中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2026届高三上学期12月测试数学试卷含答案（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知相关变量 和 的散点图如图所示,若用 与 拟合时,决定系数分别为 和 ,则比较 和 的大小结果为

A. B. C. D. 不确定
【答案】C
2.已知集合 ，集合 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则
A. 4 B. 2C. D.
【答案】C
4.已知数列 的前 项和为 ,数列 满足 ,则
A. 1988 B. -1962 C. 32 D. -29
【答案】B
5.如图所示在 中, 为边 的四等分点,则
A. B. C. D.
【答案】A
6.已知 的内角 满足 ,则下列说法错误的是
A. B. 是直角三角形
C. D. 是钝角三角形
【答案】B
7.函数 的图象如图所示,下列说法错误的是
A.
B. 向左平移 个单位后是奇函数
C. 的对称轴为
D. 的减区间为
【答案】A
8.已知定义在 上的函数 满足 ,且当 时, ,则下列说法正确的是
A. 函数 是具有周期性的奇函数
B. 若关于 的方程 在 上有且仅有一个根,则
C. ,满足
D. 若 的图象与直线 在 上恰有 3 个交点,则
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若 为复数，则下列说法正确的是
A. 若 ,则 为实数
B.
C. 若 ，则 的最大值为
D. 若 ,则 在复平面内对应的点在第二象限
【答案】ACD
10.已知苗圃中树苗的高度 服从正态分布 ，现从苗圃中随机抽取了 100 棵树苗进行高度统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图, 将样本频率当做概率, 则下列结论正确的是
A.
B. 树苗高度的下四分位数的估计值为 105
C. 若从高度位于第一组和第七组的样本树苗中随机抽取 2 棵,记他们的高度分别为 ,则 的概率为
D. 已知落在 的平均高度是 88,方差是 8,落在 的平均高度为 96,方差是 4,则两组树苗合并后的方差为 17
【答案】ACD
11.如图所示，正方体 的棱长为 2，点 和点 分别是棱 上的动点，则下列说法正确的是
A. 过点 的正方体截面可以是直角三角形
B. 为定值 4
C. 直线 与直线 所成角余弦值的取值范围为
D. 直线 与面 夹角的最小值为
【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在 的展开式中,含 项的系数为________.
【答案】-720
13.三棱锥 的四个顶点均在半径为 3 的球 表面上,线段 恰经过 的外心 且 ，则棱 的长为_______.
【答案】
14.若关于 的不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围为________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 .
(1)若存在 使得 成立，求 的取值范围；
(2)当 时， 在定义域内恒成立，求 的取值范围.
【解析】(1)方法一:存在 使得 成立,
即存在 使得 成立
设
令
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
方法二: ,
① 当 时， ，函数 在 上单调递增，因为 ， 所以总存在 使得 成立
② 当 时,令 解得 ; 令 解得 ,
故此时函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
因为存在 使得 成立,
综上所述,
(2)由(1)可知，当 时， 在 恒成立
所以函数 在 恒成立,
方法一:问题转化为 在 恒成立
设
设 ,当 ,
在 单调递增
当 ,
故 在 单调递增
根据洛必达法则, ,
方法二: 设
① 当 时，
在 恒成立, 在 单调递增,
,即 在 恒成立
②当 时，
由 ,解得 在 单调递增,
由 ,解得 在 单调递减,
,
即 在 不能恒成立,舍去
综上所述， .
16.已知圆 的圆心在直线 上，且过点 .
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为 2，求直线 的方程.
【解析】(1) 中，由 得 s
如图所示，过 作 于 ，
又 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,
平面
的距离，
在 中,
(2) 中，由题意 可知: ，
或-1(舍),即 8 分
如图所示,过 作 于 与 交于点 ,
由(1)可知 平面 ，
平面 ，
，同理可证 ，
又 平面 ，
平面 12 分
平面 ，
14 分
.
17.牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿法: 用“作切线”的方法求方程的近似解. 具体步骤如下: 设 是函数 的一个零点,任意选取 作为 的初始近似值,在点 处作曲线 的切线 ,设 与 轴交于点 ; 在点 处作曲线 的切线 ,设 与 轴交于点 重复以上过程,得 的近似值序列: ,并称数列 为函数 的牛顿数列. 已知函数 ,函数 满足 .
(1)求函数 的解析式;
(2)若数列 满足 且 (e 为自然对数)，求数列 的前 项积 .
【解析】
(1)易知
设切点为 ,
由切线几何意义得斜率为
故切线方程为
由给定定义知 在该直线上,代入直线得
所以 6 分 (不写定义域不扣分)
(2)因为
所以 ,
所以数列 是一个首项为 -1,公比为 2 的等比数列
可得
所以
(或 ) .
18.养鱼户在某个池塘中养殖鳜鱼、鲢鱼和草鱼，为统计池塘中鱼的数量，采用标记重捕法: 先从鱼塘中捞出 条鱼,在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘. 一段时间后,再从鱼塘中捞出 条鱼,并统计身上有标记的鱼的数目 ,就能估计出鱼塘中的鱼的总数 . 已知养鱼户第一次捕捞了 1000 条鱼, 做好标记放回一段时间后, 再次捕捞了 2000 条鱼, 具体情况如下表:
(1)请根据两次捕捞和标记情况，利用标记重捕法估计池塘中鱼的总数；
(2)已知鱼苗经养殖一年后，鳜鱼的市场价为 40 元/ 条，鲢鱼和草鱼都是 12 元/ 条，以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计总体, 用频率估计概率, 假设一网捕捞 40 条鱼, 鱼的总市场价为随机变量 .
(i) 求 的均值;
(ii) 是否有 90%的把握认为一网鱼的市场总价超过 500 元(即一网鱼总价超过 500 元的概率不小于 0.9 ) ?
参考数据: .
【解析】(1)根据题意得 ， ， ，
所以 (条)
(2)(i)由题意可知以第一次捕捞鱼的情况作为样本估计整体，一网鱼中某条鱼为鳜鱼的概率为 ， 所以一网鱼中鳜鱼的数量
所以
(元)
(ii) 当一网鱼没有鳜鱼时, 总价为 480 元, 有一条鳜鱼时, 总价为 508 元, 一网鱼总价超过 500 元即一网鱼中至少有一条鳜鱼
由 (i) 得,
因为
所以
所以有 90% 的把握认为一网鱼的市场总价超过 500 元 .
19.已知抛物线 是准线,平面内一动点 到点 的距离是到直线 的距离的一半,记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程，并说明 是什么曲线；
(2)已知 ，过 点的直线交 于 点，过 点的直线交 于 点，直线 过点 ,直线 交于点 ,直线 交于点 ,求线段 的最小值.
【解析】(1)抛物线 的准线
设 到直线 的距离为 ,由题意知,
,
所以 是椭圆
(2)由题意设直线 方程为 ，
与椭圆方程联立可得: 恒成立
①
直线 的方程为: ②
直线 的方程为: ③
联立②③可得 ,
带入 可得
将①带入可得 ,所以点 的横坐标为 4
同理可得点 的横坐标为 4,
直线 为定直线:
,
故设直线 方程为: ,
设直线 方程为: ,
,当且仅当 时取等号 .种类
鳜鱼
鲢鱼
草鱼
第一次捕捞鱼(条)
100
600
300
第二次捕捞鱼(条)
197
1211
592
第二次捕捞标记鱼(条)
5
30
15