江苏省镇江市2026届高三上学期期中质量监测 数学试卷（含答案）

这是一份江苏省镇江市2026届高三上学期期中质量监测 数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．31 hB．33 hC．35 hD．37 h
7．已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多选题
9．在长方体中，，，动点在棱上，则（ ）
A．
B．
C．三棱锥的体积是定值
D．若，则长为1
10．已知直线，圆，则（ ）
A．动直线经过定点
B．圆心到直线的最大距离为
C．当直线与圆相交时，
D．当时，圆上有两个不同的点到直线的距离为
11．设函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的一个正周期为
C．的一个单调减区间是
D．函数在区间上有2026个零点，则的最小值为
三、填空题
12．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示 .
13．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为 .
14．已知函数，若函数，则的所有零点之积为 ；方程有三个不同的解，则实数的范围为 .
四、解答题
15．已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
①；②；③
内角，，的对边分别为，，，已知__________.
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
16．（1）椭圆的定义是“动点到两个定点的和为定值的点的轨迹”.如果椭圆的焦点分别为，，长轴长为，请根据该定义，推导椭圆标准方程；
（2）设为（1）中椭圆上一点，当最大时，求点坐标.
17．已知三棱锥中，是边长为的等边三角形，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知函数，.
(1)当时，求函数的值域；
(2)当，时.
①判断函数的零点个数；
②设函数，若方程（）有两个不相等的正数解，证明：.
19．已知双曲线：的离心率为，与轴交于点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，.
①若，求此时直线的方程；
②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
解析：因为，，
所以，所以，
故选：B.
2．C
解析：依题意，，
所以复数的虚部为.
故选：C
3．D
解析：取，满足，但是，即，充分性不成立；
取，满足，但是，即，必要性不成立．
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
4．D
解析：由双曲线方程知其渐近线方程为：，
在双曲线的一条渐近线上，又，，即；
由题意知：抛物线准线为：，抛物线的焦点为，
，解得：，
双曲线方程为：，即.
故选：D.
5．C
解析：由得，
解得，
因为，所以，所以，
又因为，
所以，
由解得，所以，
所以.
故选:C.
6．B
解析：由题意知，，解得，
那么，
当时，有，
解得，即污染物减少需要花33h.
故选：B
7．D
解析：由，则，
，即，
整理得，
，又，
，即，
，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为8.
故选：D.
8．A
解析：如图所示，设圆柱的上、下底面圆心分别为，其中也是底面正的中心，
因为正四面体的棱长为，可得，
在直角中，可得，且，
设圆柱的底面圆的半径为，高为，
由，可得，即，解得，
则圆柱的体积为，其中，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，即圆柱的体积取得最大值.
故选：A.
9．BCD
解析：如图：
对于A，，与不平行，故A错误；
对于B，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，故.故B正确；
对于C,点到平面的距离为，三棱锥的体积
故C正确；
对于D，，解得，所以长为1，故D正确.
故选：BCD
10．CD
解析：对于A：将直线方程进行变换可得，
则有，解得.
所以直线经过定点，所以A错误；
对于B：圆的方程变换为，
所以圆心到直线的距离为.
因为，所以，所以B错误；
对于C：当直线与圆相交时，那么，
化简得，解得，所以C正确；
对于D：当时，直线的方程为.
此时圆心到直线的距离为，所以圆上有两个不同的点到该直线的距离为，D正确；
故选：CD.
11．ABD
解析：因为，
所以的图象关于直线对称，因此选项A正确；
因为，
所以的一个正周期为，因此选项B正确；
当时，，
因为，
所以此时函数单调递增，因此选项C错误；
要想有最小值，只需都是零点，
因为该函数是以为周期的周期函数，
所以我们可以假设，
当时，，
令
，
因此当时，
假设时，要想有2026个零点只需，
此时，
若时，要想有2026个零点只需，
此时，
因为，
所以的最小值为，因此选项D正确，
故选：ABD
12．
解析：假设竖直向上的一个向量的起点与终点在网格的格点上，且长度为最小正方形边长，
那么，所以有，
那么.
故答案为：.
13．/0.5
解析：大正方形的边长为，则小正方形的边长为，
依题意，，则，即，
由，得，则，
由，得，所以，
故答案为：
14． 1
解析：由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图，
与的图象共4个交点，从右到左依次是，
当时，，则，得，故，即，
同理，可得，
所以，即的所有零点之积为1.
作出函数的图象如图，
方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，
当时，，则，设切点为，
所以曲线过原点的切线斜率，解得，
所以曲线过原点的切线斜率，
要使得与的图象有三个不同的交点，则，即，
所以实数的取值范围为.
故答案为：1，.
15．（1）选①在中，由及正弦定理，得，
则，即，
整理得：，又，
因此，又，
所以.
选②由，得，
因为，所以，又，
所以.
选③由，得到，
所以，
又，所以.
根据余弦定理，
得.
即，整理得.
解得或（舍去）.所以.
（2）由，
得，，
因为，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以则，
所以，即取值范围为.
16．（1）设为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知，
即，
，
移项平方得：，
整理得：.
两边平方得：，
整理得：.
因为，设，于是得.
两边同除以，得椭圆方程为.
（2）在中，设，，，.
则
，
当且仅当，即时，.
此时最大，此时点坐标为.
17．（1）在三棱锥中，取中点，连接，，
由是边长为的等边三角形，得，，
由，得，，
在中，，，，则，
即，而为二面角的平面角，
所以平面平面.
（2）由（1）知直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，取，得，而平面的法向量为，
因此，，
所以二面角的正弦值为.
18．（1）当时，，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，且当时，，当时，，
所以函数的值域为.
（2）①当，时，，求导得，
函数在上单调递增，而，
所以函数有且只有一个零点；
②设的零点为，则当时，；当时，，
因此，而方程有两个不相等的正数解，
不妨设，则，，即，
于是，而，
即，即，令，，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，
所以.
19．（1）已知双曲线的离心率为，且与轴交于点.
则，，
则，
所以双曲线的标准方程是：；
（2）如图所示：
①由，得，
则恒成立，
且，.
设，，由，得，即.
则，.
即.
即.
解得（舍）或，即直线的方程是.
②设经过，，三点的动圆方程，
将代入，得，
设，，则，
消去得，
由，得，
即，
即，.
所以，，.
所以圆的方程为，
即，
令，（舍）或
所以经过，，三点的动圆经过异于点的定点.