2024年中考数学（山东济南）第二次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（山东济南）第二次模拟考试（含答案），共43页。试卷主要包含了下列运算正确的是，定义等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段．根据《海水淡化利用发展行动计划（2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到吨/日以上．数字用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A．32°B．48°C．58°D．68°
4．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题.小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从中随机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是矩形对角线，，，以为圆心、的长为半径作弧，交于，交于；再分别以，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．点到的距离为D．图中阴影部分面积为
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
12．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有 个白球．
13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是 ．
14．如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ．
15．甲、乙两车往返城与港口之间运送货物．某一天，甲车从城出发向港口行进，同时乙车从港口向城行进，图中，分别表示甲、乙两车距城的距离（千米）与所用时间（时）的关系图像，则甲到达港口所用的时间为 小时．
16．如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点．若，，则的长是 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分6分）计算：．
18.（本小题满分6分）解不等式组：，并写出最小整数解．
19.（本小题满分6分）如图，已知O为对角线的中点，过点O的直线与、的延长线相交于点E、F．求证：．
20.（本小题满分8分）如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
(1)若，，求点A到直线的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点C逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上，求旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（，，，，，，）．
21.（本小题满分8分）为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．七年级名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成组：，，， ）如图所示：
． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中的值为 ，补全频数分布直方图．
(2)八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由．
(3)若该校七年级共有 名学生，测试的成绩分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．
22.（本小题满分8分）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
(1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
23.（本小题满分10分）已知：如图，在中，，以为直径的与边相交于点D，，垂足为点E．
(1)求证：点D是的中点；
(2)求证：是的切线；
(3)若的直径为18，，求的长．
24.（本小题满分10分）阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来：
(2)在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：
(3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式；
(4)点在这条曲线上吗？说明理由．
25.（本小题满分12分）如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值；
(2)点D是直线下方抛物线L上一动点，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，，垂足为F．证明是直角三角形．
26.（本小题满分12分）通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．
2024年中考第二次模拟考试（山东济南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
此题主要考查了简单几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】解：从上面看，可得
故选：D．
2．海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段．根据《海水淡化利用发展行动计划（2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到吨/日以上．数字用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此解答即可．
【详解】．
故选：B．
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A．32°B．48°C．58°D．68°
【答案】A
【分析】
本题考查平行线的性质，熟练掌握基本知识是解题的关键．
是由平行线的性质推出，再由互余关系即可求解．
【详解】
解：，
，
．
故选：A．
4．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，，．
A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，
，则此项正确，符合题意；
D、，
，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义解及性质是解题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查幂的运算，完全平方公式，合并同类项．根据幂的运算，完全平方公式，合并同类项法则分别判断即可．
【详解】解：A选项：，故原计算错误，不符合题意；
B选项：与不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；
C选项：，故原计算错误，不符合题意；
D选项：，故原计算正确，符合题意．
故选：D
7．已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先判断出函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，判断出，，的大小关系，即可获得答案．
【详解】解：∵对于反比例函数，
∴该函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，
∵，
∴，，
∴．
故选：A．
8．小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题.小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从中随机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率，解题的关键是利用树形图分析出所有等可能结果．
【详解】解：设“招财祥龙”为①，“瑞狮福龙”为②，“龙凤呈祥”为③，“锦鲤旺龙”为④，树形图如下：
共有12种等可能结果，其中同时抽到①③的结果有2次，所以恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为，
故选：D．
9．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围．
【详解】解：由题意得：二次函数的图象上的顶点坐标为：，
∵y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，
∴二次函数的图象与以坐标为的正方形有交点，
当二次函数恰好经过时，则，
解得：或（舍去）；
如当二次函数恰好经过时，则，
解得或（舍去）；
∴当时，二次函数的图象存在“n阶方点”，
故选D．
10．如图，是矩形对角线，，，以为圆心、的长为半径作弧，交于，交于；再分别以，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．点到的距离为D．图中阴影部分面积为
【答案】C
【分析】连接，根据作图可得是的角平分线，进而判断A选项，根据得出，即可判断B选项，设，则，，解进而求得，即可判断C选项，根据求得阴影部分面积，即可判断D选项．
【详解】解：连接，
∵是矩形对角线，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，
∴，故A选项正确；
∵，
∴，
∴，故B选项正确；
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，是的角平分线，
∴，
设，则，，则，
又∵，
∴，
解得：，
∴，即点到的距离为，故C选项错误，符合题意；
图中阴影部分面积为，故D选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，求扇形面积，作角平分线，以及角平分线的性质；熟练掌握基本作图是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】/
【分析】
本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为：．
12．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有 个白球．
【答案】14
【分析】本题考查了利用频率估计概率．设白球有x个，然后根据概率的意义列出方程求解即可．
【详解】解：设白球有x个，根据题意得，，
解得，
即口袋中大约有14个白球．
故答案为：14．
13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的最大整数解是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到，再解不等式，然后在a的取值范围找出最大的整数即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以a的最大整数解为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
14．如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ．
【答案】8
【分析】
本题考查不规则图形面积，涉及勾股定理、扇形面积公式、圆的面积公式等知识，根据题意，利用勾股定理求出，从而由直角三角形面积公式、扇形面积公式及圆面积公式求出相应图形面积，间接表示阴影部分的面积为，代值求解即可得到答案，熟练掌握不规则图形面积的求法是解决问题关键．
【详解】解：如图所示：
在中，，，则，
；；；
阴影部分的面积为，
故答案为：8．
15．甲、乙两车往返城与港口之间运送货物．某一天，甲车从城出发向港口行进，同时乙车从港口向城行进，图中，分别表示甲、乙两车距城的距离（千米）与所用时间（时）的关系图像，则甲到达港口所用的时间为 小时．

【答案】
【分析】
设乙车距离城的距离与时间的函数关系式为，由图可知经过了和两个点，用待定系数法求出乙车的函数关系式，将代入关系式求出，两城的距离，由图可以求出甲车的速度，用路程除以速度就可以求出时间．
【详解】解：观察图像可知，图中函数为甲的图像，为乙的图像，
设乙车距离城的距离与时间的函数关系式为，
由图可知经过了和两个点，
，
解得：，
乙车距离城的距离与时间的函数关系式为，
当时，，
故，两城相距千米，
由图可知甲车的速度千米/小时，
则甲到达港口所用的时间小时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，观察图像找到相关的信息，求出乙车的函数关系式是解答本题的关键．
16．如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点．若，，则的长是 ．
【答案】
【分析】根据菱形中，可知是等边三角形，结合三线合一可得，求出，可得，则是直角三角形，借助勾股定理求出的长即可．
【详解】解：菱形，
，，
，
，
，
，
将沿直线翻折，得到，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】2
【分析】
先化简绝对值，计算零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂，再进行加减运算．
【详解】解：
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握零次幂、负整数指数幂的运算法则，牢记特殊角的三角函数值．
18．解不等式组：，并写出最小整数解．
【答案】，不等式组的最小整数解为2．
【分析】
本题主要考查了解不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的最小整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最小整数解为2．
19．如图，已知O为对角线的中点，过点O的直线与、的延长线相交于点E、F．求证：．
【答案】见详解
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，，再用证明，即可证明，再利用线段的和差和等量代换即可证明．
【详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
即．
20．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．
(1)若，，求点A到直线的距离．（精确到0.1mm）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点C逆时针旋转后，再将绕点D顺时针旋转，使点B落在直线上，求旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（，，，，，，）．
【答案】(1)点A到直线的距离是
(2)
【分析】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；
（1）过点C作于点F，过点A作于点G，由题意易得，则有，然后问题可求解；
（2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解
【详解】（1）
解：过点C作于点F，过点A作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵平行线间的距离处处相等，
∴点A到直线的距离是．
（2）
解：旋转后如图所示，
，
在中，
，
∴，
∴，
∴旋转40°．
21．为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．七年级名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成组：，，， ）如图所示：
． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中的值为 ，补全频数分布直方图．
(2)八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由．
(3)若该校七年级共有 名学生，测试的成绩分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．
【答案】(1)，见解析
(2)不正确，见解析
(3)人
【分析】
本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数，样本估计总体；
（1）根据中位数的定义，结合已知数据，即可求解，根据第三组的频数补全频数直方图；
（2）根据中位数的意义，即可求解．
（3）根据样本估计总体，用七年级测试的成绩分及以上的占比乘以，即可求解．
【详解】（1）解：七年级的中位数为第 和第个数据的平均数，
∴；
第三组的频数为（人）， 补全频数分布直方图如下
故答案为：．
（2）解：菲菲的说法不正确，
理由：77 分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以他的成绩低于本年级一半学生的成绩；
（3）解： （人），
答：估算该校七年级学生的总人数有 990 人．
22．普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
(1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
(2)再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，
根据题意得：10，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，
根据题意得：，
解得：，
设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时．
答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
23．已知：如图，在中，，以为直径的与边相交于点D，，垂足为点E．
(1)求证：点D是的中点；
(2)求证：是的切线；
(3)若的直径为18，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】
考查的是切线的判定和性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义：
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质证明；
（2）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
（3）根据余弦的概念、勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴点D是的中点；
（2）证明：连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∵是的半径，
∵是的切线；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
24．阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来：
(2)在平面直角坐标系中，画出F与L的函数图象：

(3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F关于L的函数表达式；
(4)点在这条曲线上吗？说明理由．
【答案】(1)见详解；
(2)将详解；
(3)这条曲线是反比例函数的一支，理由间详解，；
(4)点在这条曲线上，理由见详解；
【分析】
本题考查反比例函数的应用：
（1）根据杠杆原理逐个判断即可得到答案；
（2）描点划线即可得到答案；
（3）根据得到解析式即可得到答案；
（4）令代入解析式求解比较即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
∵，，，，，，，
∴第六组数据错误，
当时，，
故修正后的数据为：
（2）解：由（1）描点，划线如下，
；
（3）解：这条曲线是反比例函数的一支，理由如下，
由题意可得，
∵（），
∴这条曲线是反比例函数的一支，
∴；
（4）解：点在这条曲线上，理由如下，
当时，
，
∴点在这条曲线上．
25．如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值；
(2)点D是直线下方抛物线L上一动点，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，，垂足为F．证明是直角三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】
（1）由题意可知，将点A的坐标代入抛物线L即可得出m的值；
（2）设点D的坐标，表达的面积，并根据二次根式的性质可得出结论；
（3）由题可知，则点F是的中点，可求出的长，取的中点H，则是的中位线，则轴，由平移可得出抛物线M的解析式，联立可得点E的坐标，求出点E的坐标，即可得出轴，进而可得结论．
【详解】（1）解：，
，
在抛物线L：，
，解得：，
故答案为：；
（2）令，
解得：或，
，
令，则，
，
；
过点D作y轴的平行线于点G，
设，则，
，
，
当时，的面积最大，
，
；
（3）证明：如图，连接，
，
，
，
是的中点，，
:，
在中，，
，
过点F作于点H，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
轴，
将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，
则：，
令，解得：，
，
，
轴，
，即是直角三角形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理等，中位线性质定理，含角直角三角形特征，熟练掌握相关知识是解题关键．
26．通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”．
某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

(1)【问题探究】如图2，在正方形中，点分别在线段上，且，试猜想_________；
(2)【知识迁移】如图3，在矩形中，，点分别在线段上，且，试猜想的值，并证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在四边形中，，点分别在线段上，且，求的值．
【答案】(1)1，详见解析
(2)，详见解析
(3)，详见解析
【分析】（1）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，在正方形中，，证明，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，利用在长方形中，，证明，再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）如图3中，过点C作于点M．设交于点O，证明，推出，可得结论．
【详解】（1），理由如下：
如图1，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：1；
（2）如图2，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，

∴，
在长方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，过点C作于点M，设交于点O，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级
今天是年月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下册页“活动2”的探究活动．
如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点O的距离l（单位：），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么变化．
第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录（共记录了7组数据）．
第二步，整理数据．

第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级
今天是年月4日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了人教九年级下册页“活动2”的探究活动．
如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点O的距离l（单位：），看弹簧秤的示数F（单位，N）有什么变化．

第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点O的距离L，观察弹簧秤的示数F的值，并做好记录（共记录了7组数据）．
第二步，整理数据．

第三步，描点连线．以L的数值为横坐标，对应F的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．
在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这个数据．实验结束后，大家都有很多收获，每人都撰写了日记．
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
…
5
…
…
7
…