安徽省江南十校2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷

这是一份安徽省江南十校2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

12 月联考参考答案
一、选择题
1C集合 A = 0,1 ,B = N,A ∩ B = 0,1 ;
(
(
D对于 A 选项， y = x 在定义域内是增函数， B,C 选项，函数在定义域内不单调，选 D.
题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
B
A
A
B
BD
ACD
当 x > 0 时， f (x
= 1 3
x
, 当 x < 0 时， f (x
=- 1
3
x
, 故选 A
C当区间 (a,b 的长度 b -a < ε 时，区间 (a,b 内的每一个值都可以作为近似解，经检验，
1.875 -1.75 = 0.125 > 0.1,1.8125 -1.75 = 0.0625 < 0.1 满足条件，故选 C.
B函数 f (x 是 R 上的奇函数，由 f (1 = 1, 得 f (-1 =-1, 经检验，选 B.
A对于选项 A, 令 a =-1,b =-2,c =-3, 则 a + b = c, 矛盾，故选 A.
A若 m > n > 1, 则 lgmn < lgmm = 1, 反过来， lg 1 1 = 0 < 1 ⇏ 1 > 1, 即 m > n > 1 是
22
x-2
lgmn < 1 成立的充分不必要条件, 故选 A.
B函数 f (x
= x-1
x-2
= 1 + 1 , 其对称中心为(2,1 , 该点在直线 y = ax + b 上，于是由 2a +
5
b = 1,a2 + b2 = a2 + (1 -2a 2 = 5a2 - 4a + 1 = 5(a - 2
2 + 1
5
≥ 1 . 5
2
BD 令 x = 1 ，得 f (1 = 1, 故 A 选项错误， f (2x = 8x3 = (2x 3, 故 f (x = x3,B 选项正确，对
于 C,f (2x 的定义域为-1,1 , -2 ≤ 2x ≤ 2, 即 f 可以作用[-2,2] 范围内的数，故 f (x 的定义域为
-2,2 , 故选项 C 错误，由于 f (x 是 -2,2 上的奇函数， f (x-1 是 f (x 向右平移一个单位，故
f (x 关于(1,0 点成中心对称, 故 D 选项正确.
ABD 由于 0 = lg0.31 < lg0.30.4 < lg0.30.3 = 1,lg20.4 < lg20.5 =-1 故选项 A,B 正确，对于
mn
D 选项，由 mn < 0, m + n
= 1
m
+ 1
n
= lg0.40.3 + lg0.42 = lg0.40.6 < 1, 得 m + n > mn, 故正确.
ACD
5
如图，作出函数 M (x 的图象，联立方程 y = x - 2 及 y =-x2 + 4x
2
- 3 得 x2 - 3x + 1 = 0, 解得： B 点横坐标为 3 + ,B 点纵坐标为
2
5 -1 , 故选项 A 正确； M (x = m 有三个不相等的实根， m = 1
2
或 m = 5 -1 , 故选项 B 错误；令 y = 1, 当 x ≤ 1 时， x2 - 4x + 3
2
= 1, 解得 A 点横坐标为 2 - 2 , 当 x > 1 时，容易解得 x = 2 或 x
2
= 3，因此 b - a 长度的最大值为 3 - (2 -
=
+ 1, 故选项 C
5 + 13
2
正确；对于 D 选项，取 y = x, 联立 y = M (x 解得 D 点横坐标为
2
, 根据图象，取区间0,3 及 l0, 5 + 13满足条件．故正
确.
二、填空题
0,e易知 x > 1 时， lnx = 1, 解得： x = e，当 x ≤ 1 时， -ex + 2 = 1, 解得： x = 0. 即方程的
解集为0,e .
3 令 f (x = lnx + 2 x , 则 f (x 在 (0. +∞ 单调递增, 由条件知 f (m = 1 , f (3 -n =
ln (3 -n +2(3 -n = 1 故 f (m = f (3 -n ⇒ m = 3 - n, 即 m + n = 3.
14． -∞,依题设有 k + b = 3, 一次函数 y = kx + b 在 x 轴、 y 轴的截距分别为： - b ,b, 图象与
k
坐标轴围成的三角形的面积为 1 - b ∙ b = b2
(3 -k 2
≤ 2 ⇒
≤ 2 ⇒ (3 -k 2 ≤ 4k ，若 k < 0, 上式
2k2k
2k
化成 k2 - 2k + 9 ≤ 0, 无解，故 k > 0, 此时上述不等式化成 k2 - 10k + 9 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ k ≤ 9,(k ≠ 3 故 P
x
= 1,3 ∪ (3,9 , 若存在 x ∈ P，使得不等式 x2 + 9 > mx 成立，即 m < x2 + 9 成立， m 小于代数式
x2 + 9
x
的最大值就可以了，令函数 g(x
= x2 + 9 , 熟知 g(x
在 1,3
上是递减的，在 (3,9
是递增
x
的，而 g(1 = g(9 = 10, 所以 m 的取值范围为(-∞,10
5
2
15解： (I 原式= 5lg5 - 2(lg2 + lg5)
= 5 - 2
2
分
= 16
2
由
Ⅱ 1- 1
1- 1 2-1-1
+ 2 = 9, 故 a 2 + a
2 = 3.10 分
(a 2 - a 2 = 5 , 得： 5 = (a 2 - a 2 ) = a + a- 2 ⇒ a + a= 7.8 分
(a 2 + a
2 ) = a + a
而
1- 1 2-1
1- 1
3
3
进一步有-
1- 1-1
a 2 + a 2 = (a 2 + a 2 )(a -1 + a= 18.12 分
3- 3
于是 a 2 + a 2 + 2 = 20 = 1013 分
a + a-1 -163
16 解： (Ia3 + b3 - (a2b + ab2 = (a + b (a2-ab + b2 - ab(a + b
= (a + b (a -b)2
由 a,b > 0 知(a + b (a -b)2 ≥ 0, 因此 a3 + b3 ≥ a2b + ab26 分
(Ⅱ 证明：由题设 a,b,c > 0, 及基本不等式 a + b ≥ 2 ab 知,
(a + b)2 ≥ 4ab ⇒ (a + b)2 ≥ 4 ⇒ a + b ≥ 4 ⇒ 1 + 1 ≥ 4 12 分
同理， 1
+ 1
ab
≥ 4 , 1
ab
+ 1
a + bab
≥ 4
a + b
bcb + c cac+ a
( 1 + 1 ) + ( 1 + 1+ ( 1 + 1≥ 4 + 4 + 4 14 分
abbc
caa + b
b + c
c+ a
即： 1 + 1 + 1 ≥ 2 + 2 + 2 15 分
abc
a + bb + cc+ a
17 解： (I 当总质比为 50 时， v = 2000 ∙ ln50，由参考数据得 v = 2000 × 3.9 = 7800m/s，
7800 < 7900, 即该型火箭的最大速度达不到第一宇宙速度；5 分
（Ⅱ由题意，经过材料更新和技术改进后，该型火箭的喷流相对速度为 3000m/s，总质比变
为 M ，要使火箭的最大速度至少增加 1000m/s，则需 3000ln M - 2000ln M ≥ 1000，化简得：
3m3mm
3ln M - 2ln M ≥ 1，整理得 ln( M )3 - ln( M )2 ≥ 1，即 ln M ≥ 1 ⇒ M ≥ e
3m
m
即： M
m
≥ 27e
3mm
27m
27m
由参考数据， 2.718 < e < 2.719 ⇒ 73.386 < 27e < 73.413，
因此，技术改进前火箭的总质比的最小整数值为 74.15 分
18 (以题意， f (1 = 0, 即 a + b + c = 0，又 f (x+ y = a (x+ y 2+ b(x+ y + c（1）,
f (x + f (y + 2xy + 2 = a(x2 + y2) + b(x + y) + 2c + 2xy + 2 （2）比较（1）（2）式的系数得：
2a = 2,c + 2 = 0, 即 a = 1,c =-2, 进而 b = 14 分
所以 f (x = x2 + x - 2.5 分
(Ⅱ 依题设 k(x2+ x-2 < (k2+ 1 x 对∀ k ∈ 0,2 恒成立，
（1）当 k = 0 时， x > 0,7 分
x
（2）当 0 < k ≤ 2 时， x2 + x-2
< k2 + 1 ,
k
令 g(k
= k2 + 1 , 则 g(k k
= k + 1
k
≥ 2, 当且仅当 k = 1 取等号11 分
x
此时只须 x2 + x-2 < 2, 即 x2 - x - 2 < 0, 解得： -1 < x < 2.16 分
由（1）（2）可得 x 的取值范围为(0,217 分
19 解： (I 由 f (x = lg3(9x + 1 -kx 为偶函数知，
f (x - f (-x = lg3(9x + 1 -kx - lg3(9-x + 1 -kx
= lg 9x + 1 -2kx= lg (9x + 1 9x -2kx= lg 9x -2kx= 2x-2kx= 0
3 9-x + 139x + 13
解得 k = 15 分
(Ⅱ 当 x ≥ 0 时， g(x = lg3(9x + 1 -2x-a 有零点，令 g(x = 0,
则 a = lg3(9x + 1 -2x
令 m(x = lg (9x+ 1 -2x = lg 9x + 1 = lg (1 + 1 ), 下面证明 m(x 在[0, +∞) 是单调递减
33 9x
的。
39x
∀ 0 ≤ x1 < x2 1 ⇒ 1 + 1 > 1 + 1 ⇒ lg3(1 + 1 ) > lg3(1 + 1 )
即 m(x1
> m(x2 , 得证；
9x1
9x2
9x1
9x2
9x1
9x2
于是 m(x ≤ m(0 = lg328 分
显然 1 + 1
9x
> 1,m(x
> 0，因此实数 a 的取值范围是(0,lg32]10 分
(Ⅲ 函数 f (x 与 h(x 的图象只有一个公共点⇔方程 f (x = h(x 有唯一解，即
lg3(9x + 1 -x = lg3(m ∙ 3x -2m 有唯一解，进一步变形得：
lg3(9x+ 1 = lg3m(3x-2)∙ 3x ⇒ 9x + 1 = m(3x - 2) ∙ 3x ⇒ (m -1 9x - 2m ∙ 3x - 1 = 0
令 3x = t, 则 t > 0, 上述方程化为(m -1 t2 - 2m ∙ t - 1 = 0 有一个正根12 分
2
（1）若 m = 1,t =- 1 , 舍去；
若 m > 1,m - 1 > 0, 此时方程恰有一正根，满足；
5
5
若 m < 1, 此时若方程有两不同根，则两根必同号，不满足，若方程有两相同根，
2
2
Δ = 4m2 + 4(m -1 = 0，解得 m = -1 + , 此时方程为负根，舍去，或 m = -1 - 满足.
综上，实数 m 的取值范围为(1,+∞
-1 -
5
∪ 
2
.17 分