【八上HK数学】 安徽省合肥市蜀山区2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷

这是一份【八上HK数学】 安徽省合肥市蜀山区2024-2025学年上学期八年级期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2024，﹣2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（3分）数学中有许多精美的曲线，以下是“科克曲线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若三角形的两条边分别为4cm和7cm，则此三角形的第三边可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
4．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A（ ）
A．x＝bB．x＝2C．x＝3D．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
D．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
6．（3分）在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力F（N）（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（ ）
A．当拉力F＝3N时，重物的重力G＝5N
B．拉力随着重物重力的增大而增大
C．当1N＜G＜3N时，0.5N＜F＜2N
D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为0.5N
7．（3分）如图，△ABC的面积为12cm2，CP平分∠ACB，AP⊥CP于P，连接PB（ ）
A．7cm2B．6cm2C．5.5cm2D．5cm2
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣2的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（2，﹣2）D．（3，﹣4）
9．（3分）某中学组织八年级学生前往A城参加研学活动，学生分为甲、乙两队相继从学校乘车出发，沿同一路线匀速前往A城．甲、乙两队离开学校的距离y（千米）（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①学校与A城相距300千米，却早到1小时；③乙队出发后2.5小时追上甲队，或，其中正确的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．（3分）如图，在△ABC中，以它的边AB、AC为直角边，ACE，连接BE（ ）
A．BE＝CDB．∠EFC＝90°
C．AF平分∠BFCD．∠DAF＝∠DCA
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点C，D，B，AC＝3，EF＝5，则BD的长为 ．
13．（3分）说明命题“如果a＞b，那么ac＞bc”是假命题的一个反例c的值可以是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，AE平分∠BAC，AD是BC边上高 °．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，若ED⊥AC交BC于P，且AD＝4，则PC＝ ．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝mx+n（m≠0）与y＝﹣mx+3的图象交于点（3，1）．
（1）m+n的值为 ；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝kx（k≠0）（m≠0）的值，也大于函数y＝﹣mx+3的值 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分．）
17．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1（A、B、C的对应点分别是A1，B1，C1）；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2（A、B、C的对应点分别是A2、B2，C2）．
18．（6分）已知2y﹣3与3x+1成正比例，且当x＝2时，y＝5．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与x轴交点坐标为 ．
19．（7分）求证：两个全等三角形对应边上的中线相等．
20．（7分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：
在AC边上求作点Q，使得QB＝QC；
（2）在（1）的条件下，连接BQ，BQ＝5，求AC长．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，AD＝DE且∠ADE＝30°．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）求证：BC＝AB+CE．
22．（8分）科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展．某无人机配件销售公司有A和B两种配件，它们的进价和售价如表
（1）求a的值；
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，设本次销售获得总利润y元，请写出y与x之间的函数关系式（利润＝售价﹣进价）；
（3）在（2）的条件下，据市场销售分析
23．（10分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，∠ACD的平分线交AB于点E，使得EF＝AF，且∠EAF＝∠ECB．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）如图2，若EG⊥AC，点H为CD上一点，K为AH中点，且EK⊥AH
2024-2025学年安徽省合肥市蜀山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（2024，﹣2024）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据第四象限点的坐标特征（+，﹣），即可解答．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（2024，
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
2．（3分）数学中有许多精美的曲线，以下是“科克曲线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可．
【解答】解：B选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形，熟练掌握定义是关键．
3．（3分）若三角形的两条边分别为4cm和7cm，则此三角形的第三边可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【分析】首先设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得7﹣4＜x＜7+4，再解不等式即可求解．
【解答】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：
7﹣4＜x＜3+4，
解得：3＜x＜11．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A（ ）
A．x＝bB．x＝2C．x＝3D．
【分析】直接利用函数图象即可得出答案．
【解答】解：由函数图象可知：当x＝2时y＝kx+b＝3，
所以关于x的方程kx+b＝8的解为x＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，能直接利用函数图象得出方程的解是解题的关键．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
D．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的分类、等腰三角形的三线合一、等边三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，符合题意；
B、三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，不符合题意；
C、等腰三角形的顶角平分线，故本选项命题是假命题；
D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力F（N）（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（ ）
A．当拉力F＝3N时，重物的重力G＝5N
B．拉力随着重物重力的增大而增大
C．当1N＜G＜3N时，0.5N＜F＜2N
D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为0.5N
【分析】由函数图象可以直接判断B、C，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，令F＝3N，G＝0N代入函数解析式求值即可判断A．
【解答】解：由图象可知，拉力F与重力G成一次函数关系，当1N＜G＜3N时，故C错误；B正确；
设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG+b（k≠2），则，
解得，
∴F＝0.8G+0.5，
当F＝5N时，拉力3＝0.8×G+0.5，故A正确；
当G＝4N时，拉力F＝0.5，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．
7．（3分）如图，△ABC的面积为12cm2，CP平分∠ACB，AP⊥CP于P，连接PB（ ）
A．7cm2B．6cm2C．5.5cm2D．5cm2
【分析】如图，延长AP交BC于点E．证明AP＝PE可得结论．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点E．
∵CP⊥AE，
∴∠APC＝∠EPC＝90°，
∵PC平分∠ACB，
∴∠PCA＝∠PCE，
∵∠PCA+∠CAP＝90°，∠PCE+∠CEP＝90°，
∴∠CAP＝∠CEP，
∴CA＝CE，
∴AP＝PE，
∴S△APB＝S△PEB，S△APC＝S△PEC，
∴S△PBC＝S△ABC＝×12＝6（cm5）．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）已知一次函数y＝kx﹣2的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（2，﹣2）D．（3，﹣4）
【分析】根据一次函数y＝kx﹣2的图象经过点P，且y随x的增大而增大，可知k＞0，该函数图象经过第一、三、四象限，然后即可判断各个选项中的点是否在该函数图象上．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象经过点P，且y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数图象经过第一、三，
∴当x＝4，y＝1时，得k＝3；
当x＝﹣3，y＝﹣1时，得k＝﹣1；
当x＝7，y＝﹣2时，得k＝0；
当x＝8，y＝﹣4时，得k＝﹣；
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．（3分）某中学组织八年级学生前往A城参加研学活动，学生分为甲、乙两队相继从学校乘车出发，沿同一路线匀速前往A城．甲、乙两队离开学校的距离y（千米）（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①学校与A城相距300千米，却早到1小时；③乙队出发后2.5小时追上甲队，或，其中正确的结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
学校与A城相距300千米，故①正确；
乙队比甲队晚出发1小时，却早到1小时，符合题意；
甲的速度为300÷7＝60（km/h）乙的速度为300÷（4﹣1）＝100（km/h），
设乙队出发后a小时追上甲队，
则100a＝60（a+3），得a＝1.5，不符合题意；
当甲乙两队相距50千米时，分四种情况，
乙出发前，此时t＝50÷60＝；
乙出发后到甲乙相遇前，此时60t﹣50＝100（t﹣1）；
甲乙相遇之后到乙到达目的地前，此时60t+50＝100（t﹣1）；
当乙到达目的地后，300﹣50＝60t；故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，在△ABC中，以它的边AB、AC为直角边，ACE，连接BE（ ）
A．BE＝CDB．∠EFC＝90°
C．AF平分∠BFCD．∠DAF＝∠DCA
【分析】依题意得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°，则∠BAE＝∠DAC，进而可依据“SAS”判定△BAE和△DAC全等，然后根据全等三角形的性质可对选项A进行判断；设BE与AD交于点H，利用三角形内角和定理可证明∠EFC＝∠DFH＝90°，由此可对选项B进行判断；连接AF，过点A作AM⊥BE于点M，AN⊥CD于点N，根据△BAE和△DAC全等得S△BAE＝S△DAC，再根据三角形的面积公式可得出AM＝AN，然后根据角平分线的性质可对选项C进行判断；根据∠DFH＝90°，AF平分∠BFC得∠DFA＝135°，则∠DAF+∠ADC＝45°，当∠DAE＝45°时，则∠DAC＝135°，∠DCA+∠ADC＝45°，此时∠DAF＝∠DCA，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：依题意得：AB＝AD，AE＝AC，
∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，
故选项A一定成立，不符合题意；
设BE与AD交于点H，如图1所示：
在△DFH中，∠ADC+∠DHF+∠DFH＝180°，
∵△BAE≌△DAC，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠ABE+∠DHF+∠DFH＝180°，
又∵∠BHA＝∠DHF，
∴∠ABE+∠BHA+∠DFH＝180°，
在△BAH中，∠ABE+∠BHA+∠BAD＝180°，
∴∠DFH＝∠BAD＝90°，
∴∠EFC＝∠DFH＝90°，
故选项B一定成立，不符合题意；
连接AF，过点A作AM⊥BE于点M，如图2所示：
∵△BAE≌△DAC，
∴S△BAE＝S△DAC，BE＝CD，
∵S△BAE＝BE•AM，S△DAC＝CD•AN，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFC的平分线上，
∴AF平分∠BFC，
故选项C一定成立，不符合题意；
∵∠DFH＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵AF平分∠BFC，
∴∠HFA＝∠BFC＝45°，
∴∠DFA＝∠DFH+∠HFA＝90°+45°＝135°，
∴∠DAF+∠ADC＝180°﹣∠DFA＝45°，
∴当∠DAE＝45°时，则∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°+90°＝135°，
∴∠DCA+∠ADC＝180°﹣∠DAC＝45°，
∴∠DAF＝∠DCA，
∴选项D不一定成立，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠3 ．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x≥0且x﹣3≠7，
解得x≥0且x≠3，
故答案为：x≥5且x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
12．（3分）如图，△ABC≌△DEF，点C，D，B，AC＝3，EF＝5，则BD的长为 1 ．
【分析】由全等三角形的性质推出DF＝AC＝3，BC＝EF＝5，求出BF＝CF﹣BC＝2，即可得到BD＝DF﹣BF＝1．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝3，BC＝EF＝5，
∵CF＝4，
∴BF＝CF﹣BC＝2，
∴BD＝DF﹣BF＝3﹣8＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解题关键是由全等三角形的性质得到DF＝AC＝3．
13．（3分）说明命题“如果a＞b，那么ac＞bc”是假命题的一个反例c的值可以是 ﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据不等式的性质二解答即可．
【解答】解：当a＞b，c＝﹣1时，
则命题“如果a＞b，那么ac＞bc”是假命题，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，AE平分∠BAC，AD是BC边上高 20 °．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再根据三角形内角和定理求出∠BAD的度数，即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝，
∵AD是BC边上高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝80°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣80°＝10°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝30°﹣10°＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，若ED⊥AC交BC于P，且AD＝4，则PC＝ 4 ．
【分析】根据等边三角形的性质可得∠CAB＝∠ABC＝60°，AB＝BC，再根据垂直定义可得∠ADE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠E＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得AE＝8，再利用三角形的外角性质可得∠BPE＝∠E＝30°，从而可得BP＝BE＝2，进而可得AB＝BC＝6，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
∵ED⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠CAB＝30°，
∵AD＝4，
∴AE＝2AD＝3，
∵∠ABC是△BPE的一个外角，
∴∠BPE＝∠ABC﹣∠E＝30°，
∴∠BPE＝∠E＝30°，
∴BP＝BE＝2，
∴AB＝BC＝AE﹣BE＝8﹣3＝6，
∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质是解题的关键．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝mx+n（m≠0）与y＝﹣mx+3的图象交于点（3，1）．
（1）m+n的值为 ﹣ ；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝kx（k≠0）（m≠0）的值，也大于函数y＝﹣mx+3的值 k≥ ．
【分析】（1）先根据直线y＝﹣mx+3过点（3，1）得出m＝，再将点（3，1）代入y＝x+n，求出n的值，进一步求得m+n；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣mx+3过点（3，3），
∴﹣3m+3＝2，
解得m＝，
将点（6，1）代入y＝，
解得n＝﹣1，
∴m+n＝﹣1＝﹣．
故答案为：﹣；
（2）∵当x＞2时，对于x的每一个值，也大于函数y＝﹣mx+3的值，
∴k≥．
故答案为：k≥．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分．）
17．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1（A、B、C的对应点分别是A1，B1，C1）；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2（A、B、C的对应点分别是A2、B2，C2）．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求．
（2）如图，△A2B2C7即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
18．（6分）已知2y﹣3与3x+1成正比例，且当x＝2时，y＝5．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与x轴交点坐标为 （） ．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用“上加下减”的平移法则得出平移后的函数解析式，再将y＝0代入所得函数解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
令2y﹣3＝k（5x+1），
则2×2﹣3＝k×（3×3+1），
解得k＝1，
所以3y﹣3＝3x+6，
则y与x之间的函数关系式为y＝．
（2）将函数y＝的图象向上平移1个单位．
将y＝0代入y＝得，
，
解得x＝，
所以平移后图象与x轴交点坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键．
19．（7分）求证：两个全等三角形对应边上的中线相等．
【分析】设△ABC≌△DEF，AP、DQ分别是对应边BC、EF上的中线，则AB＝DE，∠B＝∠E，再推导出BP＝EQ，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABP≌△DEQ，得AP＝DQ，所以全等三角形对应边上的中线相等．
【解答】已知：△ABC≌△DEF，AP、EF上的中线．
求证：AP＝DQ．
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，BC＝EF，
∴AP、DQ分别是对应边BC，
∴BP＝CP＝BCEF，
∴BP＝EQ，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴AP＝DQ，
∴全等三角形对应边上的中线相等．
【点评】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明有关的三角形全等是解题的关键．
20．（7分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：
在AC边上求作点Q，使得QB＝QC；
（2）在（1）的条件下，连接BQ，BQ＝5，求AC长．
【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段BC的垂直平分线，交AC于点Q，则点Q即为所求．
（2）由题意得△BCQ为等边三角形，则BC＝BQ＝5．再根据∠A＝30°，可得AC＝2BC＝10．
【解答】解：（1）如图，作线段BC的垂直平分线，
则点Q即为所求．
（2）∵QB＝QC，∠C＝60°，
∴△BCQ为等边三角形，
∴BC＝BQ＝5．
∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝10．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，AD＝DE且∠ADE＝30°．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）求证：BC＝AB+CE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出∠CDE＝∠BAD，利用AAS即可证明△ABD≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝30°，
∴∠CDE＝∠BAD，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABD≌△DCE，
∴AB＝CD，BD＝CE，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝AB+CE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
22．（8分）科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展．某无人机配件销售公司有A和B两种配件，它们的进价和售价如表
（1）求a的值；
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，设本次销售获得总利润y元，请写出y与x之间的函数关系式（利润＝售价﹣进价）；
（3）在（2）的条件下，据市场销售分析
【分析】（1）根据题意列关于a的一元一次方程并求解即可；
（2）根据“总利润＝每件A种配件的利润×购进A种配件的数量+每件B种配件的利润×购进B种配件的数量”写出y与x之间的函数关系式即可；
（3）根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集；根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最大，求出最大值及300﹣x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意，得50a+80×25＝15000，
解得a＝260，
∴a的值为260．
（2）y＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+6000．
（3）根据题意，得300﹣x≥2x，
解得x≤100，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x≤100，
∴当x＝100时，y值最大，
300﹣100＝200（件）．
答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
23．（10分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，∠ACD的平分线交AB于点E，使得EF＝AF，且∠EAF＝∠ECB．
（1）求证：CD⊥AB．
（2）如图2，若EG⊥AC，点H为CD上一点，K为AH中点，且EK⊥AH
【分析】（1）根据角平分线定义设∠ACE＝∠DCE＝α，则∠ECD＝α+∠1，根据EF＝AF得∠EAF＝∠3＝α+∠2，再根据∠EAF＝∠ECB得∠1＝∠2，然后根据∠2+∠B＝90°得∠1+∠B＝90°，据此即可得出结论；
（2）连接CE，HE，先根据角平分线的性质得EG＝ED，再证明EK是线段AH的垂直平分线，则AE＝HE，然后可依据“HL”判定Rt△AEG和Rt△HED全等，再根据全等三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1所示：
∵CE平分∠ACD，
∴设∠ACE＝∠DCE＝α，
∴∠ECD＝∠DCE+∠1＝α+∠5，
∵EF＝AF，
∴∠EAF＝∠3，
又∵∠3＝∠ACE+∠6＝α+∠2，
∴∠EAF＝α+∠2，
∵∠EAF＝∠ECB，
∵α+∠6＝α+∠2，
∴∠1＝∠5，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠2+∠B＝90°，
∴∠1+∠B＝90°，
在△BCD中，∠CDB＝180°﹣（∠7+∠B）＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）证明：连接CE，HE
∵CE平分∠ACD，EG⊥AC，
∴EG＝ED，
∵K为AH中点，且EK⊥AH，
∴EK是线段AH的垂直平分线，
∴AE＝HE，
在Rt△AEG和Rt△HED中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△HED（HL），
∴AG＝DH．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/16 7:37:52；用户：王立研；邮箱：rFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@；学号：25840186种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
A
C
B
A
C
D
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100