云南省名校联盟2026届高三上学期第三次联考数学试卷含解析（word版）

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二、选择题
三、填空题
12. −2 13.574,94 14.2
选填题详细解答
1. 解: 1+i⋅i=−1+i ,对应的点为 −1,1 ,位于第二象限,选 B.
2. 解: 由 xx−2>1 解得 x>2 ,故 B={x∣x>2} ,所以 A∩B={3,4} ,选 A.
3. 解: 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,csθ=2×2−32−32+1=2×2−38−43=12 ,故 tanθ=3 ,选 C.
4. 解: 圆 C 的半径 r=4 ,由已知得 12×42×sin∠ACB=8 ,故 sin∠ACB=1,∠ACB=90∘ ,所以 AB= 2r=42 ,选 D.
5. 解: 由 y=x3−6x2+13x−9 得 y′=3x2−12x+13,y′′=6x−12 ,令 y′′=0 ,得 x=2 ,此时 y=1 , 曲线 y=x3−6x2+13x−9 的对称中心为 2,1 ，由 AB=BC 知，点 A 、 C 关于点 B 对称，即 B2,1 ，故直线 l 过点 B2,1 ，斜率为 2，其方程为 y=2x−3 ，选 B.
6. 解: 由题得 xy−1=y+8>0 ,因为 x>0,y>0 ,所以 y>1 ,同理 x>1 ,将条件变形为 x−1 . y−1=9 ,则 x+9y=x−1+9y−1+10≥29x−1y−1+10=28 ,当 x=10,y=2 时取等号,所以 x+9y 的最小值为28,选 C.
7. 解: 函数 fx 的定义域为 −∞,0∪0,+∞ ,由 f−x+fx=2 ,得 f−x−1=−fx−1 ,令 gx=fx−1 ,则 g−x=−gx ,所以函数 gx 为奇函数, 因为函数 fx 在 0,+∞ 上的最大值为 -3,所以函数 gx 在 0,+∞ 上的最大值为 -4, 故函数 gx 在 −∞,0 上的最小值为 4,从而函数 fx 在 −∞,0 上的最小值为 5,选 D.
8. 解:①②两个直角三角形的两条直角边分别为 sinα 和 csα ，③④两个直角三角形的两条直角边分别为 sinβ 和 csβ ，过 F 作 CD 的垂线垂足为 H ，因为 AG=csβ ，所以 HD=csα ，如图一，则 ①②③④⑤这五个图形的面积之和为矩形 ABHG 与矩形 HDEF 面积的和，而 SABHG=sinαcsβ ， SHDEF=csαsinβ ,则 SABHG+SHDEF=sinαcsβ+csαsinβ=sinα+β ,故所求五个图形的面积之和为 sinα+β ,选 B.
数学(三)参考答案及评分标准・第 1 页(共 6 页) 另解:将这五个图形重新组合得到一个边长为 1,一个内角为 α+β 的菱形,如图二,则该菱形的面积为 sinα+β ,选 B.
图一 图二
9. 解: 由图得 14×2πω=π,ω=12 ,故 fx=2sin12x+φ ,由 f0=1 ,得 2sinφ=1 ,
由图知 fx 在 0,m 上单调递增,所以 φ=2kπ+π6,k∈Z ,
又 φ0 ,则 x0​2+y0​2=c2=16 ,又点 P 在 C 上得 x0​225+y0​29=1 ,两式联立解得 x0=574,y0=94 ,故点 P 的坐标为 574,94 .
14. 答案: 2
解: 过 A,D 分别作 BC 的垂线,垂足为 E,F ,则 EF=AD ,
因为底面 ABCD 是等腰梯形, AD=1,BC=2 ,则 BE=12 ,
所以 AE=32 ,又 EC=32 ,所以 AC=3 .
而 AB2+AC2=4=BC2 ,所以 ∠BAC=π2 ,
取 BC 的中点为 O1 ,则 O1 四边形 ABCD 外接圆的圆心,
则该圆的半径为 O1A=1 ,取 PA 的中点为 G ,
作 GO//AO1 ，且 GO=AO1 ，因为 PA⊥ 底面 ABCD ，
数学(三)参考答案及评分标准 · 第 3 页(共 6 页)
所以四边形 OO1AG 为矩形,则 OO1⊥ 平面 ABCD ,故 OA=OP ,
所以 O 为四棱锥 P−ABCD 外接球的球心, OO1=AG=3 ,而 OA2=O1O2+O1A2=4 ,
所以 OA=R=2 .
15. 解:(1)由题得 0.04+m+0.24+0.2+0.18+0.12+0.06=1 ，解得 m=0.16 . 2 分设样本时长的中位数为 x,0.44+0.22×x−10=0.5 ,解得 x=10.6 . 4 分
(2)由数据知，样本订单从入库到送达的时长位于 12,14 的订单数为 200×0.18=36 ，
样本订单从入库到送达的时长位于 [14,16) 的订单数为 200×0.12=24 ,
样本订单从入库到送达的时长位于 16,18 的订单数为 200×0.06=12 ,
所以采用按比例分配的分层抽样方法从样本订单的时长位于 [12,14),14,16),16,18 的订单中分别抽取的单数为12,8,4. 6 分
(3)由表中数据知,从入库到送达的时长位于 6,8 的订单数为 200×0.16=32 ,
从入库到送达的时长位于 [8,10) 的订单数为 200×0.24=48 ,所以总平均数 z= 32×7.2+48×8.732+48=8.1 (小时),总方差 s2=3232+48×0.49+7.2−8.12+4832+48×[0.64+ 8.7−8.12=1.12 . 13 分

16. 解:(1)证明:取 A1B 的中点为 G ，连接 DG ， GE ，
由已知 D 是 A1B1 的中点， AA1=4 ，得 DG=2 ，且 DG//BB1 ，
而 CE=C1F=1 ，所以 EF=2 ，且 EF//BB1 ，所以 DG//EF ，
DG=EF ,故四边形 DGEF 是平行四边形,所以 DF//GE .
又 GE⊂ 平面 A1BE ,所以 DF// 平面 A1BE . 5 分
(2)因为 ABC−A1B1C1 为直三棱柱， AB⊥BC ，
所以 AB⊥ 平面 BCC1B1 ,则 AB⊥BE ,由已知计算得
AB=3,BE=2 ,所以 S△ABE=62 ,
点 E 到平面 A1AB 的距离等于 BC=1,S△A1AB=23 ,
因为 VA1−ABE=VE−A1AB ，设点 A1 到平面 ABE 的距离为 d ，
则 13×62×d=13×23×1 ,所以 d=22 .
所以点 A1 到平面 ABE 的距离为 22 . 10 分
(3)以 B 为原点建立空间直角坐标系 B−xyz ，如图，则 A0,3,0 ， C1,0,0 ，
E1,0,1,A10,3,4,BA1=0,3,4,BE=1,0,1,
设平面 A1BE 的法向量为 n=x,y,z ,由 n⋅BA1=0,n⋅BE=0 得 3y+4z=0,x+z=0,
令 z=−3 得平面 A1BE 的一个法向量为 n=3,4,−3 ,
数学(三)参考答案及评分标准 - 第 4 页(共 6 页)
平面 ABC 的一个法向量 m=0,0,1 ,设平面 A1BE 与平面 ABC 夹角为 θ ,
则 csθ=m⋅nmn=322 ,所以平面 A1BE 与平面 ABC 夹角的余弦值为 6622 . 15 分
17. 解: (1) 证明: 令 n=1 ,则 S1=16a1+1a1+2 ,由 S1=a1 得 a1​2−3a1+2=0 ,解得 a1=1 或 a1=2 ,因为 Sn=16an+1an+2 ,则 Sn+1=16an+1+1an+1+2 ,两式相减得
an+1=16an+1+1an+1+2−an+1an+2 ,化简得 an+1​2−3an+1−an​2−3an=0 ,
因式分解得 an+1+anan+1−an−3=0 ,由已知 an>0 ,故 an+1−an=3 .
所以 an 是公差为 3 的等差数列. 5 分
当 a1=1 时,数列 an 的通项公式为 an=3n−2 ,
当 a1=2 时,数列 an 的通项公式为 an=3n−1 . 7 分
(2)满足条件的数列有两个:
数列 1:an=3n−2 ,即 1,4,7,10,13,⋯
数列 2:an=3n−1 ,即 2,5,8,11,14,⋯
将这两项合并后按升序排列,得到 bn:1,2,4,5,7,8,10,11,13,⋯
所以数列 bn 是所有不能被 3 整除的正整数序列,
所以数列 bn 的通项公式为 bn=3n−12,n为奇数,3n−22,n为偶数. 10 分
当 n 为偶数时,设 n=2k,k∈N∗ ,则
Tn=k1+3k−22+k2+3k−12=3k2 ,将 k=n2 代入得 Tn=3n24 ,
当 n 为奇数时,设 n=2k−1,k∈N∗ ,则
Tn=k1+3k−22+k−12+3k−1−12=3k2−3k+1 ,将 k=n+12 代入得 Tn=3n2+14 ,
因此 Tn=3n2+14,n为奇数,3n24,n为偶数. 15 分

18. 解: (1) 设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,直线 AB 的方程为 x=my+t ,由 y2=4x,x=my+t, 得 y2−4my−4t=0,Δ=4m2+16t>0 时,则 y1+y2=4m , y1y2=−4t
因为直线 AB 经过点 F1,0 ,所以 t=1 ,故 y1y2=−4 ,此时 Δ>0
而 A,B 两点在 E 上,故 y12=4x1,y22=4x2 ,所以 x1x2=y12y2216=1 ,
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=1−4=−3 . 7 分
(2)设 Cx3,y3 ， Dx4,y4 ，因为直线 AC ， BD 经过点 T2,0 ，
由 (1) 知 y1y3=−8,y2y4=−8 ,设直线 CD 的方程为 x=ny+q ,
同理得 y2−4ny−4q=0,Δ=4n2+16q>0 ,则 y3+y4=4n,y3y4=−4q ,
由 y1y3⋅y2y4=y1y2⋅y3y4=64 ,而 y1y2=−4 ,所以 y3y4=−16 ,故 q=4 .
所以直线 CD 经过定点 N4,0 ,且 y3y4=−16 , 11 分
S△CDT=12TN⋅y3−y4=12×2×y3+y42−4y3y4=4n2−4×−16=4n2+4≥8 , 当且仅当 n=0 时等号成立,所以 △CDT 面积的最小值为 8 . 17 分
19. 解: (1) 由题, f′x=alnx−2x,x>0 .
令 gx=alnx−2x ,则 g′x=a−2xx ,
若 a≤0 ,则 g′x0 ,当 0a2 时, g′x0,fx 在 0,a2 上单调递增; 在 a2,+∞ 上单调递减. 5 分
(2)(j)函数 fx 在定义域内有两个极值点，等价于 f′x 在区间 0,+∞ 上恰有两个“变号” 零点,据 1 知, a>0 ,且 f′a2=alna2−a>0 ,解得 a>2e ,所以 a 的取值范围为 2e,+∞ .
9 分
(ii) 证明: 因为 x1,x2 是 f′x=alnx−2x=0 的两根,
所以 alnx1−2x1=0,alnx2−2x2=0, 即 alnx1=2x1,alnx2=2x2, 两式相减,得 a=2x1−x2lnx1−lnx2=2x2−x1lnx2−lnx1 ,
又 fx1=ax1lnx1−x12−ax1+1=2x12−x12−ax1+1=x12−ax1+1 ,
同理 fx2=x22−ax2+1 ,
要证 fx1+fx2