北京市西城区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，答题卷上作答无效．
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. （）B. （）C. （）D. （）
3. 已知向量，满足，，则（ ）
A B. C. 0D. 1
4. 将曲线向右平移个单位长度后，得到的曲线关于原点中心对称数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在△ABC中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 长方体中，，．给出下列四个结论：
①；②；③平面；④平面．
其中正确的结论是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④
7. 函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
8. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. 1D.
9. 函数，是（ ）
A. 奇函数，且存在最大值B. 奇函数，且存在最小值
C. 偶函数，且存最大值D. 偶函数，且存在最小值
10. 设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数z满足，则__________．
12. 在平面直角坐标系中，已知角，的终边关于y轴对称，且，则，的一组取值可以为__________；__________．
13. 已知圆柱形水杯的底面半径为3cm，侧面积为，则水杯的容积约为__________ml．（精确到1ml，水杯壁厚度忽略不计）
14. 如图，在矩形中，，，点在边上．
①若，则__________；
②的取值范围是__________．
15. 如图，在正方体中，点P在正方形及其内部运动给出下列四个结论：
①存在无穷多个点P，使得；
②对任意点P，PC与BD均为异面直线；
③到直线和BD距离相等的点P存在且唯一；
④对任意点P，平面BCP与平面不可能垂直．
其中所有正确结论序号是__________．
三、解答题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
18. 在中，已知．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分．
19. 已知函数的一个零点为．
（1）求c；
（2）当时，若的值域为，求t的取值范围．
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．
（1）求证：；
（2）求证：直线不可能与平面平行；
（3）空间中是否存在球O，使得四棱锥的顶点均在此球面上？若存在，确定球心O的位置（结论无需证明）；若不存在，说明理由．
21. 已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数，，使得，则称具有性质P．
（1）判断，是否具有性质P，并说明理由；
（2）已知具有性质P，且不恒为0．设．证明：若M为有限集，则M中元素个数为偶数．