高考物理一轮复习考点分类训练2.3共点力平衡（2份，原卷版+解析版）

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考向一、共点力的平衡条件及应用
题型1.三力汇交原理。
题型2.四种方法的比较
考向二、动态平衡问题
题型1 解析法的应用
题型2 图解法的应用
题型3 力的三角形法的应用
题型4 力的等效圆周角不变法（或正弦定理法）的应用
考向三、平衡中的临界与极值问题
方法1 极限分析法
方法2 数学分析法
方法3 物理分析法
考向一、共点力的平衡条件及应用
静态平衡问题
1.共点力平衡
(1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动。
(2)平衡条件：F合＝0或Fx＝0，Fy＝0。
(3)常用推论
①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反。
②若三个不共线的共点力合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。
2.处理平衡问题的基本思路
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论。
3.常用的方法
(1)在判断弹力或摩擦力是否存在以及确定它们的方向时常用假设法。
(2)求解平衡问题时常用二力平衡法、矢量三角形法、正交分解法等。
4.三力汇交原理：物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力的作用线或反向延长线必交于一点。
【典例1】(2022·安徽安庆二中质检)一根长2 m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C的位置，下列说法正确的是( )
A．距离B端0.5 m处 B.距离B端0.75 m处
C．距离B端 eq \f(\r(3),2) m处 D.距离B端 eq \f(\r(3),3) m处
【答案】A
【解析】当一个物体受三个力作用而处于平衡状态时，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点。把O1A和O2B延长相交于O点，则重心C一定在过O点的竖直线上，如图所示。由几何知识可知：BO＝eq \f(1,2)AB＝1 m，BC＝eq \f(1,2)BO＝0.5 m，故重心应在距B端0.5 m处。A正确。
【典例2】(2022·日照第三次模拟)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是(重力加速度为g)( )
A．F＝eq \f(mg,tanθ) B．F＝mgtanθ
C．FN＝eq \f(mg,tanθ) D．FN＝mgtanθ
【答案】A
【解析】方法一 合成法
对滑块受力分析如图甲所示，由平衡条件知eq \f(mg,F)＝tanθ，即F＝eq \f(mg,tanθ)，FN＝eq \f(mg,sinθ)，故A正确。

甲 乙 丙 丁
方法二 效果分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示，F＝G2＝eq \f(mg,tanθ)，FN＝G1＝eq \f(mg,sinθ)，故A正确。
方法三 正交分解法
将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，mg＝FNsinθ，F＝FNcsθ，联立解得F＝eq \f(mg,tanθ)，FN＝eq \f(mg,sinθ)，故A正确。
方法四 矢量三角形法
如图丁所示，将滑块受的力平移，使三个力组成封闭三角形，解得F＝eq \f(mg,tanθ)，FN＝eq \f(mg,sinθ)，故A正确。
【典例3】(多选)(2022·湖北宜昌第二中学月考)两轻杆通过铰链相连构成一个三角形框架，AB、BC、CA三边长度分别为30 cm、20 cm、40 cm，在A点用一细线悬挂1 kg的物块，系统处于静止状态，则(g取10 m/s2)( )
A．AB杆对A点有沿杆从B点指向A点的弹力
B．CA杆作用于A点的弹力不一定沿CA杆方向
C．CA杆产生的弹力大小为20 N
D．若改为悬挂一个0.5 kg的物块，则AB杆上弹力变为原来的一半
【答案】CD
【解析】 AB杆对A点有沿杆从A点指向B点的拉力，A错误；由于是轻杆且通过铰链连接，则CA杆作用于A点的弹力一定沿CA杆方向，B错误；分析A点的受力，
由相似三角形可知：解得FCA＝2mg＝20 N，C正确；因则FAB＝15 N，若改为悬挂一个0.5 kg的物块，则AB杆上弹力为7.5 N，D正确。
考向二、动态平衡问题
一．动态平衡
1.动态平衡
动态平衡就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡。
2.常用方法
解析法、图解法、相似三角形法等，特别是三力动态平衡问题，常用图解法分析。
题型1 解析法的应用
【典例4】 (2022山东聊城市第二次等级考试模拟)如图所示，用甲、乙两根筷子夹一个小球，甲倾斜，乙始终竖直。在竖直平面内，甲与竖直方向的夹角为θ，筷子与小球间的摩擦很小，可以忽略不计。小球质量一定，随着θ缓慢减小，小球始终保持静止，则下列说法正确的是( )
A.筷子甲对小球的弹力变小
B.筷子乙对小球的弹力不变
C.两根筷子对小球的弹力均增大
D.两根筷子对小球的合力将增大
【答案】C
【解析】
对小球受力分析如图
根据平衡条件可知F2cs θ＝F1，F2sin θ＝mg
解得F1＝eq \f(mg,tan θ)，F2＝eq \f(mg,sin θ)
随着θ减小，F1，F2都在增大，故A、B错误，C正确；由于小球处于静止状态，两根筷子对小球的合力等于小球的重力，故一直不变，故D错误。
题型2 图解法的应用
用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。
【典例5】(20220·山东威海市模拟考试)如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，在斜面上有一光滑且不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使挡板与斜面的夹角β缓慢增大，在此过程中，斜面对球的支持力N1和挡板对球的压力N2的变化情况为( )
A．N1、N2都是先减小后增加
B．N1一直减小，N2先增加后减小
C．N1先减小后增加，N2一直减小
D．N1一直减小，N2先减小后增加
【答案】D.
【解析】对球受力分析，如图甲所示．球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三力构成矢量三角形．挡板逆时针转动时，N2方向也逆时针转动，作出图甲所示的动态矢量三角形．由图甲可见，N1随β的增大一直减小，N2先减小后增大．
题型3 力的三角形法的应用
往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用力的矢量三角形与空间几何三角形相似。
【典例6】(2022·河北石家庄模拟)如图所示，光滑的半圆环沿竖直方向固定，M点为半圆环的最高点，N点为半圆环上与半圆环的圆心等高的点，直径MH沿竖直方向，光滑的定滑轮固定在M处，另一小圆环穿过半圆环用质量不计的轻绳拴接并跨过定滑轮．开始小圆环处在半圆环的最低点H点，第一次拉小圆环使其缓慢地运动到N点，第二次以恒定的速率将小圆环拉到N点．滑轮大小可以忽略，则下列说法正确的是( )
A．第一次轻绳的拉力逐渐增大
B．第一次半圆环受到的压力逐渐减小
C．小圆环第一次在N点与第二次在N点时，轻绳的拉力相等
D．小圆环第一次在N点与第二次在N点时，半圆环受到的压力相等
【答案】C
【解析】小圆环沿半圆环缓慢上移过程中，受重力G、拉力FT、弹力FN三个力处于平衡状态，受力分析如图所示．
由图可知△OMN与△NBA相似，则有eq \f(G,R)＝eq \f(FN,R)＝eq \f(FT,MN)(式中R为半圆环的半径)，在小圆环缓慢上移的过程中，半径R不变，MN的长度逐渐减小，故轻绳的拉力FT逐渐减小，小圆环所受的支持力的大小不变，由牛顿第三定律得半圆环所受的压力的大小不变，A、B错误；第一次小圆环缓慢上升到N点时，FN＝G、FT＝eq \r(2)G；第二次小圆环运动的过程中，假设小圆环速率恒为v，当小圆环运动到N点时，在水平方向上有FT′cs 45°－FN′＝meq \f(v2,R)，在竖直方向上有G＝FT′sin 45°，解得FT′＝eq \r(2)G，FN′＝G－meq \f(v2,R)，再结合牛顿第三定律可知，C正确，D错误．
题型4 力的等效圆周角不变法（或正弦定理法）的应用
物体受三个力平衡：一个力恒定、另外两个力大小、方向都变化，但两力夹角不变时可用此法(如图)．由弦长的变化判断力的变化，此类题也可用正弦定理求解．
【典例7】(2022·山东聊城市第二次等级考试模拟)如图6所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为F1，绳OB与绳OA成α＝120°，拉力大小为F2。将两绳同时缓慢顺时针转过60°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，且物体始终保持静止状态。则在旋转过程中，下列说法正确的是( )
A.F1逐渐增大 B.F1先增大后减小
C.F2先增大后减小 D.F2先减小后增大
【答案】A
【解析】对结点O受力分析，并合成三角形如图所示，根据图示可知顺时针转动前(实线)到转动后(虚线)过程中，F1一直增大，F2一直减小，A正确，B、C、D错误。
【典例8】(2022·江苏常州市期中)如图为一个水平传感器的简易模型，截面为内壁光滑竖直放置的正三角形，内部有一个略小于三角形内切圆的小球，三角形各边有压力传感器，通过测出小球对三边压力的大小，信息处理单元可显示摆放处的倾角．图中BC边恰好处于水平状态，现将其以C为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到AB边处于水平状态，则在转动过程中( )
A．球对BC边的压力一直增大
B．球对BC边的压力一直减小
C．球对BC边的压力先增大后减小
D．球对BC边的压力先减小后增大
【答案】C
【解析】对正三角形内部的小球受力分析，如图所示．
由几何关系可知，随着角度θ从0°到120°增大过程中，角α与角θ之和保持不变，且α＋θ＝120°，所以角β也保持不变，β＝60°，由平衡条件和正弦定理得eq \f(G,sin β)＝eq \f(FNAC,sin θ)＝eq \f(FNBC,sin 120°－θ)
球对BC边的压力FNBC′＝FNBC＝eq \f(G,sin β)sin (120°－θ)＝eq \f(G,sin 60°)sin (120°－θ)＝eq \f(2\r(3),3)Gsin (120°－θ)
当AB边水平时，则θ＝60°，而当θ＝30°，FNBC最大，故选C.

三．平衡中的临界与极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。
2.极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
方法1 极限分析法
【典例9】(2022·青岛黄岛区期末)竖直插销的简化侧视图如图所示，下端部件A可沿水平槽向前推动，部件B可沿竖直槽向上滑动。A、B之间的接触面与水平成45°角且摩擦因数为μ，槽与A、B间的摩擦不计。若B的质量为m，为使插销启动，加在A上的水平力F的最小值为( )
A.eq \f(mg,1＋μ) B．eq \f(mg,1－μ) C.eq \f(1＋μ,1－μ)mg D．eq \f(1－μ,1＋μ)mg
【答案】C
【解析】为使插销启动，加在A上的水平力F的最小值的临界条件是B恰好受力平衡。对A、B受力分析如图
对B有mg＋fcs 45°＝FABsin 45°
对A有F＝fsin 45°＋FBAcs 45°
f＝μFAB＝μFBA，
解得F＝eq \f(1＋μ,1－μ)mg，
所以C正确，A、B、D错误。
方法2 数学分析法
【典例10】(2022·河南高三月考)如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。
(1)当α为多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值；
(2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
【答案】(1)θ mgsin 2θ (2)eq \f(1,2)mgsin 4θ
【解析】木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsin θ＝μmgcs θ，解得μ＝tan θ。
(1)木块在F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcs α＝mgsin θ＋Ff，Fsin α＋FN＝mgcs θ，Ff＝μFN，解得F＝eq \f(2mgsin θ,cs α＋μsin α)＝eq \f(2mgsin θcs θ,cs αcs θ＋sin αsin θ)＝eq \f(mgsin 2θ,csθ－α)，则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin 2θ。
(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即Ff′＝Fcs(α＋θ)
当α＝θ，即F取最小值mgsin 2θ时，
Ff′＝Fmincs 2θ＝mgsin 2θcs 2θ＝eq \f(1,2)mgsin 4θ。
方法3 物理分析法
【典例11】（2020·天津市等级考模拟）如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用光滑挡板AO将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则( )
A．当β＝30°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
B．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgcsα
C．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
D．当β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mgsinα
【答案】D
【解析】分析小球的受力情况：重力G、斜面的支持力N2和挡板AO的压力N1，由平衡条件得知N2和N1的合力与G大小相等、方向相反，保持不变．
当挡板与斜面的夹角变化时，作出四个位置的受力图，由图看出当挡板与斜面垂直时，挡板对小球的压力N1最小，挡板AO所受压力即最小，此时β＝90°，最小值N1＝mgsinα，故D项正确．
1. (多选)(2022·江西省重点中学协作体第二次联考)如图7所示，自重不计的横梁的一端固定在墙壁上的A点，另一端B点用绳悬挂在墙壁上的C点，当重为G的物体由挂在梁上的B点处逐渐移至A点的过程中，横梁始终保持静止．问此过程中，A点对横梁作用力F的大小和CB绳对横梁的拉力FT的大小是如何变化的( )
A．F先增大后减小 B．FT一直减小
C．F一直减小 D．FT先减小后增大
2.(2022·日照第三次模拟)如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．F1先减小后增大 B．F1一直增大
C．F2一直减小 D．F2先减小后增大
3.(2022·安徽安庆二中质检)质量为m＝10 kg的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),3)，取g＝10 m/s2，受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F，如图所示，为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值以及此时θ分别是( )
A．50 N 30° B.50 N 60°
C.eq \f(200,3) N 30° D.eq \f(200,3) N 60°
4.(2022·山东济宁市高三监测)如图甲所示，斜面体固定在水平面上，斜面上有一物块在拉力F的作用下始终处于静止状态，拉力F在如图乙所示的范围内变化，取沿斜面向上为正方向，则下列物块所受的摩擦力Ff与时间t的关系图像可能正确的是( )
5.（多选）(2022·河北衡水中学高三调研)如图所示，小球A置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球B用水平轻弹簧拉着系于竖直板上，两小球A、B通过光滑滑轮用轻质细线相连，两球均处于静止状态。已知B球质量为m，O是滑轮与细线的交点且O点在半圆柱体圆心O1的正上方，OA与竖直方向成30°角，OA长度与半圆柱体半径相等，OB与竖直方向成45°角，则下列叙述正确的是( )
A．小球A、B受到的拉力TOA与TOB相等，且TOA＝TOB＝eq \r(2)mg
B．弹簧弹力大小为eq \r(2)mg
C．A球质量为eq \r(6)m
D．光滑半圆柱体对A球支持力的大小为mg
6.(2022·山东省青岛市5月模拟)图甲中滑索巧妙地利用了景区的自然落差，为滑行提供了原动力。游客借助绳套保护，在高空领略祖国大好河山的壮美。其装置简化如图乙所示，倾角为30°的轨道上套一个质量为m的滑轮P，质量为3m的绳套和滑轮之间用不可伸长的轻绳相连。某次检修时，工人对绳套施加一个拉力F，使绳套从滑轮正下方的A点缓慢移动，运动过程中F与轻绳的夹角始终保持120°，直到轻绳水平，绳套到达B点，如图所示。整个过程滑轮保持静止，重力加速度为g，求：
(1)绳套到达B点时，轨道对滑轮的摩擦力大小和弹力大小；
(2)绳套从A缓慢移动到B的过程中，轻绳上拉力的最大值。
1.(2021·1月江苏新高考适应性考试，3)如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为( )
A.eq \f(1,2)Mg B.eq \f(\r(3),3)Mg
C.eq \f(\r(3),2)Mg D.Mg
2. (2021·1月辽宁普高校招生适应性测试，7)如图11所示，用轻绳系住一质量为2m的匀质大球，大球和墙壁之间放置一质量为m的匀质小球，各接触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹角为α，两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为β，则α、β应满足( )
A.tan α＝3ct β
B.2tan α＝3ct β
C.3tan α＝tan(α＋β)
D.3tan α＝2tan(α＋β)
3. (2022·黄冈模拟)如图2­3­23所示，一根粗细均匀的金属棒AB，棒的A端用轻绳连接，轻绳的另一端固定在天花板上，在棒的B端施加水平拉力F使金属棒处于静止状态．轻绳与竖直方向的夹角为α，金属棒与竖直方向的夹角为β，下列说法正确的是( )
A．sin β＝2sin α B．cs β＝2cs α
C．tan β＝2tan α D．ct β＝2ct α
4.(2022·湖南七校联考)如图所示，光滑圆环竖直固定，A为最高点，橡皮条上端固定在A点，下端连接一套在圆环上的轻质小环，小环位于B点，AB与竖直方向的夹角为30°，用光滑钩拉橡皮条中点，将橡皮条中点拉至C点时，钩的拉力大小为F，为保持小环静止于B点，需给小环施加一作用力F′，下列说法中正确的是( )
A．若F′沿水平方向，则F′＝eq \f(\r(3),2)F
B．若F′沿竖直方向，则F′＝eq \f(\r(3),3)F
C．F′的最小值为eq \f(\r(3),6)F
D．F′的最大值为eq \f(\r(3),3)F
5.(2022·山东省潍坊市昌乐县4月模拟)《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000 kV的高压线上带电作业的过程。如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔上的O点，另一端固定在兜篮上。另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制。身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动到处于O点正下方E点的电缆处。绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备总质量为m，不计一切阻力，重力加速度大小为g。关于王进从C点运动到E点的过程中，下列说法正确的是( )
A．工人对绳的拉力一直变大
B．绳OD的拉力一直变小
C．OD、CD两绳拉力的合力大小等于mg
D．当绳CD与竖直方向的夹角为30°时，工人对绳的拉力为eq \f(\r(3),3)mg
6.(多选)(2022·济南三模)如图所示，两斜面体M、N完全相同，两物体P、Q也完全相同，用一根不可伸长的轻质细线通过两光滑的定滑轮将P、Q两物体连接，细线与两侧斜面均保持平行，M、N、P、Q均处于静止状态，且物体P恰好不上滑．已知α＜β，下列说法中正确的是( )
A．物体Q受到沿斜面向下的摩擦力
B．物体Q受到的摩擦力可能为0
C．地面对M的摩擦力方向水平向左
D．地面对M的摩擦力与地面对N的摩擦力大小相等
7.(2022·安徽合肥高三质检)如图所示，两小球A、B固定在一轻质细杆的两端，其质量分别为m1和m2.将其放入光滑的半圆形碗中，当细杆保持静止时，圆的半径OA、OB与竖直方向夹角分别为30°和45°，则m1和m2的比值为( )
A.eq \r(2)∶1 B.eq \r(3)∶1
C．2∶1 D.eq \r(6)∶1
8.(多选)(2022·潮州第二次教学质检)如图所示，用光滑的粗铁丝做成一直角三角形，BC边水平，AC边竖直，∠B＝β，∠A＝α，AB及AC两边上分别套有细线系着的铜环M、N，当它们静止时，细线与AB所成的角为γ，与AC所成的角为θ(细线长度小于BC)，则( )
A．γ＝β B．θ＝eq \f(π,2)
C．θ>eq \f(π,2)－α D．β