2024年中考数学（呼和浩特）第一次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（呼和浩特）第一次模拟考试（含答案），共39页。试卷主要包含了若式子有意义，则x的取值范围是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数的相反数是（ ）
A．5B．C．D．
2．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
6．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
7．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A．B．C．D．
10．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．
13．将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则 (填“”“”或“”)．
14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 .
15．如图，在菱形中，边长为，，E，F分别是边上的点，且，若将沿着折叠，使得点B恰好落在边上的点处，，折痕为，则的长为 ．
16．我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率 ．（参考数据：，
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：．
（2）解不等式组
18．（7分）如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，求无人机离地面的高度的长．（参考数据：）
19．（10分）随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）
b．七年级学生成绩在这一组的是：80，，81，82，82，83，，84，84，85，86，，87，88，89，89；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为 ；
(2)小航此次大赛的成绩为83分，在被抽取的50名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小航是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩90分及以上为优秀，七年级共有学生400名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数；
(4)请对七、八年级学生这次大赛的成绩作出合理的评价．
20．（7分）如图，四边形中，对角线相交于点，为的中点，，，
(1)四边形是什么特殊的四边形？请证明；
(2)点在上，点在上，且．若，求的长．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形的边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作轴于点Q，记的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
22．（9分）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．
23．（10分）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
24．（12分）如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
(1)若，求的长度；
(2)若，，P是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求P点的坐标；
(3)如图2，当时，点在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线交抛物线于另一点D，直线交抛物线于另一点E，作轴于M，若，试判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．
2024年中考第一次模拟考试（呼和浩特卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数的相反数是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】的相反数是5．
故选：A．
2．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解；从正面看，右上角是三角形，
故选；B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：972亿，
故选：C．
5．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】C
【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0，被开方数大于或等于0，解不等式即可．
【详解】解：依题意得：且，
解得且．
故选C．
6．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的减法、完全平方公式、同底数幂的除法、负整数指数幂以及幂的乘方的运算法则逐一分析即可．
【详解】解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C符合题意；
∵，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的减法、完全平方公式、同底数幂的除法、负整数指数幂以及幂的乘方，掌握以上法则是解题的关键．
7．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将上部三张图片分别记作、、，下部三张图片记作、、，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将上部三张图片分别记作、、，下部三张图片记作、、，
列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中这两张小图片恰好合成一张完整图片的有3种结果，
所以这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．
【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴点E为中点，
∵F是的中点，若，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的周长，
故选：D．
【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．
10．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【答案】B
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
故①正确；
②，
由①得，
，
，
，
抛物线与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当时，
，
抛物线也过，
由得
方程，
方程的一个根为，
抛物线，
，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，
故③正确；
④当，当时，，
故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
12．在数学实践活动中，某同学用一张如图①所示的矩形纸板制做了一个扇形，并由这个扇形围成一个圆锥模型（如图②所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为2，则此圆锥的母线长为 ．

【答案】
【分析】设此圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设母线长为l，
则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则 (填“”“”或“”)．

【答案】
【分析】根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．
【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键．
14．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 .
【答案】7人
【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得：
，
解得：，
答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人,
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．
15．如图，在菱形中，边长为，，E，F分别是边上的点，且，若将沿着折叠，使得点B恰好落在边上的点处，，折痕为，则的长为 ．
【答案】2
【分析】过点作，交的延长线于点G，先求出，再证明，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程求出，则．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质是解题的关键．
16．我国魏晋时期的数学家刘徽年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率 ．（参考数据：，
【答案】3.12
【分析】求出正24边形的周长，再根据计算即可解决问题．
【详解】解：圆内接正二十四边形的周长，
则，
故答案为3.12
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正多边形与圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：．
（2）解不等式组
【答案】（1）0，（2）
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答．
【详解】（1）原式
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组解集为．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为的斜上方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，求无人机离地面的高度的长．（参考数据：）

【答案】345米
【分析】作于E，根据坡度，得到，推出，进而求出的长，利用，求出的长，再在直角三角形中，求出的长，再根据，即可得解．
【详解】解：如图，作于E，由题意，可知：四边形为矩形，

∴米，，
∵的坡度为，即：
∴，
又∵米，则（米），（米），
∴（米）
在中，，
则（米），
∴（米），
∴（米）
答：无人机离地面的高度约为345米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造直角三角形．
19．随着科幻电影的崛起，层出不穷的“硬核科技”元素也引起人们的热烈讨论，例如太空电梯，数字生命，重核聚变行星发动机，超级量子计算机，人工智能，机械外骨骼等．强大的科技会促使科幻走进现实，为激发学生对科技的热情，某校七、八年级举办了青少年科技创新大赛，赛后从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生成绩的频数分布直方图如图所示．（数据分为5组：，，，，）
b．七年级学生成绩在这一组的是：80，，81，82，82，83，，84，84，85，86，，87，88，89，89；
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为 ；
(2)小航此次大赛的成绩为83分，在被抽取的50名学生中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小航是哪个年级的学生，并说明理由；
(3)若成绩90分及以上为优秀，七年级共有学生400名，估计本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数；
(4)请对七、八年级学生这次大赛的成绩作出合理的评价．
【答案】(1)82
(2)小航是七年级的学生，理由见解析
(3)本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人
(4)见解析
【分析】（1）根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）用400乘以样本中90分及以上的人数所占比例即可；
（4）根据两个年级的平均数、中位数解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，把七年级学生成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩分别为82分，82分，
故，
故答案为：82；
（2）小航是七年级的学生，理由如下：
因为83大于82，他的成绩超过了被抽取的七年级学生成绩的中位数；
（3）（人），
答：本次大赛七年级学生成绩为优秀的人数约为104人；
（4）八年级学生成绩的平均数比七年级学生成绩的平均数大，八年级学生成绩的中位数比七年级学生成绩的中位数大，所以八年级学生的成绩要比七年级学生的成绩好（答案不唯一）．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数以及加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图，四边形中，对角线相交于点，为的中点，，，

(1)四边形是什么特殊的四边形？请证明；
(2)点在上，点在上，且．若，求的长．
【答案】(1)菱形，证明见解析；
(2)．
【分析】()根据为的中点，可得出四边形 为平行四边形，根据、即可得出的长度，再结合即可得出 ，从而得出，进而可证出四边形是菱形；
()设，则，，，根据勾股定理可得出的长度，结合即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论；
本题考查了菱形的判定、勾股定理以及逆定理、解一元二次方程，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）四边形是菱形．
∵为的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形是菱形；
（2）设，则，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得：，，
又∵，
∴不合，舍去，
∴，
∴．
21．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形的边、分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作轴于点Q，记的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题主要考查反比例函数的图象，运用函数图象经过点求函数解析式是解答本题的关键．根据反比例函数图象经过线段的中点以及知道点坐标用待定系数法求解即可．
（2）本题主要考查动点在反比例函数图象上求面积问题，解答本题关键在于用合理设出点的坐标，用坐标之差表示出三角形边长．根据反比例函数解析式已知，合理设出点与的坐标，用坐标表示出三角形的边长再求面积．动点不与点D重合，需要分情况考虑动点在D的上方和下方．
【详解】（1）解：∵，点在轴上，且反比例函数经过的中点，将点代入反比例函数解析式得，
解得：，
；
（2）①当P在线段的上方时如图1，此时，
∵点P在反比例函数的图象上运动，
∴设，
∴；
②当P在线段下方运动时，此时，如图2，
同理
综上
22．某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．
【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得，根据，推出，再结合m、n均为正整数，得出当时，n取得最大值，此时，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，
，
化简，得
，
∵，
∴，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴当时，n取得最大值，此时，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
23．如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据是的直径，可得，即，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得，等量代换后即可得，进而得证；
（2）连接，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，由垂径定理可得，进而可得，即可求解．
（3）过点作，根据平行线分线段成比例，求得，设的半径为，则，证明，可得，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线，
（2）如图，连接，
平分，
，
∴
，
，
，
，
是的直径，
，，
即，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，
由（2）可知，
，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
即，
解得：（负值舍去），
的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
24．如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

(1)若，求的长度；
(2)若，，P是对称轴右侧抛物线上的点，当时，求P点的坐标；
(3)如图2，当时，点在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线交抛物线于另一点D，直线交抛物线于另一点E，作轴于M，若，试判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是为定值，该定值为2
【分析】（1）当时，，根据当时，，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，即可得到的长度；
（2）当，时，，求出的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是，则，连接，是等腰直角三角形，得到，则，过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，则，证明，得到的坐标是，求出的解析式为，与二次函数联立即可求出点P的坐标；
（3）求出点A的坐标是，点B的坐标是，由得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，则，由，则，由得到，则，进一步得到，设直线的解析式为，与二次函数联立得到，得到，由得到，解得，则，即，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∵，
∴，
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
即的长度为4；
（2）当，时，，
当时，，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
连接，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
过点A作，使得，延长线段交抛物线于点P，过点D作轴于点E，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴点D的坐标是，
设直线的解析式为，把点C和点D的坐标代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标是；
（3）当时，，
∵，
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
联立，，
∴，
∴，
∴，
过点D作轴于点H，

∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得到，，
∴，
设直线的解析式为，
联立，
则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
年级统计量
平均数
中位数
七年级
m
八年级
85
甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
a
每支利润（元）
2
3
年级统计量
平均数
中位数
七年级
m
八年级
85
甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
a
每支利润（元）
2
3