河北省邯郸市永年区2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份河北省邯郸市永年区2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D. 它们的大小关系不确定
答案：B
解：∵水果超市的苹果大小不一，而该顾客选购大小均匀的苹果，
∴说明顾客选购苹果的质量比水果超市的波动较小，
∴超市苹果质量的方差大于顾客选购苹果的方差，即，
故选：B．
2. 已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
答案：C
解：依题意，，，
解得：，
故选：C．
3. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形
C. 锐角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形
答案：C
解：∵，，
∴，，
∴，
∴的形状是锐角三角形．
故选：C．
4. 为的外接圆，，为的直径，若，则为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
5. 关于的方程，下列解法完全正确的是（ ）
A. 只有甲B. 只有乙C. 只有丙D. 乙和丁
答案：D
解：由方程两边不能都除以，
∴甲的解法错误；
∵，
移项得：，
∴，
∴或，
∴，．
∴乙的解法正确；
，
整理得
∵，，，
∴
∴
∴，．
∴丙解法错误；
，
整理得
配方得：，
∴，
∴，
∴，．
∴丁的解法正确；
故选D
6. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A. B. 1C. 或D. 1或3
答案：C
解：（1）当的圆心P在y轴左侧时，
P到y轴距离时，⊙P与y轴相切，
∴移动时间（秒）；
（2）当 的圆心P在y轴右侧时，
P到y轴距离时，与y轴相切，
∴移动时间（秒）．
故选C．
7. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F
∴，，
∴
∴
故答案为：B．
8. 如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：A．
9. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②当时，随的增大而减小，随的增大而增大；
③方程只有一个解；
④当时，．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解：直线与坐标轴交于、两点，
令x=0时，y=-1，令，x=-1，
∴，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
由图可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，故②正确；
∵，
∴反比例函数解析式为，
∴，
解得，或，
∴方程的解为，故③错误；
由图可知，当时，，故④错误；
综上所述，正确的有①②，共2个，
故选：B ．
10. 如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（ ）

A. 5B. 6C. 7D. 8
答案：B
解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，

∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
由切线长定理可知，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：B．
11. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选：B．
12. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若Ax1,y1和Bx2,y2均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为1,0，
把，1,0代入，可得：，解得，
∴，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即（其中），故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，故④错误，
故选：B．
二、填空题（四个小题，每题3分，共12分）
13. 如图，若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为__________．
答案：
解：∵二次函数图象的对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于的方程的另一个解为，
故答案为：．
14. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为__________．
答案：9
解：连接，，如下图，
∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
∵
∴，
∴这个正多边形的边数．
故答案为：9．
15. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为__________．
答案：3
解：由题意得，，
∵，
∴，
解得：，
∵不满足，故舍去，
∴，
故答案为：．
16. 如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为__________米．（结果保留）
答案：
解：过点作于点，
∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，
当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，
∴．
∵，
∴
，
∴，
∴秋千底部所经过的路径长．
故答案为：．
三、解答题（8道题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100
八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（）的学生共有多少人？
答案：（1）90；；25
（2）八年级的成绩更好，理由见解析
（3）580人
【小问1详解】
解：由题中的信息可得，七年级抽取的学生的竞赛成绩众数为90，即；
八年级20名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人），
八年级20名学生的竞赛成绩在D组的有（人），
八年级20名学生的竞赛成绩在D组的所占百分比为，即；
八年级20名学生的竞赛成绩的中位数是按从小到大顺序排列的第10和第11位的平均数，
八年级20名学生的竞赛成绩的中位数位于C组中，且按从小到大顺序排列的第1和第2位的平均数，
八年级抽取的学生的竞赛成绩中位数为，即．
故答案为：90；；25．
【小问2详解】
解：八年级的成绩更好，理由如下：
七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大，
八年级的成绩更好．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580人．
18. 如图，AB是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
答案：（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
证明：∵AB是半圆的直径，
∴，
∵为弧的中点，与交于点，
∴，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴，
∵为弧的中点，
∴，
∴，
∴．
19. 一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度．
答案：二，三；灯柱的高度为
解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
，
，
，
，
设，
则，
同理可得，
，
，
解得：，
，
答：灯柱的高度为．
20. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求：
（1）点D到地面的距离；
（2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
答案：（1）5米 （2）17.1米
【小问1详解】
解：∵斜坡的坡度，设，，
∵，
∴，
解得，
答：点D到地面的距离为米；
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
斜坡的坡度，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
塔高约为米．
21. 综合实践：
答案：（1）①四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）小路的宽为；（3）①；②甲和乙的说法都不正确，理由见解析
解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等，
故答案为：四种方案小路面积的大小相等；
②甲：；
乙：，
故答案为：，；
③甲：，
乙：，
故答案为：，；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
（3）①方法1：，
，
方法2：，
；
②由题意得：，
设方程的两个根分别为，，则，且，
则：，，
，
，
故甲和乙的说法都不正确．
22. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式；
（2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受．
答案：（1）
（2）这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受．
【小问1详解】
解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点，
设，
则，解得，
∴；
当时，，
∴，
∴，
当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点，
设，
则，解得，
∴；
当时，，
∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为
【小问2详解】
解：当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟），
∵，
∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受．
23. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交AB的延长线于F，连．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：如图，连接，

是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
【小问2详解】
解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
24. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式．
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离．
答案：（1）
（2）不能 （3）米
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
将点代入到中得，
解得，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∵，，
石块不能飞越防御墙．
【小问3详解】
解：由题意可知点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
直线的解析式为．
如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，
设点，则点的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为，
在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米．甲
乙
丙
丁
两边同时除以得到．
移项得：，
∴，
∴或，
∴，．
整理得
∵，，，
∴
∴
∴，．
整理得
配方得：，
∴，
∴，
∴，．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
89
89.5
八年级
89
91
项目主题
“亚运主题”草坪设计
项目情境
为了迎亚会，同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一
请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一
（1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？
①直观猜想；我认为__________；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想）
②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为__________和__________；
③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为__________和__________．
活动任务二
为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为2204平方米．
驱动问题二
（2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三
为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三
（3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长．
①若30米长的篱笆，请用函数表示y关于x的表达式．
②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗﹖请说明理由．