江苏省常州市第一中学2026届高三上学期12月质量检测数学试卷含解析（word版）

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1. 集合 {x∈N∣x≤2} 的真子集的个数为( )
A. 2 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】列举得到集合为 {0,1,2} ,再根据真子集个数计算公式求解即可.
【详解】集合 {x∈N∣x≤2}={0,1,2} ,集合共有 3 个元素,
所以真子集的个数为 23−1=7 个;
故选: C.
2. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年. 2021 年 2 月 4 日，在三星堆遗址祭祀坑区 4 号坑发现了玉琮. 玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器, 是一种古人用于祭祀的礼器. 假定某玉琮中间内空,形状对称,如图所示,圆筒内径长 2 cm ,外径长 3 cm ,简高 4 cm ,中部为棱长是 3 cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为( )
A. 27−7π4cm3 B. 24+π4cm3 C. 36−9π4cm3 D. 18+7π4cm3
【答案】A
【解析】
【分析】利用组合体体积减去圆柱体体积就可得结果.
【详解】
计算正方体体积: 3×3×3=27 ,
计算上下两个圆柱的体积: π322×1=94π ,
再计算内空圆柱的体积: π×12×4=4π ,
最后可得组合体体积: 27+94π−4π=27−74πcm3
故选: A
3. 将函数 fx=sin2x−π3 的图象向左平移 φ01 ,则 fx1x2>0 ,即 fx1>fx2 ,所以 y=fx 在 0,+∞ 单调递增, 故 C 正确;
D. 条件等式 fx+y+fx−y=fx2−y2 中,令 x=−1,y=0 ,得 2f−1=f1=0 ,即 f−1=0,
令 x=2,y=0 ,得 2f2=f4=2
由 C 可知 fx1−fx2=fx1x2 ,当 x1=−x2 时, f−x2−fx2=f−1=0 ,
即 f−x2=fx2,x2≠0 ,所以函数 fx 是偶函数,
则不等式 fx+2−fx−10,b>0 的图象均关于原点对称,故 OA=12AB=AF,
且直线 l 的斜率为 3 ,故倾斜角为 60∘ ,即 ∠FOA=60∘ ,则 △AOF 是正三角形,
则可得点 A 的坐标为 A−c2,−32c ,代入 x2a2−y2b2=1 ,整理得:
b2c2−3a2c2=4a2b2,
因 b2=c2−a2 ,代入整理得: c4−8a2c2+4a4=0 ,
即 e4−8e2+4=0 ,解得 e=3±1 ,因 e>1 ,故 e=3+1 . 故答案为: 3+1 .
13. 已知 x,y,z 均为正实数,若 3x=4y=6z ,则 lg2zx+2yxy 的值为_____.
【答案】 1
【解析】
【分析】对等式同取对数,代换出 x,y,z 基本关系,将 x,z 全部代换为 y ,结合对数运算和换底公式化简求解即可.
【详解】对 3x=4y=6z 同取对数可得 lg23x=2y=lg26z ,
结合换底公式可得 x⋅lg23=2y=zlg26 ,
即 x=2y⋅lg32,z=2y⋅lg62,zx+2yxy=2y⋅lg62⋅2y⋅lg32+2y2y2⋅lg32=
2lg62lg32+1lg32=2lg62+lg62⋅lg23=2lg62+lg63=2,
故 lg2zx+2yxy=lg22=1 .
故答案为: 1
14. 已知关于 x 的方程有 x3+ax2−13a2−1=0 三个不等实根 x1、x2、x3 ,且 x1x2x3+x2x3x1+x3x1x20,tx=x−1x,wx=1−csx≥0 ,
故 sx,wx 在 0,+∞ 上均为增函数,故 sx>s0=0,wx>w0=0 ,
故 ex>x+1,x>sinx 在 0,+∞ 上恒成立,
而当 0