河北省衡水市冀州中学2025-2026学年高一上学期12月月考-数学试题（含解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合后由交集定义即可得.
【详解】，
又，故.
故选：D.
2. 若，则的化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根式的运算法则直接化简即可.
【详解】，，.
故选：C.
3. 函数且的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可.
【详解】当时，在上单调递减，，，故A正确C错误；
当时，在上单调递增，，，故B，D均错误.
故选：A
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数单调性和中间值比较大小
【详解】，，，故，
所以.
故选：D.
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对钩函数的单调性、幂函数的单调性，结合奇函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：对于函数来说，当时，函数值都是，因此该函数在区间上不是增函数，不符合题意；
B：因为函数在区间上都是增函数，
所以函数在区间上是增函数，
令，因为，
所以该函数是奇函数，符合题意；
C：对于函数来说，当时，函数值都是，显然不是奇函数，不符合题意；
D：对于函数来说，定义域为，显然不关于原点对称，因此该函数不是奇函数，不符合题意，
故选：B
6. 若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解.
【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点，
当时，的图象如图（1）所示，可得，解得；
当时，的图象如图（2）所示，可得，解得，
因为，此时不存在实数，
综上可得，实数a的取值范围为．
故选：C.

7. 定义在上的奇函数满足：当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集.
【详解】因为是定义在上的奇函数，故即，
故，
当时，为增函数，令可得，
结合函数为奇函数，可作出的图象，
由可得或，由图象可得或，
故或，即解集为.
故选：B
8. 已知函数，.若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据基本不等式以及函数的单调性，求出，.由已知可推得，只需满足，代入即可得出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设在上的最小值为，在上的最小值为.
因为，当且仅当，且，即时等号成立，
所以，.
在上单调递增，所以.
由，，使得成立，
可得，即，所以.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对数的运算求解.
【详解】对A，，A正确；
对B，，B正确；
对C，，C正确；
对D，，D错误；
故选:ABC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 若，，则，
C. 函数的图象恒过定点
D. 已知函数的定义域为，则的定义域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A：先求出定义域，结合函数单调性直接求出值域；B：修改量词否定结论，即可得到结果；C：由得到定点的横坐标，再根据解析式计算出定点的纵坐标，则结果可知；D：根据条件求解出的范围，则的定义域可知.
【详解】对于A：的定义域为，且在上单调递增，
所以的最小值，所以值域为，故A正确；
对于B：修改量词否定结论可得：，，故B正确；
对于C：令，解得，且，所以的图象过定点，故错误；
对于D：因为的定义域为，所以中，所以，
所以的定义域为，故D正确；
故选：ABD.
11. 若函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且（其中e为常数，）.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是增函数C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇偶性构造方程组求函数解析式，根据指数函数的单调性及解析式判断单调性，应用换元法，将题设函数化为，利用二次函数的性质及区间最小值求参数，进而判断各项的正误.
【详解】对于A，由，是偶函数，是奇函数，
可得，解得，，故A错误；
对于B，由在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，故B正确；
对于CD，因为，，
令，当且仅当时取等号，则，
令，
的图象开口向上且对称轴为，，
当时，在上单调递增，所以，得符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，不合题意；
综上，，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知函数，，则此函数的值域为__________
【答案】
【解析】
【分析】令，由的单调性求解.
【详解】令，因为，所以，
因为函数在单调递减，且时，；时，，
所以函数的值域为，
故答案为：.
13. 若幂函数是偶函数，________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用幂函数定义得，再结合条件，利用奇偶函数的定义，即可求解.
【详解】由题知，解得或，
当时，，定义域为，，
此时为奇函数，不合题意，
当时，，定义域为，又，为偶函数，所以符合题意，
故答案为：.
14. 若“，”为假命题，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出原命题为真命题的时候的范围，再取其补集即可.
【详解】假设若“，”为真命题，则，
令，不等式即为，当时，，
由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故其最大值在端点处取得，比较与，
可知，则，
所以若“，”为假命题，则的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的定义域为，集合.
（1）当时，求；
（2）是的充分条件，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数定义域求得集合，代入求得集合，由集合的交集运算得结果；
（2）由题意可知，讨论集合若为空集以及集合不为空集两种情况，建立不等式组，求得a的取值范围.
【小问1详解】
由题意可得有意义，则且，
解得，即，
当时，，故；
【小问2详解】
由题意可知，
则①时，，解得.
②时，，解得，，
综上，a的取值范围为.
16. 求下列各式的值：
（1）已知，求的值；
（2）；
（3）若，，用，表示.
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）两边平方得，再两边平方得，代入求解即可；
（2）利用对数的性质及运算法则求解即可；
（3）根据，得，再根据对数的性质及运算法则求解即可.
【小问1详解】
因为，所以两边同时平方得：，
所以，两边再平方得：，
故，所以.
【小问2详解】
原式；
【小问3详解】
由题意得，，即，
所以.
17. 已知函数（，且，）.
（1）若的图象过点和，求在上的值域；
（2）若在区间上的最大值比最小值大，求的值.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由，，求得，进而可求解；
（2）由和讨论单调性求得最值，即可求解.
【小问1详解】
由题可知，，
解得，，所以.
因为，所以，所以在上的值域为.
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，
所以，，
因此，解得或（舍去）.
当时，在区间上单调递增，
所以，，
因此，解得或（舍去）.
所以或.
18. 设函数
（1）若为奇函数，求不等式的解集；
（2）若为偶函数，证明：在单调递增；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，结合指数函数的单调性进行求解即可；
（2）根据偶函数的定义，结合单调性的定义和指数函数的单调性进行证明即可.
【小问1详解】
因为为奇函数，
所以，
要想该等式对于恒成立，只需，
即，
，或，
由，显然不成立，
所以不等式的解集为；
【小问2详解】
因为为偶函数，
所以，
要想该等式对于恒成立，只需，
即，
设是上任意两个实数，且，则有，
于是有
，
因为，
所以，，
由，
，即
于是，
所以在单调递增.
19. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.

（1）试求函数的解析式；
（2）有同学发现，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数的图象关于点成中心对称图形.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论.
（2）结合新定义利用奇函数的性质证明即可.
【小问1详解】
当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，
又，所以，
所以，
当时也符合；

（2）当时，
如图，设直线与分别交于、两点，则，

又，，
所以
综上所述.
【小问2详解】
由题意只需证明为奇函数即可，
在中，
当时，，则；
当时，，则，
令，
所以对任意，，
即函数的图象关于点成中心对称图形.
20. 已知函数的定义域为，对任意，都有，且当时，.
（1）求证：是奇函数；
（2）若，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）令代入方程得，令代入方程得即可证；
（2）由定义法先证函数在单调递增，恒成立等价于，由单调性及奇偶性得，故恒成立等价于，恒成立，等价于恒成立.
【小问1详解】
证明：令得，
得，故是奇函数；
【小问2详解】
设任意且，，
，且当时，，故，
故函数在单调递增，由函数为奇函数，故函数在单调递增.
对任意的，恒成立，即，
由函数单调性得，故对任意恒成立.
设，，要使恒成立，则，
故或，所以实数的取值范围为.