福建省全国名校联盟2026届高三上学期期中考试 数学试卷（含答案）

这是一份福建省全国名校联盟2026届高三上学期期中考试 数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若的虚部为2，则（ ）
A．-2B．2C．-4D．4
3．记等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
4．已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为时，的值约为（ ）
附：.
A．33B．45C．67D．78
5．已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数.设甲：，乙：是偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．若函数的极大值为，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知正方体的棱长为1，动点在底面内，且，则（ ）
A．平面
B．的轨迹长度为
C．恰有一个点，满足
D．与平面所成角的正弦值的最大值为
11．已知函数恰有两个极值点，，则（ ）
A．B．存在，使得有三个零点
C．D．
三、填空题
12．已知向量满足，则 .
13．已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为 .
14．在三棱锥中，，，两两垂直，，若点到平面的距离为1，则三棱锥体积的最小值为 .
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求.
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设点在曲线上，求的最大值.
17．如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知数列满足，.
(1)设，证明：数列为等比数列；
(2)若为等比数列，求的值；
(3)若，，求的取值范围.
19．设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设为从小到大的第个极值点.
（i）证明：；
（ii）设,证明：.
参考答案
1．D
【详解】易知,则.
故选：D.
2．A
【详解】，
的虚部为，，
故选：A
3．B
【详解】由可得，可得，
即得，故有.
故选：B.
4．C
【详解】由题意知，该放射性同位素的含量为时，可得，即，
两边取对数得，解得.
故选：C.
5．D
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，所以，
因为，所以，所以圆锥的高为，
则该圆锥的体积为，
故选：D.
6．C
【详解】若，则，
(舍去)或，
则，.
若为偶数，则为偶函数；
若为奇数，则为偶函数，充分性成立；
若为偶函数，则，必要性成立.
甲是乙的充要条件，
故选：C.
7．C
【详解】，
当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以.
所以为的极大值点，或为的极大值点.
因为，所以不是的极大值点，
为的极大值点，且，，
解得.
故选:C.
8．B
【详解】依题意，，
，
，.
.
故选：B.
9．AC
【详解】是正数，则，，故选项A正确；
，故选项B错误；
，取等号，故选项C正确；
结合A选项，，故选项D错误.
故选：AC.
10．ABC
【详解】对于A：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
所以，，所以，，
即，，
又，平面，
所以平面，，平面，
平面，故A正确；
对于B：同理可证平面，又，动点在底面内，
在对角线上，又，即的轨迹长度为，故B正确；
对于C：因为，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，
当且仅当为的中点时，满足，故C正确；
对于D：因为平面，
所以与平面所成角即为，
又，又在对角线上，
当为的中点时取得最小值，
则取得最大值，即取得最大值，
此时，所以，
所以，
所以与平面所成角的正弦值的最大值为，故D错误；
故选：ABC.
11．ACD
【详解】选项A：，，，两函数图象有且仅有两个不同的交点.，，
，另外，和，，时，两函数图象有且仅有两个不同的交点，A选项正确；
选项B：由A选项知，时，有三个单调区间：
易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
在区间上单调递增，且，
则，（极大值）
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
的极大值小于零，不可能有三个零点，B选项错误；
选项C：同理可得，，由B选项可知，
，C选项正确.
选项D：由选项B知，，且，，
，即，
，，即，D选项正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为向量满足，可得.
故答案为：.
13．
【详解】的图象关于直线对称，则，即，解得，
，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
14．
【详解】不妨设，，则，，，，
过作垂直于，连接，
则，，
而，则，
因为，，且，平面，
所以平面，
由，则，
则，即，
所以，
不妨设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
即三棱锥体积的最小值为.
故答案为：.

15．(1)
(2)
【详解】（1），
由正弦定理，，
，，即，
由为三角形内角，即，，得.
（2），且，
由得，又，联立解得，，
，
由正弦定理有，，
的面积为，
由的面积为，可得，.
16．(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减
(2)
【详解】（1），
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由（1）可知，的最大值为
又时，，，
由题意得，，，
不妨设，
则，设，则，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，在区间上单调递增，，
的最大值为1
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
连接交于点，连接，，，
，为等腰直角三角形，，
，则为中点，
，，
在Rt中，，，
在中，，
在中，，，，
，，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面.
（2）由（1）可知平面，又，平面，
，，，，两两垂直，
易知，，，
方法1：
如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则
取，得，，则，
易知平面的法向量为
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为
方法2：如图，分别延长，交于点，则，，
过作垂直于，连接，
，，，平面，
平面，
平面，，
又，，平面，
平面，
平面，
，平面与平面的夹角即为，
易知，，
故，.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）方法一：
由已知可得，且，
，即，
，且，
数列是首项为，公比为4的等比数列.
方法二：
由可得，，
，
，

，
数列是首项为，公比为4的等比数列
（2）方法一：
易知，且，
，，
，，
当时，，
，
，，
，，，
又，，，为等比数列，
综上所述，若为等比数列，则.
方法二：
易知，且，
，，，
，，
由（1）的方法二可得，，易知
为等比数列，故
（3）方法一：
，
，
，
，，，且，
，，
不难知道，，故条件等价于恒成立，
由，得，，
，任意均符合题意，
由，得，解得，
显然是递减数列，，，
综上所述，的取值范围为.
方法二：
依题意，，，
即，，
当为偶数时，即，
即，，
对任意偶数恒成立，
当为奇数时，即，即，
，，解得，
综上所述，的取值范围为.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）易知,,
又，曲线在点处的切线方程为,
整理得,
故曲线在点处的切线方程为.
（2）（i）令,显然,
,,即.
当时，设,则,
当时，,
当时，,时，,,
同理可得，,
方法1：
要证：，即证：，，,
只需证：,
,,
只需证：,即证,显然成立，
.
方法2：
,
,即.
（ii）由（i）可知，在区间上单调递增，
,当时，,
,.
由（i）可知，当时，，即,
，
，，即
当时，成立
当时，
（0，1）
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增