2025-2026学年北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.设集合M=x|−1≤x≤3，N=x|2x≤2，则集合M∩N=( )
A. −1,1B. −1,3C. −1,0D. −∞,3
2.已知z⋅i=2−i(i为虚数单位)，则z=( )
A. 2B. 5C. 1+2iD. 2+i
3.下列函数中，是偶函数，且在−∞,0上是减函数的是( )
A. fx=tanxB. fx=ex+e−xC. fx=csxD. fx=x−23
4.设数列an是等差数列，a1+a3+a5=6，a7=6，则这个数列的前9项和等于( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
5.已知x,y∈R，且x+y>0，则( )
A. 1x+1y>0B. x3+y3>0C. lg(x+y)>0D. sin(x+y)>0
6.若双曲线C1:x24−y22=1与C2:y2a2−x2b2=1具有相同的渐近线，则C2的离心率为( )
A. 62B. 2C. 3D. 6
7.已知函数fx=lnx,x>0ex,x≤0，若函数gx=fx−x−k恰有2个零点，则实数k的取值范围是( )
A. −1,eB. −∞,−1∪e,+∞
C. −1,1D. −∞,−1∪1,+∞
8.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用( )(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.5)
A. 10117万年B. 117万年C. 10205万年D. 205万年
9.设AC和BC的夹角为θ，AB+2BC>AC−BC是θ为锐角的( )条件
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10.数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则下列命题中正确的是( )
A. 对任意正整数n，总存在正整数m，使得an=Sm
B. 数列an一定是等差数列
C. 存在公比为正整数的等比数列an满足条件
D. 对任意正整数k，总存在正整数m、n，使得ak=am−an
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知点A2,4在抛物线C:y2=2px上，则A到抛物线C的准线的距离为 ．
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 ．
13.已知fx=sinωxω∈N∗，若在区间0,π2上存在两个不相等的实数a，b，满足fa+fb=2，则ω可以为 .(填一个值即可)
14.已知圆M:x−22+y2=1，点P为直线l:x=−1上一动点，过P作圆M的两条切线，切点分别为A、B.线段PA长度的最小值为 ，直线AB所经过的定点的坐标为 ．
15.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1=B1D1，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，给出下列命题：
①四棱锥B1−BED1F的体积恒为定值；
②存在点E，使得B1D⊥平面BD1E；
③对于棱CC1上任意一点E，在棱AD上均有相应的点G，使得CG//平面EBD1；
④存在唯一的点E，使得截面四边形BED1F的周长取得最小值．
其中真命题的是 .(填写所有正确答案的序号)
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为2，AA1=4，P为DD1上一点．
(1)若P为DD1中点，求证：BD1//平面ACP．
(2)若DP=1，求证：B1D⊥AP．
17.在▵ABC中，a=2 7，bsinB+C2=asinB．
(1)求A；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在且唯一，求BC边上的高h．
条件①：b+c=8；条件②：csC= 714；条件③：b=4．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注．选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作．“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到．不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示．
表1
选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”．
表2
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立．
(1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
(2)若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F这三个动作，且每个动作只完成一次．将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望EX；
(3)在本赛季中，某选手从四个跳跃动作4Lz，4S，4T，4F选出两个，且每个动作只完成一次，为了使得该选手这两个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，应选哪两个动作？请直接写出这两个动作的名称．
19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，点0,2在C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得RP⋅RQ为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
20.已知函数fx=alnx−a+1x+a+4(a∈R)
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)若直线y=−x+2a为曲线y=fx的切线，求实数a的值；
(3)当a=2时，设x1,x2,⋅⋅⋅,x14∈12,2，且x1+x2+x3+⋯+x14=14，若不等式fx1+fx2+⋯+fx14≤λ恒成立，求实数λ的最小值．
21.已知含有n个元素的正整数集A=a1,a2,⋅⋅⋅,an(a1B，
又因为A=π3，所以B为锐角，且唯一确定，所以▵ABC存在且唯一，
又由csB= 1−sin2B=2 77，
因为C=π−(A+B)=π−(π3+B)=2π3−B，
所以sinC=sin(2π3−B)=sin2π3csB−cs2π3sinB= 32⋅2 77−(−12)⋅ 217=3 2114，
又由正弦定理得c=asinCsinA=2 7×3 2114 32=6，所以S▵ABC=12acsinB=6 3，
可得12ah=6 3，即12×2 7⋅h=6 3，解得h=6 217，即BC边上的高为6 217．

18.(1)该选手上一赛季所有4T动作的“执行分”分别为：2.54,1.72,−4.75,−0.44,0.47,2.13,1.48，
一共跳跃7次，其中“成功”了5次，“失败”了2次，
∴从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率57．
(2)设“完成4T成功”为事件A，“完成4S成功”为事件B，“完成4F成功”为事件C，
则由表可知，PA=57，PB=46=23，PC=34，
随机变量X的可取值为：0，1，2，3，
PX=0=PAPBPC=1−57×1−23×1−34=27×13×14=142，
PX=1=PAPBPC+PAPBPC+PAPBPC=57×13×14+27×23×14+27×13×34=1584，
PX=2=PAPBPC+PAPBPC+PAPBPC=57×23×14+57×13×34+27×23×34=3784，
PX=3=PAPBPC=57×23×34=514，
随机变量X的分布列为
数学期望EX=0×142+1×1584+2×3784+3×514=17984
(3)设“完成4Lz成功”为事件D，
∴PA=57，PB=46=23，PC=34，PD=35，
如果选4Lz，4S，数学期望EY1=0×PDPB+1×PDPB+PDPB+2×PDPB=1915
如果选4Lz，4T，数学期望EY2=0×PDPA+1×PDPA+PDPA+2×PDPA=4635
如果选4Lz，4F，数学期望EY3=0×PDPC+1×PDPC+PDPC+2×PDPC=2720
如果选4S，4T，数学期望EY4=0×PAPB+1×PAPB+PAPB+2×PAPB=2921
如果选4S，4F，数学期望EY5=0×PCPB+1×PCPB+PCPB+2×PCPB=1712
如果选4T，4F，数学期望EY6=0×PAPC+1×PAPC+PAPC+2×PAPC=4128
∵EY1a+1x，
当a1时，则aa+1>x，
∵aa+1=a+1−1a+1=1−1a+1>0，
∴函数fx在0,aa+1上单调递增，在aa+1,+∞上单调递减；
当−1