江西省2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是定义域为R的奇函数，且当时，，则（ ）
A．3B．1C．D．
7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
8．“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．的图象与的图象关于轴对称
C．，D．，
11．已知，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，的取值范围是
D．当，，时，
三、填空题
12．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 ．
13．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
14．已知表示不超过的最大整数，则方程的解集为 ．
四、解答题
15．已知函数的定义域为，集合．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
16．已知函数是幂函数．
(1)求的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义给出证明．
17．已知，且．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
18．已知函数．
(1)求的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若的解集为R，求的取值范围．
19．已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若，证明：；
(3)若，求在区间上的最小值，附：函数在区间上单调递增．
1．B
根据集合交集运算的概念，即可得答案.
【详解】由题意集合，所以.
故选：B
2．A
利用全称量词命题的否定直接判断得解.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是，.
故选：A
3．C
利用换底公式将转为，又，则，将已知和代入得解.
【详解】，故选项C正确.
故选：C.
4．C
利用根式的运算性质计算可判断A；利用同底数的幂的运算计算可判断B；利用负分数指数幂的运算法则计算可判断C；利用根式与分数指数幂的互化计算可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
5．D
引入中间量，借助指数函数、对数函数性质判断即可得.
【详解】，，，
故.
故选：D.
6．C
由奇函数可得，代入求值即可.
【详解】因为是定义域为R的奇函数，所以，
令，可得，所以，
令，则，
所以.
故选：C.
7．B
利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列不等式组求解即可.
【详解】令，由且可得且，
所以单调递减，
因为在区间上单调递增，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：B
8．D
由题意先求出各个函数的解析式，进而判断各选项即可.
【详解】由题意，，
，
，
.
对于A，，则，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于CD，，故C错误，D正确.
故选：D
9．BCD
借助不等式的性质判断即可.
【详解】由，则，故，则，
又，故，，，
则，即，
故B、C、D正确，A错误.
故选：BCD.
10．AD
根据指数函数的图象和性质判断AB的真假，利用指数的运算法则判断CD的真假.
【详解】对指数函数，因为，所以函数在上单调递减，故A正确；
因为，所以函数的图象与的图象关于轴对称，故B错误；
因为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：AD
11．BC
变形给定等式，构造函数，利用单调性可得，再逐项求解判断即可.
【详解】由，得，令函数，
则原等式等价于，而函数在上都单调递增，
因此函数在上单调递增，则，
对于A，由，得或或，显然不恒成立，A错误；
对于B，由，得，则，解得，则，B正确；
对于C，由，，得，又，
则，即，解得且，因此，C正确；
对于D，依题意，，即，又，
则，而，解得，则，D错误.
故选：BC
12．
利用对数函数的性质即可求解.
【详解】令，所以，
所以，
故答案为：
13．
由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
根据方程的解与函数图像交点的关系，画出函数图像，求出方程的解,
【详解】由题意可知，则，
则函数和函数的图像如下图所示，
由函数图像可知有3个交点，
分别为，解得或（舍）；
，解得或（舍）；
，解得或（舍）；
所以方程的解集为
15．(1)
(2)
（1）先由函数定义域的计算得到，再由集合的并集运算得到；
（2）由，解不等式可得结果.
【详解】（1）由函数，可得，解得，所以，
当时，，故.
（2）由（1）可得，，
由，可得或，解得或，
所以的取值范围是.
16．(1)
(2)增函数，证明见解析
（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，即可解得的值；
（2）判断出在区间上为增函数，然后任取、且，作差，变形后并判断出的符号，结合函数单调性的定义可得出结论.
【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得.
（2）由（1）可知，，则函数在区间上为增函数，证明如下：
任取、且，则，，
所以，即，
故函数在区间上为增函数.
17．(1)1
(2)6
（1）根据基本不等式求积的最大值.
（2）根据基本不等式求和的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当即时取等号.
（2）因为，
当且仅当，即时取等号.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知函数 ，即，
因为，所以，则,
因此，即的值域为 .
（2），设 ()，不等式变为：
，化简得；，
展开右边并移项；
解得：
结合，得，即，因此.
（3）令 ，，不等式变为，因式分解得，
所以，当时，不等式恒成立，
若，不等式解为，需，
若，不等式解为，需，即 ，
若，不等式为，不成立.
综上， a的取值范围为.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，
则
，
所以，解得.
（2）由（1）知，
，
因为函数在上单调递增，且在定义域内单调递增，
所以函数在上单调递增，
又为偶函数，所以，
要证明，即证，
即证，即证.
因为，所以，
则，
所以，则.
（3）由（2）知，，
则，
设，由题可知函数在上单调递增，
且时，，时，，所以，
则，
当时，在上单调递减，则；
当时，函数开口向下，对称轴为，
则在上单调递减，所以；
当时，函数开口向上，对称轴为，
当时，对称轴，则在上单调递减，
所以；
当时，对称轴，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以.