初中湘教版（2024）5.4 角平分线的性质第一课时课时训练

这是一份初中湘教版（2024）5.4 角平分线的性质第一课时课时训练，共27页。试卷主要包含了夯实基础，能力提升，拓展创新等内容，欢迎下载使用。
1． 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， AD 是角平分线， 若AB=10， CD=3， 则△ABD 的面积是( )
A．12B．15C．18D．24
2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（ ）
A．3B．2C．3D．23
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为( )
A．3B．2C．52D．72
4．如图，△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=7.5,CD=4，则△ABD的面积是 ；
5．如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等D．l1与l2一定不相等
6．如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，连接CF．若∠AFB=40°，则∠BCF的度数为（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
7．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E和F，若PE=6，则PF= ．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC= cm．
9．如图，△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB=5，DE=2，则△ABD的面积是 ．
10．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC=50°，∠EBC=20°，求∠ADC的度数．
二、能力提升
11．如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB=5，DE=2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
12．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（ ）
A．8.5B．15C．17D．34
13．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=3，OD=6，则△POD的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．18
14．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，L DE⟂AB,DF⟂AC,垂足分别为E、F，AB=11，AC=5， 则 BE的长 ( )
A．1.5B．2C．3D．6
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，若BC=6，AD平分∠CAB，则D到AB的距离为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
16．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
17．如图，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，且OD⊥BC于点D，△ABC的周长为24cm，OD=3cm，则△ABC的面积为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，DE⊥BC，垂足为点E，AD=DE，∠B=32°，则∠BCD的度数为 ．
19．如图，四边形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E.
（1）求证：∠ADC+∠B=180°.
（2）若AD=2，AB=4，求AF的长.
20．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=9，AC=6，BC=10．
（1）求△ABD与△ACD的面积之比；
（2）求CD的长．
三、拓展创新
21．如图，AB∥CD，BP和PC分别平分∠ABC和∠DCB，两线相交于点P，过P点的直线EF分别与射线BA，射线CD相交于点E，F．
【问题引入】（1）若EF⊥AB，求证：PE=PF．
【探索研究】（2）若将（1）中“EF⊥AB”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
【拓展应用】（3）若BC=7+m，CF=5+m，求BE的长．
22．综合与实践：
问题情境：已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD．
（1）初步探究：如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是 ；
（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线OA上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，OD=1，求OC的长（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠C=90°，AD是角平分线，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积是12AB⋅DE=12×10×3=15，
故答案为：B .
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得到DE=DC=3，利用三角形面积公式解答即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，
∴PB=PA=3，
∴PQ的最小值为3．
故选：C．
【分析】
根据角平分线的性质和垂线段最短的性质.角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过点P作PB⊥OM于B，则PB=PA=3，又因为垂线段最短，所以PQ的最小值就是PB的长度，即3.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵ AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠C=90°，
∴ 点D 到边AB的距离 =DC=2.
故答案为：B .
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠ADB=∠DBC，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB，进而得出∠ABD=∠DBC，再根据角平分线的性质定理可得出点D 到边AB的距离 =DC=2.
4．【答案】15
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,∴ED=CD=4，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×7.5×4=15；
故答案为：15．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，如图，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，然后根据三角形面积公式列式计算可得答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作OA,OB的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴PE=PF，
由平行线间间距相等可知d1=PB，d2=PE，
∴d1=d2，
由于l1和l2的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
【分析】过点P分别作OA,OB的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得PE=PF，再根据平行线性质即可求出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，如图所示：
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FY=FW，
∴FY=FZ，FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴CF平分∠ZCY，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠FBG−∠FAB=40°，
又∵∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，
∴2∠FBG−2∠FAB=80°，
∴∠CBG−∠CAB=80°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故答案为：B．
【分析】本题先根据角平分线的性质得到FZ=FY，继而 根据角平分线的判定定理得到∠FCZ=∠FCY，然后进行角度计算，即可得答案。
7．【答案】6
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，且PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PF=PE=6，
故答案为：6．
【分析】根据角平分线性质即可求出答案.
8．【答案】8
【解析】【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，DE=3cm，
∴CD=DE=3cm，
∵BD=5cm，
∴BC=BD+CD=5cm+3cm=8cm，
故答案为：8．
【分析】本题根据角平分线的性质可得CD=DE=3cm，根据BC=BD+CD代入即可求出BC长．
9．【答案】5
【解析】【解答】解：如图，
过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，
∴DF=DE，
∵AB=5，DE=2，
∴DF=DE=2，
∴△ABD的面积=12AB⋅DF=12×5×2=5，
故答案为：5．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC， 得DF=DE，根据△ABD的面积=12AB⋅DF求解即可．
10．【答案】解：∵AD平分∠BAC，BE是高线，且∠BAC=50°
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=25°
∵∠BEA=90°
∴∠ABE=180°−∠BAC−∠BEA=40°
∴∠ADC=∠ABE+∠EBC+∠BAD=85°
∴∠ADC的度数为85°
【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系，根据已知条件利用三角形内角和求出相关角的度数，再利用三角形外角性质定理求出∠ADC．
11．【答案】A
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图：
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，
∴DF=DE=2，
∴△ABD的面积=12AB·DF=12×5×2=5；
故答案为：A。
【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得DF=DE=2，然后以AB为底、DF为高即可列式求出△ABD的面积．
12．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴12×AB×4+12×AC×4+12×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式及△ABC的面积可求出△ABC的周长.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OB于E， 如图所示，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PC=3，
∴S△POD=12OD⋅PE=12×6×3=9，
故答案为：B．
【分析】过点P作PE⊥OB于E，先根据角平分线的性质得到PE=PC=3，再利用三角形的面积公式求解即可.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：如图， 连接CD， BD，
∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°， ∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE,
∴ Rt△CDF ≌ Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11， AC=5，
∴BE=12×11−5=3，
故答案为：C .
【分析】连接CD， BD， 根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，证得 Rt△CDF≌Rt△BDE,则可得BE=CF，继而求得答案.
15．【答案】A
【解析】【解答】解：过D点作 DE⟂AB于E，
∵AD平分 ∠CAB,DE⊥AB,∠C=90∘,
∴DC=DE,
∵∠B=30∘,∠C=90∘,
∴BC=3AC=6,∠CAD=12∠BAC=30∘
∴AC=23,
∴CD=2,
∴DE=2,
即D到AB的距离为2.
故选：A.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形的性质求出DE，得到答案.
16．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∴∠RAP=∠SAP，
在△ARP与△ASP中，
∠RAP=∠SAP∠ARP=∠ASPPR=PS，
∴△ARP≌△ASPAAS，
∴AS=AR，
∴结论正确，
②∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠RAP，
∴∠RAP=∠QPA，
∴QP∥AR，
∴结论正确，
③在△BPR与△QSP中，只有条件PR=PS，∠PSQ=∠PRB不能判断三角形全等；
综上可得，正确的结论是①②，
故答案为：B.
【分析】①由题意，用角角边可得△ARP≌△ASP，然后由全等三角形的对应边相等可求解；
②由等边对等角和等量代换可得∠RAP=∠QPA，然后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可求解；
③由题意，用一边一角对应相等不能判断两个三角形全等.
17．【答案】36cm2
【解析】【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，
∵OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=3(cm)，
∵△ABC的周长是24cm,OD⊥BC于D，且OD=3cm，
∴S△ABC=12×AB×OE+12×BC×OD+12×AC×OF=12×(AB+BC+AC)×3=12×24×3=36cm2，
故答案为：36cm2．
【分析】连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB,AC,BC的距离都相等（即OE=OD=OF)，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
18．【答案】29°
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，∠B=32°，
∴∠ACB=90°−32°=58°；
∵∠A=90°，DE⊥BC，AD=DE，
∴CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB=29°；
故答案为：29°．
【分析】
先由角平分线的判定定理可得CD平分∠ACB，再由直角三角形两锐角互余可得∠ACB，再利用角平分线的概念即可．
19．【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CE=CF
在Rt△CDE和Rt△CBF中，CD=CBCE=CF
∴Rt△CDE≅Rt△CBF(HL)
∴∠ADC=∠CBF
∵∠CBF+∠B=180°
∴∠ADC+∠B=180°
（2）解：在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE=CFAC=AC
∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)
∴AF=AE=AD+DE=2+DE
∵Rt△CDE≅Rt△CBF
∴DE=BF
∴AF=AB-BF=4-DE
∴2AF=6
∴AF=3
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得CE=CF，根据全等三角形判定定理可得Rt△CDE≅Rt△CBF，则∠ADC=∠CBF，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，则AF=AE=AD+DE=2+DE，再根据全等三角形性质可得DE=BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵在△ABC中，AD是它的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=9，AC=6，
∴S△ABD=12AB⋅DE=92DE=92DF，S△ACD=12AC⋅DF=3DF，
∴S△ABDS△ACD=92DF3DF=32，
∴△ABD与△ACD的面积之比为3:2．
（2）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）已得：S△ABD=92DF，S△ACD=3DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=152DF，
∵BC=10，AG⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AG=5AG，
∴152DF=5AG，
∴DFAG=23，
又∵S△ACD=12CD⋅AG=3DF，
∴CD=6DFAG=6×23=4．
【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式．
（1）过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得DE=DF，再根据三角形的面积公式可得S△ABD=92DF，S△ACD=3DF，因此求得面积比为3：2；
（2）过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，过点A作AG⊥BC，先根据等面积法将△ABC的面积表示为152DF或5AG，建立量关系可得DFAG=23，再根据S△ACD=12CD⋅AG=3DF，代入DFAG=23，解得CD=6DFAG=6×23=4.
（1）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵在△ABC中，AD是它的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=9，AC=6，
∴S△ABD=12AB⋅DE=92DE=92DF，S△ACD=12AC⋅DF=3DF，
∴S△ABDS△ACD=92DF3DF=32，
∴△ABD与△ACD的面积之比为3:2．
（2）解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
由（1）已得：S△ABD=92DF，S△ACD=3DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=152DF，
∵BC=10，AG⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AG=5AG，
∴152DF=5AG，
∴DFAG=23，
又∵S△ACD=12CD⋅AG=3DF，
∴CD=6DFAG=6×23=4．
21．【答案】证明：（1）作PM⊥BC于M，如图．
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∵BP和PC分别平分∠ABC和∠DCB，PM⊥BC，
∴PE=PM，PM=PF，
∴PE=PF．
（2）成立，
方法一：过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，如图．
则PG⊥AB，
∵AB∥CD，
则PH⊥CD，
∴∠PGE=∠PHF=90°，
由（1）得：PG=PH，
在△PGE和△PHF中，
∠PGE=∠PHFPG=PH∠GPE=∠HPF，
∴△PGE≌△PHFASA，
∴PE=PF．
方法二：延长BP交CD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠EBP=∠FMP，
∵BP平分∠ABC，
∴∠EBP=∠CBP=12∠ABC，
同理，∠BCP=12∠BCD，
∴∠CBP+∠BCP=12∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠BPC=180°−∠CBP+∠BCP=90°，
∴∠CPM=180°−∠BPC=90°=∠BPC，
∵CP平分∠DCB，
∴∠BCP=∠MCP，
∴∠CBP=∠CMP，
∴BC=MC，
∴BP=MP，
在△BEP和△MFP中，
∠BPE=∠FPMBP=PM∠EBP=∠FMP，
∴△BPE≌△MPFASA，
∴PE=PF．
（3）∵△BPE≌△MPF，
∴PE=PF，
∴BC=CM=CF+FM=CF+BE，
∵BC=7+m，CF=5+m，
∴7+m=5+m+BE，
∴BE=2．
【解析】【分析】（1）作PM⊥BC于M，由AB∥CD，EF⊥AB可得EF⊥CD，由角平分线的性质定理可求解；
（2）方法一：过点P作GH⊥AB于G，交CD于H，则PG⊥AB，PH⊥CD，由（1）得：PG=PH，结合已知，用角边角可证△PGE≌△PHF，由全等三角形的对应边相等可得PE=PF；
方法二：延长BP交CD于点M，由平行线的性质得出∠ABC+∠BCD=180°，∠EBP=∠FMP，由角平分线的定义可得∠CPM=180°−∠BPC=90°=∠BPC，再根据等腰三角形三线合一可得BP=MP，用角边角可证△BPE≌△MPF，由全等三角形的对应边相等可；
（3）由方法二（2）△BPE≌△MPF可得出PE=PF，再根据线段的和差BC=CM=CF+FM=CF+BE即可求解．
22．【答案】（1）PC=PD
（2）解：还成立，理由如下：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，
∵OM平分∠AOB，∠PEC=∠PFD=90°，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，
∴∠EPF=360°−∠DEO−∠AOB−∠DFO=90°，
∵∠CPD=90°
∴∠CPD−∠EPD=∠EPF−∠EPD，
即∠CPE=∠DPF，
在△CPE和△DPF中，
∠CPE=∠DPFPE=PF∠PEC=∠PFD，
∴△CPE≌△DPFASA，
∴PC=PD；
（3）OC的长为7
【解析】【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
（3）过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF=3，四边形OEPF为正方形，
∵∠AOB=90°，∠OEP=90°,∠OFP=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠CPD=90°，
∴∠CPE+∠EPD=∠EPD+∠DPF=90°，
∴∠CPE=∠DPF，
在△CPE和△DPF中，
∠CPE=∠DPFPE=PF∠CEP=∠DFP，
∴△CPE≌△DPF(ASA)，
∴CE=DF，
∵OD=1，
∴DF=OD+OF=1+3=4，
∴OC=OE+CE=3+4=7．
【分析】（1）根据角平分线的性质可直接得出答案；（2）还成立，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，首先根据角平分线性质可得出PE=PF，再根据等式的性质得出∠CPE=∠DPF，进而根据ASA可判定△CPE≌△DPF，进而可得出PC=PD；
（3）过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，先证明四边形OEPF为正方形，然后证明△CPE≌△DPF(ASA)，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论．
（1）解：∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
故答案为：PC=PD；
（2）还成立，理由如下：
过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，
∵OM平分∠AOB，
∴PE=PF，∠PEC=∠PFD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠EPF=360°−∠DEO−∠AOB−∠DFO=90°，
∵∠CPD=90°
∴∠CPD−∠EPD=∠EPF−∠EPD，
即∠CPE=∠DPF，
在△CPE和△DPF中，
∠CPE=∠DPFPE=PF∠PEC=∠PFD，
∴△CPE≌△DPFASA，
∴PC=PD；
（3）过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，
∴四边形OEPF为矩形，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF=3，四边形OEPF为正方形，
∵∠AOB=90°，∠OEP=90°,∠OFP=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠CPD=90°，
∴∠CPE+∠EPD=∠EPD+∠DPF=90°，
∴∠CPE=∠DPF，
在△CPE和△DPF中，
∠CPE=∠DPFPE=PF∠CEP=∠DFP，
∴△CPE≌△DPF(ASA)，
∴CE=DF，
∵OD=1，
∴DF=OD+OF=1+3=4，
∴OC=OE+CE=3+4=7．