2024年中考数学（浙江）第一次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（浙江）第一次模拟考试（含答案），共45页。试卷主要包含了分式的值，可以等于等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．设x是用字母表示的有理数，则下列各式中一定大于零的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．2023年9月23日第19届杭州亚运会开幕，有最高2640000人同时收看直播，数字2640000用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
4．由6个同样的立方体摆出从正面看是 的几何体，下面摆法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．分式的值，可以等于（ ）
A．B．0C．1D．2
6．如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为区第10排1号到20号采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
9．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ）

A．B．C．D．
10．如图，已知正方形和正方形，且三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形，交于点，连接．设，．若点三点共线，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算的结果等于 ．
12．如图，在中，．过点作的平分线交于点，过点作，交延长线于点．若，则 ．
13．已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表：
则满足方程的解是
14．如图，P为直径上的一点，点M和N在上，且．若，，则 ．

15．如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥HG，DF＝8cm，GF＝2cm，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，且点D在NM的延长线上，则MG＝ cm，使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2cm，则压杆MN到底座AB的距离为 cm．
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解不等式：．
18．（6分）小汪解答“解分式方程：”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：…①，
去括号得：…②，
移项得：…③，
合并同类项得：…④，
系数化为1得：…⑤，
∴是原分式方程的解．
19．（8分）某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩
b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表
和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
(2)直接写出m，n的值；
(3)请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由．
20．（8分）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
21．（10分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，支架为，面板长为为．（厚度忽略不计）
(1)求支点离桌面的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
22．（10分）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．

(1)如图1，若，求的值；
(2)如图1，，若，求m的值．
(3)如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
23．（12分）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
(1)的度数为________；
(2)如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为________；
(3)如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；
(4)如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，点在第一象限的拋物线上，连接，与轴交于点．
(1)求拋物线表达式；
(2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
2024年中考第一次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．设x是用字母表示的有理数，则下列各式中一定大于零的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质，三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．根据含绝对值、平方的数都是非负数，它们的值都大于等于0，由此可解此题．
【详解】解：当时，与都小于0，
当时，，
而不论x取何值，，必大于0．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的加法运算，根据合并同类项法则判定A、B、C；根据去括号法则判定D即可．
【详解】解：A. 没有同类项不能合并；故本选项不符合题意；
B. 故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．2023年9月23日第19届杭州亚运会开幕，有最高2640000人同时收看直播，数字2640000用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：，共有位数字，的后面有位，
，
故选：C．
4．由6个同样的立方体摆出从正面看是 的几何体，下面摆法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据主视图：从正面看得到几何体的图像，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A选项图形主视图得到两行两列，故A不符合题意；
B选项图形主视图得到两行三列，且第一列由两个，其余的一个，故B符合题意；
C选项图形主视图得到两行三列，且第一二列都是两个，故C不符合题意；
D选项图形主视图得到两行四列，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查主视图：从正面看得到几何体的图像叫几何体的主视图．
5．分式的值，可以等于（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】根据分子、分母的取值范围进行判断即可．
【详解】解：∵，，且，
∴的值不可能是、0、；当时，分式的值等于2，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的求值，正确得出分子、分母的取值范围是解题的关键．
6．如图，是的切线，点是切点，连接交于点，延长交于点，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题重点考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、，则，
是的直径，
，，
与相切于点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
7．小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为区第10排1号到20号采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式求解．
【详解】解：因为与10号座位相邻得有2个座位（9号和11号），
所以小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率为．
故选：A．
8．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数的性质．根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
A、有，，所以不存在实数m，故不符合题意；
B、有，，所以存在实数m，故符合题意；
C、有，，所以不存在实数m，故不符合题意；
D、有，，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选：B．
9．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
【详解】解：过P作于M，
由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．
10．如图，已知正方形和正方形，且三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形，交于点，连接．设，．若点三点共线，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，三角函数，过点作于，连接，先证明，得到，设，则，，再证明、，得到，，，利用三角函数即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，连接，则，
∵四边形、四边形、四边形是正方形，
∴，，，
∵点三点共线，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算的结果等于 ．
【答案】
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．
12．如图，在中，．过点作的平分线交于点，过点作，交延长线于点．若，则 ．
【答案】72
【分析】本题考查平行线及角平分线的定义，等腰三角形的性质．先利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义和等边对等角计算．
【详解】解：，，
，
平分，
；
，
．
故答案为：72．
13．已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表：
则满足方程的解是
【答案】/
【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，通过表格数据求出然后代入方程即可求解．
【详解】解：由表格可知抛物线经过，
抛物线解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
移项可得：
因式分解可得：
解得：．
14．如图，P为直径上的一点，点M和N在上，且．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．延长交于Q，作于H，连接，如图，由，得到，利用圆的对称性得到点M与点Q关于对称，则，所以，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则在中可勾股定理计算出，然后根据垂径定理得到，，即可得到的值．
【详解】解：延长交于Q，作于H，连接，如图，
∵，
而，
∴，
∴点M与点Q关于对称，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥HG，DF＝8cm，GF＝2cm，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，且点D在NM的延长线上，则MG＝ cm，使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2cm，则压杆MN到底座AB的距离为 cm．
【答案】 4
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，正确做出辅助线是解题的关键．
如图2，延长，则过点D，由三角形中位线定理可得的长度，如图3，过点P作于K，可得在中，，知，故，可得，，由，得，即可得压杆MN到底座AB的距离为．
【详解】解：如图2，延长，则过点D，
四边形是矩形，
，即，
是中点，
是的中位线，
，
如图3，过点P作于K，
，
，
，
，
，
在中，，
知，
即，
，
解得，
，
，
，
得，
解得，
∴压杆MN到底座AB的距离为，
故答案为：4，．
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3
【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可．
【详解】解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴，
∴，
设，，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
延长交于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理和勾股定理求出线段之间的关系是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式；
（1）分别根据零指数幂的定义，绝对值的性质以及二次根式的性质，计算即可；
（2）不等式去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可．
【详解】（1）原式
；
（2），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
18．（6分）小汪解答“解分式方程：”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：…①，
去括号得：…②，
移项得：…③，
合并同类项得：…④，
系数化为1得：…⑤，
∴是原分式方程的解．
【答案】错误步骤的序号为①，解法见详解．
【分析】本题考查检查解分式方程；错误步骤的序号为①，解方程去分母转化为整式方程，，进而解这个整式方程，最后检验，即可求解．
【详解】解：错误步骤的序号为①，
去分母得：
去括号得：
移项得：…③，
合并同类项得：…④，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
19．（8分）某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩
b．这30名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表
和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
(2)直接写出m，n的值；
(3)请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)二，理由见解析
【分析】本题考查统计图分析，涉及中位数、加权平均数、众数，
（1）根据这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89，纵坐标是90的点即代表小松同学的点；
（2）根据平均数和中位数的定义可得m和n的值；
（3）根据平均数，众数和中位数进行决策即可．
【详解】（1）解：（1）如图所示．
（2），
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴，
∴，；
（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，
理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
答：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
20．（8分）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
【答案】任务1：剪掉的正方形的边长为．
任务2：当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
【分析】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程和函数关系式是解决问题的关键．
任务1：假设剪掉的正方形的边长为，根据长方形盒子的底面积为，得方程，解所列方程并检验可得；
任务2：侧面积有最大值，设剪掉的正方形边长为，盒子的侧面积为，利用长方形盒子的侧面积为：得出即可．
【详解】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为，
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
答：剪掉的正方形的边长为．
任务2：侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
∴时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
21．（10分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，支架为，面板长为为．（厚度忽略不计）
(1)求支点离桌面的高度；（计算结果保留根号）
(2)小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)支点C离桌面l的高度；
(2)面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约
【分析】（1）作，先在求出的长，再计算即可得答案；
（2）分别求出时 和时，的长，相减即可．
【详解】（1）解：如下图，作，
，
，
，
，
支点C离桌面l的高度；
（2）
，
，
当时，，
当时，，
，
面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
22．（10分）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．
(1)如图1，若，求的值；
(2)如图1，，若，求m的值．
(3)如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形判定定理的内容是解题关键．
（1）证可得，结合即可求解；
（2）由可得，进一步可得，据此即可求解；
（3）由（1）可得，证得即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
∴
∴
即：
解得：
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）可得：
∴
∴
∵，
∴
解得：
（3）解：由（1）得：
即：
解得：
∵，
∴
∴
即：
∴
整理得：
∵
∴，
又
∴
故：
23．（12分）如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
(1)的度数为________；
(2)如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为________；
(3)如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；
(4)如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【答案】(1)120
(2)2
(3)
(4)见解析，
【分析】本题主要考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为的等腰三角形腰和底边比是固定值．
（1）由已知得到垂直平分，故得到，证明为等边三角形即可得到答案；
（2）由于直径，根据垂径定理可以得到是的中点，要求最大值即求最大值，当为直径时，有最大值，即可得到答案；
（3）根据垂径定理得到，证明，由（1）得，即可得到答案；
（4）将绕A点顺时针旋转至，得到，证明，过A作于G，则，根据勾股定理证明．
【详解】（1）解：连接，，
、，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：由题可知，为直径，且，
由垂径定理可得，，
连接，
是的中点，
，
当三点共线时，此时取得最大值，
且，
的最大值为；
（3）解：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
（4）证明：由题可得，直径，
垂直平分，
如图4，连接，，则，
由（1）得，
将绕A点顺时针旋转至，
，
，，
四边形为圆内接四边形，
，
，
、D、P三点共线，
，
过A作于G，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
为定值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，点在第一象限的拋物线上，连接，与轴交于点．
AI
(1)求拋物线表达式；
(2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形．
①求点的坐标；
②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)①，；②的最小值为．
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标；②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后带入计算即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线交轴于点和点，
∴将、坐标代入有，
解得
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵抛物线的表达式为，
∴，
设直线的解析式为
∵ ，，
∴
解得
∴直线的解析式为
∵为与轴交点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴且，且点在点下方，
∵且在轴上
∴，
∵，
∴，或，
若为，，
∵，故，
若为，，
∵，此时，矛盾，舍去
综上，；
②最小值为
如图，设的解析式为
∵抛物线交轴于点，
∴点的坐标为，
将点，、，的坐标代入得
解得
∴的解析式为
与相交于点
∴
解得
所以点的坐标为
设直线的解析式为
将点、的坐标代入直线的解析式得
解得
所以直线的解析式为
与相交于点
∴
解得，
∴点的坐标为
∴
，
∴，
当旋转到轴上时，此时最短，
∴，
∴．
故的最小值．
【点睛】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键．
0
1
2
3
8
3
0
0
参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次
竞 赛
人 数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次
竞 赛
人 数
2
12
16
平均分
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
素材1
利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2
如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1
初步探究：折一个底面积为无盖纸盒
（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2
折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？
（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．
0
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参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次
竞 赛
人 数
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第二次
竞 赛
人 数
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中位数
众数
第一次竞赛
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第二次竞赛
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素材1
利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2
如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1
初步探究：折一个底面积为无盖纸盒
（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2
折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？
（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．