江西省萍乡市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省萍乡市2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．在一个不透明的袋中装着2个红球和1个白球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，再随机的取出一个球，两次恰好是一个红球和一个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则（ ）

A．B．C．D．
6．如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（ ）
A．13B．18C．21D．26
二、填空题
7．一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是 ．
8．如图，已知，那么线段的长度等于
9．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝ ．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．

11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，则的值为 ．
12．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，运动到B点停止，若以点P，A，D为顶点的三角形与相似时，运动时间 ．
三、解答题
13．（1）解方程：；
（2）已知，且，求的值．
14．如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图．
(1)在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M；

(2)在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高．

15．如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：．
16．“养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问：
(1)老张的鱼塘中估计有多少条鱼？
(2)池塘中的鱼约共重多少千克？
17．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
18．根据以下素材，探索完成任务．
19．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
20．如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高，身高的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，
(1)画出红英MN在地面的影子NF；
(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．
21．如图，菱形中，与交于点，， ．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点，连接，若，求长．
22．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B(2，6)．
（1）求一次函数与反比例函数的关系式；
（2）C为线段AB延长线上一点，作CDOA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标．
23．【问题发现】某课外数学兴趣小组对如下问题进行探究发现．
（1）若四边形是菱形，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角，其中，如图2．当点在对角线上，点恰好在边所在直线上时，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
《江西省萍乡市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题》参考答案
1．A
A、将方程整理，得，是一元二次方程，故正确；
B、不是整式方程，故错误；
C、若，则就不是一元二次方程，故错误；
D、将方程整理，得，是一元一次方程，故错误．
故选：A．
2．D
解：根据俯视图是从上往下看可知几何体的俯视图是
故选：D ．
3．B
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两球恰好是一个红球和一个白球的有4种情况，
∴两球恰好是一个红球和一个白球的概率为：．
故选：B．
4．B
解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．B
解：∵四边形是菱形，是对角线，，
∴，，
如图所示，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
6．C
解：作轴于E，轴于F，轴于H，
∵四边形为平行四边形，和平行于x轴，
∴，
∴
．
故选：C．
7．2
因为一元二次方程的一次项系数是4，二次项系数是1，常数项是-3，
所以，
故答案为：2．
8．
解：∵AB∥CD∥EF
∴ ,
∵AD=6，DF=3，BC=7，
∴,
∴CE=.
故答案为：.
9．1
∵x1，x2是方程x2+2x-3=0的两个根，
∴x12+2x1-3=0，即x12+2x1=3，x1+x2=-2，
则x12+3x1+x2
=x12+2x1+x1+x2
=3-2
=1.
故答案是：1．
10．4.5
解：已知A（1，0），D（3，0），可得OA=1，OD=3，
又△ABC与△DEF位似，AB=1.5，
，
DE=4.5.
11．
解：一次函数的图象与轴交于点，
∴令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵过点作轴，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴在一次函数中，
解得，，
故答案为： ．
12．或1或6
解：依题意得：，则，
∵，，
∴.
当时
∴，
∴，
∴
当时
∴，
∴，
∴或．
∴，1或6．
故答案为：或1或6．
13．（1）
（2）
解：（1），
等式右边提取公式得，，
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，；
（2）∵，
∴设，
∴，
∴，整理得，
解得，，
∴，
∴．
14．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图1，点M即为所求；
．
（2）如图2，即为所求．
．
15．证明过程见详解
证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即是直角三角形，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴．
16．(1)老张的鱼塘中估计有条鱼
(2)池塘中的鱼约共重千克
（1）解：从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出条带有记号的鱼为条，
设老张的鱼塘中有条鱼，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴老张的鱼塘中估计有条鱼；
（2）解：捞出条称得重量为千克，
∴（千克），
∴池塘中的鱼约共重千克．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：关于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵
∵
∴
解得:，
∵方程有一个根小于1，
∴，
解得：．
18．任务一：平均增长率为；任务二：该零件的实际售价应定为50元
解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x，
由题意得，
解得或（舍去）．
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
（2）设该零件的实际售价m元，
由题意得，
整理得，
解得或．
∵要尽可能让车企得到实惠，
∴．
答：该零件的实际售价应定为50元．
19．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，
∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，
∴△AFE∽△CFD，
（Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD，
∴，
而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，
∴AE＝2，AC＝5，
∴，
而AC＝5，
∴AF＝，CF＝，
故CF的长为：．
20．(1)见解析
(2)9米
（1）解：如图所示：
（2）解：设，
∵， ，
∴
∴解得，
经检验是分式方程的解，
∴，
答：灯AB的高度为米．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵四边形为菱形，
∴， ，
∴，
∵， ，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）得：四边形是矩形，
∴，，
∵是中点，
∴为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（1）y＝x+4，y＝；（2）(2，2+4)
解：（1）∵点B（2，6）在直线y＝x+b上，
∴2+b＝6，
∴b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝x+4；
∵点B（2，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝x+4，
∴A（0，4），
∴OA＝4，
∵四边形ACDO为平行四边形，
∴CD＝OA＝4，
设点C的坐标为（m，m+4）（m＞2），
∵CD∥OA，
∴D（m，），
∴CD＝m+4﹣，
∴m+4﹣＝4，
∴m＝2或m＝﹣2（舍），
∴C（2，2+4）．
23．[问题发现]（1），理由见详解
[类比探究]（2），理由见详解
[拓展延伸]（3）的面积为
解：[问题发现]
（1），理由如下，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
[类比探究]
（2），理由如下，
如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[拓展延伸]
（3）如图所示，连接交于点，过点作延长线于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是对角线，
∴，，
∴，，
在中，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴设，则，
在中，，
∴，即，
整理得，，
∵，
∴，
解得，（舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．