四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线与直线间的距离是（ ）
A．B．C．D．１
/2、双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3、已知向量，，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4、已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ）
A．x22+y2=1B．x24+y2=1C．x23+y22=1D．x24+y23=1
5、已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
6、已知抛物线y2=12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q(5,2)，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7、某校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8、设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9、下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是
C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的离心率
10、已知圆C1:x-12+y2=1和圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0，则（ ）．
A．圆C2的半径为4
B．y轴为圆C1与C2的公切线
C．圆C1与C2公共弦所在的直线方程为x+2y-2=0
D．圆C1与C2上共有3个点到直线2x-y-2=0的距离为1
11、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．点在以为圆心，16为半径的圆上 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12、已知直线与圆相交于、两点，则 .
13、已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________．
14、 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（13分）
已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为．
（1）求经过点Q且与直线平行的直线方程；
（2）求线段的中垂线方程．
16、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组.

（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17、（15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E为PD中点.
(1)求证：AE⊥平面PDC；
(2)求平面AEC与平面ADE夹角的余弦值.
18、（17分）
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+y=0，焦点到渐近线的距离为6.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设O为坐标原点，若直线l过点(0,2)，与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且△AOB的面积为26，求直线l的方程.
19、（17分）
已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
12月月考数学答案
一、单选题。
1-8 BCDD CCDD
8、【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直，
如图所示，则，
由点到直线的距离公式可得，又，所以．
设，则，得，从而，
由，解得，
由，得，解得．
从而可得，所以离心率．
故选：D．
二、多选题。
9、BCD 10、BC 11、ABC
10、【解答过程】对于A，圆C2:x2+y2-4x-4y+4=0化为标准方程为x-22+y-22=4，则圆C2的半径为2，故A错误．
对于B，因为圆心C11,0到y轴的距离为1，等于圆C1的半径，
所以圆C1与y轴相切，
同理圆心C22,2到y轴的距离等于圆C2的半径，
所以圆C2与y轴相切，故y轴为圆C1与C2的公切线，故B正确．
对于C，将x-12+y2=1与x2+y2-4x-4y+4=0左右分别相减，得圆C1与C2的公共弦所在的直线方程为x+2y-2=0，故C正确．
对于D，如图，
因为直线2x-y-2=0同时经过两圆的圆心，
依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线l1与l2，
其中l1与l2和圆C1都相切，各有一个公共点，
l1与l2和圆C2都相交，各有两个交点，
故圆C1与C2上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1，故D错误.
故选：BC.
11、【详解】对A：由题意可得，，
则，，
则，故A正确；
对B：由椭圆光学性质结合可得为的角平分线，
又，
则，
化简得，即，故B正确；
对C：由椭圆光学性质可得在直线上，且，
则，故点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确；
对D：由正弦定理可得，，
即有，，
又、，
故，则，
即，故，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题。
12、 13、 14 14、
14、【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离，
所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即，
此时，所以，故的最大值为.

故答案为：.
四、解答题。
15、【小问1详解】
设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点，
则，解得，所以所求直线方程为（6分）
【小问2详解】
由，解得，则点，线段的中点为，...（8分）
直线的斜率，线段的中垂线斜率，...（10分）
所以线段的中垂线方程为，即（13分）
16、小问1详解】
由直方图知：，可得， （3分）
∴500名志愿者中年龄在的人数为人（6分）
【小问2详解】
由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， （9分）
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15个，...（13分）
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. （15分）
17、【解答过程】（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，（1分）
又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，（2分）
又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，（3分）
∵PA=AD=2，且E为PD中点，∴AE⊥PD，（4分）
又CD∩PD=D，CD,PD⊂平面PDC，
∴AE⊥平面PDC．（6分）
（2）如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，

则A0,0,0，D(0,2,0)，E0,1,1，C(2,2,0)，B(2,0,0)，（8分）
∴AE=(0,1,1)，AC=(2,2,0)，∴平面ADE的法向量为AB=(2,0,0)，（10分）
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=0n⋅AC=0，即y+z=02x+2y=0，
令x=1，则y=-1，z=1，∴n=(1,-1,1)，（12分）
∴cs〈AB,n〉=22×3=33．
设平面AEC与平面ADE夹角为θ，则csθ=cs〈AB,n〉=33，（14分）
所以平面AEC与平面ADE夹角的余弦值为33． ..（15分）
18、【解答过程】（1）∵双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+y=0，
∴ba=3，即b=3a， （2分）
∵双曲线C的焦点坐标为±c,0，焦点到渐近线的距离为6，
∴±3c32+12=6，即c=22，（4分）.
又c2=a2+b2，则222=a2+3a2，解得a2=2,b2=6，
所以双曲线C的方程为x22-y26=1．（6分）
（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+2，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
由y=kx+2x22-y26=1得(3-k2)x2-4kx-10=0，
由题意得3-k2≠0Δ=16k2+40(3-k2)=120-24k2>0x1x2=-103-k2