2024年中考数学（南京）押题预测卷一（含答案）

这是一份2024年中考数学（南京）押题预测卷一（含答案），共39页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2024•建邺区模拟）|﹣2|的值等于（ ）
A．2B．−12C．12D．﹣2
2．（2024•秦淮区模拟）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
3．（2024•雨花台区模拟）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024B．0C．1D．2024
4．（2024•雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC
5．（2024•玄武区模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．（2024•建邺区模拟）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．6+2B．32C．2+3D．3+2
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2024•秦淮区模拟）22x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2024•鼓楼区模拟）分解因式：2x2﹣8＝ ．
9．（2024•雨花台区模拟）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简bba+aab= ．
10．（2024•建邺区模拟）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ．
11．（2024•玄武区模拟）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 ．
12．（2024•玄武区模拟）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 cm．
13．（2024•建邺区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA⊥OB，OB＝2OA，反比例函数y1=1x（x＞0），y2=kx（x＜0）的图象分别经过点A，B，则k的值为 ．
14．（2023•南京三模）如图，在正六边形ABCDEF中，⊙O经过点E，且与AB，BC相切．若⊙O的半径为43，则正六边形的边长为 ．
15．（2023春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 ．
16．（2024•建邺区模拟）已知点D（2，a）为直线y=−12x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2024•鼓楼区模拟）计算：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1．
18．（6分）（2024•鼓楼区模拟）解不等式组x+32≥x+13+4(x−1)＞−9，并把解集在数轴上表示出来．
19．（8分）（2024•秦淮区模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
20．（8分）（2024•鼓楼区模拟）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
21．（8分）（2024•秦淮区模拟）在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度；B．实验室制取二氧化碳；C．探究凸透镜成像．并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）．根据数学知识回答下列问题：
（1）请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是 ；
（2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表法求解）．
22．（8分）（2024•建邺区模拟）如图，已知△ABC（AB＜AC＜BC），请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（1）在边BC上找一点M，使得：将△ABC沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合，请在图①中作出点M；
（2）在边BC上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D处，且ND⊥AC，请在图②中作出点N．
23．（8分）（2024•鼓楼区模拟）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，2≈1.41）
24．（8分）（2024•雨花台区模拟）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
25．（8分）（2024•建邺区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，BFDG=34，点I为△ABC的内心，求GI的长．
26．（10分）（2024•鼓楼区模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，其中m，n为实数．
（1）若该函数的对称轴是直线x＝2，则m＝ ；
（2）若该函数的图象经过点（m，9n），请判断该函数的图象与x轴的交点个数；
（3）该函数的图象经过点（x1，0），（x2，0），（1，a），（5，b）．若x2﹣x1＝1时，求a+b的取值范围．
27．（10分）（2024•雨花台区模拟）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
2024年中考押题预测卷01【南京卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2024•建邺区校级模拟）|﹣2|的值等于（ ）
A．2B．−12C．12D．﹣2
【分析】直接根据绝对值的意义求解．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
2．（2024•秦淮区校级模拟）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1300000＝1.3×106，
故选：C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2024•雨花台区模拟）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024B．0C．1D．2024
【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，再代入所求所占计算即可．
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣2，b＝2，
所以（a+b）2024＝02024＝0．
故选：B．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
4．（2024•雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
AD=ADDE=DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
5．（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，证△ACM≌△BCN，推出AM＝BN，即可解决问题．
【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，
则∠CMA＝∠CNB＝90°，
∵C（5，5），
∴CN＝CM＝5，
∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，
∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠MCN，
∴∠ACM＝∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
∠CMA=∠CNBCM=CN∠ACM=∠BCN，
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴AM＝BN，
∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
6．（2024•建邺区校级模拟）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．6+2B．32C．2+3D．3+2
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=2，令y＝0，则x=−2，
则A（−2，0），B（0，2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=(2)2+(2)2=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=AD2+CD2=2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=BC2−CD2=3x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x=3x，
解得：x=3+1，
∴AC=2x=2（3+1）=6+2，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2024•秦淮区校级模拟）22x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠12 ．
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2x﹣1≠0，
解得，x≠12，
故答案为：x≠12．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
8．（2024•鼓楼区模拟）分解因式：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）；
故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
9．（2024•雨花台区模拟）已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简bba+aab= −2122 ．
【分析】由a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b可知a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，继而知a+b＝﹣5，ab＝2，且a＜0，b＜0，将其代入到原式=−baba−aabb=−b2ab+a2abab=−ab[(a+b)2−2ab]ab可得答案．
【解答】解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，
则a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
则原式=−baba−aabb
=−b2ab+a2abab
=−ab[(a+b)2−2ab]ab
=−2×(25−4)2
=−2122，
故答案为：−2122．
【点睛】本题主要考查方程的解、韦达定理、二次根式的化简求值等知识点，根据a、b满足的等式判断出a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根且a+b＝﹣5，ab＝2，a＜0，b＜0是解题的关键．
10．（2024•建邺区校级模拟）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是 ﹣2 ．
【分析】根据已知等式得到x，y为一元二次方程a2﹣4a+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出x+y与xy的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，
∴x，y为方程a2﹣4a+3＝0的两根，
∴x+y＝4，xy＝3，
则原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
11．（2024•玄武区校级模拟）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 25 ．
【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为410=25，
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．（2024•玄武区校级模拟）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 24 cm．
【分析】根据题意，可以先设小长方形卡片的长为a cm，宽为b cm，然后即可表示出两个阴影部分的周长，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：设小长方形卡片的长为a cm，宽为b cm，
图②中两块阴影部分的周长和是：2a+（6﹣3b）×2+3b×2+（6﹣a）×2
＝2a+12﹣6b+6b+12﹣2a
＝24（cm），
故答案为：24．
【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，表示出阴影部分的长和宽．
13．（2024•建邺区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，OA⊥OB，OB＝2OA，反比例函数y1=1x（x＞0），y2=kx（x＜0）的图象分别经过点A，B，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出∴S△AOES△BOF=（OAOB）2=14，根据反比例函数系数k的几何意义得出12×112|k|=14，解得方程即可求得k＝﹣4．
【解答】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵OA⊥OB，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠OAE＝∠BOF，
∵∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴S△AOES△BOF=（OAOB）2=14，
∴12×112|k|=14
∴|k|＝4，
∴k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
14．（2023•南京三模）如图，在正六边形ABCDEF中，⊙O经过点E，且与AB，BC相切．若⊙O的半径为43，则正六边形的边长为 4+23 ．
【分析】先连接OB、OM、ON，根据题意可得△OBM≌△OBN，从而得出OB所在直线是正六边形的一条对称轴，再根据正六边形的性质和勾股定理可得MB＝4，OB＝8，再根据轴对称的性质得出B、O、E在一条直线上，即可得到BE的长，进而求出正六边形的边长．
【解答】解：连接OB、OM、ON，如图：
∵⊙O与AB，BC相切．
∴OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，OM＝ON，
又∵OB＝OB，
∴Rt△OBM≌Rt△OBN（HL），
∴OB所在直线是正六边形的一条对称轴，
在正六边形ABCDEF中，∠ABC＝120°，
∴∠MON＝60°，
∴∠MOB＝30°，
∵OM＝43，
∴MB＝4，OB＝8，
∵圆的对称轴是直径所在的直线，且经过点E，
∴O、B、E三点共线，
∴BE＝8+43，
根据正六边形的性质可得BC=12BE＝4+23，
故答案为：4+23，
【点睛】本题考查正六边形的性质和与圆有关的位置关系，轴对称等知识，关键是判定出O、B、E三点共线，
15．（2023春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 914 ．
【分析】作BH⊥CD交DC的延长线于点H，因为EG⊥CD，所以BH∥EG，由四边形ABCD是菱形，得AB＝BC＝CD，BE∥GH，则四边形BEGH是平行四边形，所以GH＝BE＝4，由折叠得GE＝BE＝4，则BH＝GE＝4，所以DH＝DG+GH＝7，由勾股定理得42+（7﹣AB）2＝AB2，求得AB=6514，所以AE＝AB﹣BE=914，于是得到问题的答案．
【解答】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵EG⊥CD，
∴BH∥EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，
∴BE∥GH，
∴四边形BEGH是平行四边形，
∴GH＝BE＝4，
由折叠得GE＝BE＝4，
∴BH＝GE＝4，
∵DG＝3，
∴DH＝DG+GH＝3+4＝7，
∵BH2+CH2＝BC2，CH＝7﹣CD＝7﹣AB，
∴42+（7﹣AB）2＝AB2，
解得AB=6514，
∴AE＝AB﹣BE=6514−4=914，
故答案为：914．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．（2024•建邺区校级模拟）已知点D（2，a）为直线y=−12x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为 6 ．
【分析】先求出点D的坐标（2，2），进而得出S四边形ACBD=12AB（2+1）=32AB，只要AB最小时，四边形ACBD的面积最小，而DA＝DB时，AB最小，即可得出结论．
【解答】解：如图，
取AB的中点F，连接DF，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝2DF
∵点D（2，a）为直线y=−12x+3上一点，
∴a=−12×2+3＝2，
∴D（2，2），
过点D作DE⊥AB于E，
∴DE＝2，E（2，0），
∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD=12AB•OC+12AB•DE=12AB（OC+DE）=32AB＝3DF，
要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，
∵点D（2，2），点F在x轴上，
∴当DF⊥x轴时，DF最小，最小值为DE＝2，
∴S四边形ACBD最小＝3×2＝6，
故答案为6．
【点睛】此题主要考查了点的坐标特点，三角形的面积公式，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，判断出DF最小时，四边形ACBD的面积最小．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2024•鼓楼区模拟）计算：（2−x−1x+1）÷x2+6x+9x2−1．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可．
【解答】解：原式=2(x+1)−(x−1)x+1•(x+1)(x−1)(x+3)2
=x+3x+1•(x+1)(x−1)(x+3)2
=x−1x+3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．（6分）（2024•鼓楼区模拟）解不等式组x+32≥x+13+4(x−1)＞−9，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：x+32≥x+1①3+4(x−1)＞−9②，
由①得x≤1，
由②得x＞﹣2，
故不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
把解集在数轴上表示出来为：
【点睛】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集．
19．（8分）（2024•秦淮区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再证∠CDF＝∠DCF，即可得出结论；
（2）证△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝6，再证△OCD是等边三角形，得OC＝OD＝6，则BD＝2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝63，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OD=12BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC=BD2−CD2=122−62=63，
∴S矩形ABCD＝BC•CD＝63×6＝363．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）（2024•鼓楼区模拟）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 变小 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【解答】解：（1）甲的众数为8，乙的平均数=15×（5+9+7+10+9）＝8，乙的中位数为9；
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
故答案为：8，8，9；变小．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．
21．（8分）（2024•秦淮区校级模拟）在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度；B．实验室制取二氧化碳；C．探究凸透镜成像．并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）．根据数学知识回答下列问题：
（1）请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是 13 ；
（2）请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表法求解）．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的结果有4种，
∴小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率为49．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2024•建邺区校级模拟）如图，已知△ABC（AB＜AC＜BC），请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（1）在边BC上找一点M，使得：将△ABC沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合，请在图①中作出点M；
（2）在边BC上找一点N，使得：将△ABC沿着过点N的某一条直线折叠，点B能落在边AC上的点D处，且ND⊥AC，请在图②中作出点N．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可在边BC上找一点M，使得：将△ABC沿着过点M的某一条直线折叠，点B与点C能重合；
（2）延长CB至G，作∠CBG的平分线，得过点B的垂线n，延长CA交n于点E，
作∠BEC的角平分线交BC于点N，过点N作AC的垂线m交AC于点D即可．
【解答】解：（1）如图1所示：点M即为所求作的点；
（2）如图2所示：点N即为所求作的点．
作图如下：
延长CB至G，
作∠CBG的平分线，
得过点B的垂线n，
延长CA交n于点E，
作∠BEC的角平分线交BC于点N，
过点N作AC的垂线m交AC于点D．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质．
23．（8分）（2024•鼓楼区模拟）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，2≈1.41）
【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长；
（2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB=AEcsA=576cs15°≈600（m），
即AB的长约为600m；
（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD•cs∠DCG＝600×cs45°＝600×22=3002（m），
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+3002≈1049（m），
即AF的长为1049m．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
24．（8分）（2024•雨花台区模拟）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（10，30）、（16，24）代入，得：10k+b=3016k+b=24，
解得：k=−1b=40，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
25．（8分）（2024•建邺区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，BFDG=34，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【分析】（1）连接OG，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠CAG，根据垂径定理得到OG⊥BC，根据平行线的性质得到OG⊥EF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）连接BI，BG，根据角平分线定义得到∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，推出∠BIG＝∠GBI，得到BG＝IG，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴BG=CG，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴AFAG=BFDG=34，
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴BGFG=AGBG，
∴BG2=8BG，
∴BG＝4（负值舍去），
∴GI的长为4．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
26．（10分）（2024•鼓楼区模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，其中m，n为实数．
（1）若该函数的对称轴是直线x＝2，则m＝ ﹣4 ；
（2）若该函数的图象经过点（m，9n），请判断该函数的图象与x轴的交点个数；
（3）该函数的图象经过点（x1，0），（x2，0），（1，a），（5，b）．若x2﹣x1＝1时，求a+b的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由对称轴是直线x＝2，从而−m2=2，计算可以得解；
（2）依据题意，令 y＝0，故 x2+mx+n＝0，从而Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n，又函数的图象经过点（m，9n），可得m2＝4n，最后可以判断Δ＝0，进而可以得解；
（3）依据题意，函数的图象经过点（x1，0），（x2，0），从而x1+x2＝﹣m，x1x2＝n，由(x1+x2)2−(x2−x1)2=4x1x2，可得m2﹣1＝4n，再将（1，a），（5，b）代入 y＝x2+mx+n 得，a＝1+m+n，b＝25+5m+n，故 a+b=6m+2n+26=6m+m2−12+26=12(m+6)2+152，
再结合二次函数的性质可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵对称轴是直线x＝2，
∴−m2=2．
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
（2）由题意，当y＝0时，
∴x2+mx+n＝0．
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n．
又∵函数的图象经过点（m，9n），
∴m2+m2+n＝9n．
∴m2＝4n．
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n＝0．
∴方程x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根．
∴函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有一个交点．
（3）函数的图象经过点（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是x2+mx+n＝0 的根．
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝n．
∵x2﹣x1＝1，
∴(x1+x2)2−(x2−x1)2=4x1x2．
∴m2﹣1＝4n．
将（1，a），（5，b）代入y＝x2+mx+n得，
a＝1+m+n，b＝25+5m+n，
∴a+b=6m+2n+26=6m+m2−12+26
=12(m+6)2+152，
∴a+b≥152．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
27．（10分）（2024•雨花台区模拟）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．
问题发现
奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．
如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．
如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长．
……
问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．
拓展延伸
小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．
问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．
【分析】问题1，
（1）由∠A+∠DEC＝180°，∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°得出结论；
（2）作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的性质得出CF＝EF=32，进而得出DF的值，可证得△ADG≌△DFC，从而AG＝DF，DG＝CF=32，进而在Rt△ABG中求得BG，进一步得出结果；
问题2，
连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，可证得四边形DEBF是矩形，从而BF＝DE，DF＝BE，在Rt△ACD中求得AD，进而求得BF＝DE=152，进而在Rt△BDE中求得DF＝BE=72，从而得出CF＝DF﹣CD=72−1=52，进而在Rt△BCF中求得BG的值，进一步得出结果．
【解答】问题1，
（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，
∴∠BED＝∠A，
∵∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠A+∠DEC＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝2∠ACB；
（2）解：如图1，
作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，
∴∠AGD＝∠DFC＝90°，
由折叠得，
AD＝DE，∠ADB＝∠BDE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF=12CE=32
∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（32）2=74，
∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，
∴2∠ADB+∠EDC＝180°，
∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°，
∴2∠DCE+∠EDC＝180°，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△ADG≌△DFC（AAS），
∴AG＝DF，DG＝CF=32，
在Rt△ABG中，由勾股定理得，
BG=AB2−AG2=42−74=572，
∴BD＝BG+DG=57+32；
问题2，
解：如图2，
连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，
∵AB＝BD，
∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE=12AD，
∵∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDE＝∠BDC，
∴CD∥BE，
∴CD⊥AD，
∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE，DF＝BE，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，
∴AD=42−12=15，
∴BF＝DE=152，
在Rt△BDE中，BD＝4，DE=152，
∴DF＝BE=42−(152)2=72，
∴CF＝DF﹣CD=72−1=52，
在Rt△BCF中，CF=52，BF=152，
∴BC=(52)2+(152)2=10．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
平均数
众数
中位数
方差
甲
8

8
0.4
乙

9

3.2
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2