≥0 恒成立，则实数 b 的取值范围是_____
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
在锐角 ΔABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 c−2bcsA=b .
(1)求证: A=2B ；
(2)若 A 的角平分线交 BC 于 D ,且 c=2 ，求 △ABD 面积的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 fx=xex−12ax2−axa∈R .
(1)若 a=0 ，求 fx 的极小值；
(2)当 a>1e 时，求 fx 的单调递增区间；
(3)当 a>0 时，设 fx 的极大值为 ga ，求证: ga≥−2e2 .
17. (本小题满分 15 分)
已知多面体 ABCDEF 如图所示，其中四边形 ABCD 为矩形， ∠FCD=∠FCB=90∘ ， AE⊥ 平面 ABCD .

(1)求证: DE// 平面 BCF ；
(2)若 BC=CF ，点 A 到平面 BDF 的距离为 55BC ，求 BCAB 的值.
18.(本小题满分 17 分)
已知点 A3,32 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 上一点， E 的焦距为2.
(1)求 E 的方程；
(2)过 E 的右焦点作斜率不为 0 的直线 l ，交 E 于 P ， Q 两点， A1 ， A2 是 E 的左、右顶点， 记直线 A1P,A2Q 的斜率分别为 k1,k2 .
(i) 求 k1k2 的值;
(ii) 设 G 为直线 A1P 与直线 A2Q 的交点,记 △GPQ 的面积为 S1,△GA1A2 的面积为 S2 , 求 S1S2 的最小值.
19. (本小题满分 17 分)
已知数集 A=a1,a2,⋯,an1≤a1